板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决简单的平面几何问题．
6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
[必备知识]
考点1数量积的有关概念
1．两个非零向量a与b，过O点作＝a，＝b，则，叫做向量a与b的夹角；范围是.
2．a与b的夹角为度时，叫ab.
3．若a与b的夹角为θ，则a·b＝.
4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.
5．a在b的方向上的投影为.
6．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则|a|＝，cosθ＝.
a⊥b?.
a∥b?.
∠AOB＝θ
0°≤θ≤180°
90
|a|·|b|cosθ
x1x2＋y1y2
|a|cosθ
x1x2＋y1y2＝0
x1y2－x2y1＝0
考点2数量积满足的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
1．a·b＝.
2．(λa)·b＝λ(a·b)＝．
3．(a＋b)·c＝.
b·a
a·(λb)
a·c＋b·c
[必会结论]
1．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·a＝a·e＝|a|cosθ；
2．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝；
3．ab?a·b＝0；
4．cosθ＝(θ为a与b的夹角)；
5．a·b≤|a||b|.
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．两个向量的数量积是一个向量．()
2．向量在另一个向量方向上的投影也是向量．()
3．若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．()
4．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()
5．(a·b)·c＝a·(b·c)．()
6．若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()
×
×
×
×
×
×
二、小题快练
1．[2015·课标全国卷]向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，选C.
2．[课本改编]向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则|a－b|等于()
A．1 B.
C. D．7
解析|a－b|＝＝，选C.
3．若|a|＝1，|b|＝，(a－b)a，则a与b的夹角为()
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析(a－b)a，(a－b)·a＝0，a·b＝a2＝1，
cos〈a，b〉＝＝＝，
〈a，b〉[0°，180°]，〈a，b〉＝45°.
4．[2016·济南模拟]已知向量|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12,则向量a在向量b方向上的投影是()
A．－4 B．4
C．－2 D．2
解析因为向量|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是＝＝－4，选A.
5．[2015·陕西高考]对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()
A．|a·b|≤|a||b|
B．|a－b|≤||a|－|b||
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
解析当a与b为非零向量且反向时B显然错误．
考向平面向量数量积的运算
例1(1)[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝()
A．5 B．4
C．3 D．2
[解析]＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，所以·＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.
(2)[2013·课标全国卷]已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
[解析]解法一(转化法)：如图，以，为一组基底，由题意可得·＝0，
而＝＋，＝－，
故·＝·(－)
＝－||2＋||2＝－×22＋22＝2.
2
解法二(坐标法)：如图，以点A为原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，
可知A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，D(0,2)，
则有＝(1,2)，＝(－2,2)．
故·＝1×(－2)＋2×2＝2.
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
【变式训练1】(1)[2016·湖北模拟]已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()
A. B.
C．－ D．－
解析＝(2,1)，＝(5,5)，由定义知在方向上的投影为＝＝.
(2)[2015·山东高考]已知菱形ABCD的边长为a，ABC＝60°，则·＝()
A．－a2 B．－a2
C.a2 D.a2
解析如图设＝a，＝b.
则·＝(＋)·＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝a2＋a·a·cos60°＝a2＋a2＝a2.
考向平面向量数量积的性质
平面向量数量积的性质是高考考查的重点和热点，运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.命题角度1平面向量的模
例2(1)设x，yR，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且ac，bc，则|a＋b|＝()
A. B.
C．2 D．10
[解析]由ac，得a·c＝2x－4＝0，解得x＝2.由bc，得＝，解得y＝－2.所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝，故选B项．
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考点视频
(2)[2015·浙江高考]已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
[解析]因为b·e1＝b·e2＝1，|e1|＝|e2|＝1，由数量积的几何意义，知b在e1，e2方向上的投影相等，且都为1，所以b与e1，e2所成的角相等．由e1·e2＝知e1与e2的夹角为60°，所以b与e1，e2所成的角均为30°，即|b|cos30°＝1，所以|b|＝＝.
命题角度2平面向量的夹角
例3(1)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为()
A. B.
C. D.
[解析]b＝(2,0)，cosθ＝＝＝，θ＝，选B.
