板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
[必备知识]
考点1数列的有关概念
概念 含义 数列 按照排列的一列数 数列的项 数列中的 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式表达，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝叫做数列的前n项和
一定顺序
每一个数
an＝f(n)
a1＋a2＋…＋an
考点2数列的表示方法
1．表示方法
列表法 列表格表达n与an的对应关系 图象法 把点画在平面直角坐标系中 公
式
法 通项公式 把数列的通项用表达的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表达数列的方法 2.数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数an＝f(n)，当自变量由小到大依次取值时所对应的一列．
(n，an)
公式
函数值
考点3数列的性质
单
调
性 递增数列 n∈N， 递减数列 n∈N， 常数列 n∈N，an＋1＝an 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期性 n∈N，存在正整数常数k，an＋k＝an
an＋1>an
an＋1
考点4an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
[必会结论]
一些常见数列的通项公式
(1)数列1,2,3,4，…的通项公式为an＝n；
(2)数列2,4,6,8，…的通项公式为an＝2n；
(3)数列1,2,4,8，…的通项公式为an＝2n－1；
(4)数列1,4,9,16，…的通项公式为an＝n2；
(5)数列1，，，，…的通项公式为an＝.
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．所有数列的第n项都能使用公式表达．()
2．根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()
3．数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是an＝.()
4．如果数列{an}的前n项和为Sn，则对n∈N，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()
5．在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.()
6．若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．()
×
√
×
√
√
√
二、小题快练
1．[课本改编]数列1，，，，，…的一个通项公式an＝()
A.B.
C. D.
解析由已知得，数列可写成，，，…，故通项为.
2．[2016·辽宁模拟]若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于()
A.B.
C. D．30
解析a5＝S5－S4＝－＝，＝30.
3．[课本改编]已知数列，，2，…，则2是该数列的()
A．第5项B．第6项
C．第7项 D．第8项
解析由数列，，2，…的前三项，，可知，数列的通项公式为an＝＝，由＝2，可得n＝7.
4．[2016·石家庄模拟]把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．
则第7个三角形数是()
A．27 B．28
C．29 D．30
解析由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
5．[2014·课标全国卷]数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
解析由an＋1＝及a8＝2，得2＝，解得a7＝；由a7＝，得＝，解得a6＝－1；同理可得a5＝2.由此可得，a4＝，a3＝－1，a2＝2，a1＝.
6．[2016·金版原创]已知a1＝1，a2＝3，an＝an－1－an－2(n≥3)，则a2016＝________.
解析an＝an－1－an－2，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，a7＝1，a8＝3，…，数列{an}是一个周期为6的周期数列．
a2016＝a336×6＝a6＝－2.
－2
考向由数列的前n项求通项公式
例1写出下面各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)，，－，，－，，…；
(4)，1，，，…；
(5)0,1,0,1，….
[解](1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)将数列变形为
(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，
an＝.
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，原数列可化为
－，，－，，…，
an＝(－1)n·.
(4)将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝.
(5)an＝
或an＝或an＝.
观察法求通项公式的常用技巧
求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n项与序号n之间的关系，常用技巧有：(1)借助于(－1)n或(－1)n＋1来解决项的符号问题；(2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；(3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决.
【变式训练1】写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)1,3,6,10,15，…；
(3)－1，，－，，－，，…；
(4)3,33,333,3333，….
解(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.
(2)将数列改写为，，，，，…因而有an＝，也可逐差法a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式累加得an＝.
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，
即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，
所以an＝(－1)n·.
也可写为an＝.
(4)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝(10n－1).
考向由an与Sn的关系求通项公式
例2(1)[2016·临沂模拟]已知数列{an}的前n项和Sn＝，则a3＋a4等于()
A.B.
C. D.
[解析]a3＋a4＝S4－S2＝－＝，选D.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则此数列的通项公式为an＝__________________.
[解析]当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.
当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，an＝
an与Sn关系的应用问题的常见类型及求解策略
(1)已知Sn求an，常用方法是利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里易因忽略条件n≥2而出错，即由an＝Sn－Sn－1求得an时的n是从2开始的自然数．要验证a1是否满足an.若满足，则统一用an表示；若不满足，则通项公式用分段函数形式表示.(2)给出Sn与an的递推关系，要求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.
【变式训练2】(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋3n，若an＋1an＋2＝80，则n的值为()
A.5 B．4
C.3 D．2
解析因为Sn＝－n2＋3n，所以a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4－2n，
因此an＝4－2n(nN).