(2)[2015·重庆高考]已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a(2a＋b)，则a与b的夹角为()
A. B.
C. D.
[解析]因为a(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝0，即2|a|2＋a·b＝0.设a与b的夹角为θ，则有2|a|2＋|a||b|·cosθ＝0.又|b|＝4|a|，所以2|a|2＋4|a|2cosθ＝0，则cosθ＝－，从而θ＝.
命题角度3平面向量的垂直
例4(1)[2014·重庆高考]已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)c，则实数k＝()
A．－ B．0
C．3 D.
[解析]因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.
(2)在ABC中，(＋)·＝||2，则ABC的形状一定是()
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析]由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0,2·＝0，⊥，A＝90°.又根据已知条件不能得到||＝||，故ABC一定是直角三角形．
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：ab?a·b＝0|a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
|a±b|＝＝.
若a＝(x，y)，则|a|＝.
【变式训练2】(1)[2016·宁夏模拟]已知不共线向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝1，则|b－a|＝()
A. B．2
C. D.
解析a·(b－a)＝a·b－a2＝1，a·b＝5，
|b－a|＝＝，选A.
(2)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且，则实数λ的值________．
解析因为＝－，＝λ＋.又，
所以·＝0，
即(λ＋)·(－)
＝(λ－1)·＋2－λ2＝0，
故(λ－1)×3×2×＋4－9λ＝0，解得λ＝.
(3)已知a，b是两个非零的向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为________．
解析解法一：设a与a＋b的夹角为θ，由|a|＝|b|得|a|2＝|b|2，又由|b|2＝|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
a·b＝|a|2，而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，|a＋b|＝|a|，
cosθ＝＝＝.
0°≤θ≤180°，θ＝30°.
解法二：作ABCD，使＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，由|a|＝|b|＝|a－b|知ABCD为菱形，且BAD＝60°，所以BAC＝30°，即a与a＋b的夹角为30°.
30°
考向有关数量积的最值问题
例5[2014·湖南高考]在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的最大值是________．
[解析]解法一：设D(x，y)，则由||＝1得
(x－3)2＋y2＝1，＋＋＝(x－1，y＋)．
|＋＋|＝，问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值．
圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，
故的最大值为＋1.
＋1
解法二：设D(x，y)，则由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，从而可设x＝3＋cosα，y＝sinα，αR.
而＋＋＝(x－1，y＋)，
则|＋＋|＝
＝
＝＝，
其中sinφ＝，cosφ＝.
显然当sin(α＋φ)＝1时，|＋＋|有最大值＝＋1.
解法三：＋＋＝＋＋＋，
设a＝＋＋＝(2，)，
则|a|＝，从而＋＋＝a＋，
则|＋＋|＝|a＋|≤|a|＋||＝＋1，
当a与同向时，|＋＋|有最大值＋1.
求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围.
【变式训练3】[2013·浙江高考]设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于________．
解析|b|2＝(xe1＋ye2)2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋xy.＝，当x＝0时，＝0；
当x≠0时，＝＝≤2.
2
核心规律
1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
满分策略
1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量.
2.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60°.
3.两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立.
题型技法系列11——向量坐标化——解向量问题的一把利剑
[2015·福建高考]已知，||＝，||＝t.若点P是ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于()
A．13 B．15
C．19 D．21
[解题视点]由于，是两个互相垂直的向量，所以可以把这两个向量分别放在平面直角坐标系中的x轴，y轴上，就可以将向量坐标化，利用向量的坐标运算化简已知条件和所求问题，转化为代数中的问题解决．
[解析]以点A为原点，，所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图．
则A(0,0)，B，C(0，t)，
＝(1,0)，＝(0,1)，
＝＋＝(1,0)＋4(0,1)＝(1,4)，
点P的坐标为(1,4)，＝，＝(－1，t－4)，
·＝1－－4t＋16＝－＋17≤－4＋17＝13.当且仅当＝4t，即t＝时取“＝”，
·的最大值为13.
答题启示向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题变得更加简捷.
跟踪训练[2016·辽宁沈阳质检]在ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·＝()
A. B.
C. D.
解析由|＋|＝|－|，化简得·＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，不可能为0，所以与垂直，所以△ABC为直角三角形．以AC为x轴，以AB为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，由E，F为BC的三等分点知E，F，所以＝，＝，所以·＝×＋×＝.
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