又因为an＋1an＋2＝80，
即[4－2(n＋1)][4－2(n＋2)]＝80，
n(n－1)＝20，解得n＝5或n＝－4(舍去).
(2)[2013·课标全国卷]若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
解析由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，当n≥2时，an＝－2an－1，又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，an＝(－2)n－1.
(－2)n－1
考向由递推关系,求数列的通项公式已知递推关系式求通项，一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、构造法或转化为基本数列?等差数列或等比数列?等方法求得通项公式.命题角度1形如an＋1＝anf(n)，求an
例3在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.求数列{an}的通项公式.
[解]由题设知，a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1.
＝.
＝，…，＝，＝，＝3.
以上n－1个式子的等号两端分别相乘，得到＝.又a1＝1，an＝.
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考点视频
命题角度2形如an＋1＝an＋f(n)，求an
例4在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求数列{an}的通项公式.
[解]由题意，得an＋1－an＝＝－，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝＋＋…＋＋＋2＝3－.
命题角度3形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
例5已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式.
[解]an＋1＝3an＋2，an＋1＋1＝3(an＋1)，
＝3，数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，an＋1＝2·3n－1，
an＝2·3n－1－1.
命题角度4形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an
例6已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式.
[解]an＋1＝，a1＝1，an≠0，
＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，
是以1为首项，为公差的等差数列.
＝＋(n－1)×＝＋，
an＝(nN).
由递推关系式求通项公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}.
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.
(5)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可.
(6)形如an·an＋1＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得＝，然后分奇、偶讨论即可.
【变式训练3】根据下列条件，求数列的通项公式an.
(1)a1＝4，an＋1＝an；
(2)a1＝－1，an＋1＝an＋2n；
(3)a1＝1，且an＋1＝(nN).
解(1)由递推关系得＝，又a1＝4，
an＝··…···a1＝··…···4＝2n(n＋1)(nN).
(2)∵an＋1－an＝2n，当n≥2时，an－an－1＝2(n－1)，所以an－an－1＝2(n－1).
…
a3－a2＝2×2，
a2－a1＝2×1，
将以上n－1个式子相加，
可得an－a1＝2(1＋2＋…＋n－1)，an＝n2－n－1，
当n＝1时，a1＝－1，适合an，{an}的通项公式为an＝n2－n－1.
(3)由已知，可得当n≥1时，an＋1＝，
两边同时取倒数，得＝＝＋3，
即－＝3，所以是一个首项为＝1，公差为3的等差数列．设等差数列的公差为d，
其通项公式＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
所以数列{an}的通项公式为an＝.
核心规律
已知递推关系求通项，一般有三种常见思路：
(1)算出前几项，再归纳、猜想；
(2)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；
(3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累加法；若为＝f(n)型，则采用累乘法.
满分策略
1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的.
2.数列的通项公式不一定唯一.
3.在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.
创新交汇系列2——用函数的观点解决数列问题
数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值.
(2)对于nN，都有an＋1>an.求实数k的取值范围.
[解题视点](1)求使an<0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n的取值.
[解](1)由n2－5n＋4<0，解得1
n∈N，n＝2,3.数列中有两项是负数，即为a2，a3.
an＝n2－5n＋4＝2－，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，
又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，
可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN，
所以－<，即得k>－3.
答题启示?1?本题给出的数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集N上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决.?2?在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.?3?本题易错答案为k>－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.
跟踪训练
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30.
(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？
(2)n为何值时，an＝0，an>0，an<0？
(3)该数列前n项和Sn是否存在最值？说明理由.
解(1)由an＝n2－n－30，得
a1＝12－1－30＝－30，
a2＝22－2－30＝－28，
a3＝32－3－30＝－24.
设an＝60，则60＝n2－n－30.
解之得n＝10或n＝－9(舍去).
所以60是此数列的第10项.
(2)令an＝n2－n－30＝0，
解得n＝6或n＝－5(舍去).
所以a6＝0.
令n2－n－30>0，
解得n>6或n<－5(舍去).
所以当n>6(nN)时，an>0.
令n2－n－30<0，解得0
所以当0
(3)Sn存在最小值，不存在最大值.
由an＝n2－n－30＝2－30(nN)，
知{an}是递增数列，且
a1
故Sn存在最小值S5＝S6，不存在最大值.
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