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[必备知识]
考点1公式法与分组求和法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2.分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
考点2倒序相加法与并项求和法
1.倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.
2.并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.
考点3裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
考点4错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.
[必会结论]
1.一些常见数列的前n项和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；
(3)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n.
2.常见的拆项公式
(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝－.
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.()
2.当n≥2时，＝.()
3.求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．()
4.若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.()
×
√
√
√
二、小题快练
1.[课本改编]数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为()
A.2014 B．2015
C.2016 D．2017
解析因为an＝＝－，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1－＝，
而已知Sn＝，所以＝，解得n＝2015.
2.[课本改编]数列{1＋2n－1}的前n项和为()
A.1＋2n B．2＋2n
C.n＋2n－1 D．n＋2＋2n
解析由题意得an＝1＋2n－1，
所以Sn＝n＋＝n＋2n－1，故选C.
3.[2016·河北保定模拟]若数列{an}的通项公式是an＝
(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()
A.15 B．12
C.－12 D．－15
解析因为an＝(－1)n(3n－2)，
所以a1＋a2＋…＋a10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…
＋(－25＋28)＝3×5＝15.
4.[课本改编]Sn＝＋＋＋…＋等于()
A.B.
C. D.
解析由Sn＝＋＋＋…＋，
得Sn＝＋＋…＋＋，
①－得，
Sn＝＋＋＋…＋－
＝－，Sn＝.
5.[2015·金版创新]设直线nx＋(n＋1)y＝(nN)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2015的值为()
A.B.
C. D.
解析直线与x轴交于，与y轴交于，
Sn＝··＝＝－.
原式＝＋＋…＋
＝1－＝.
考向分组转化法求和
例1[2015·福建高考]等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值.
[解](1)设等差数列{an}的公差为d.
由已知得
解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
(2)由(1)可得bn＝2n＋n.
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋
＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.
分组转化求和通法若一个数列能分解转化为几个能求和的新数列的和或差，可借助求和公式求得原数列的和．求解时应通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.
【变式训练1】[2014·湖南高考]已知数列{an}的前n项和Sn＝，nN.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和.
解(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn，记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
考向裂项相消法求和裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列{an}的通项公式，达到求解目的.命题角度1形如an＝型
例2[2016·青岛模拟]数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为()
A.120 B．99
C.11 D．121
[解析]an＝＝－，所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.即＝11，所以n＋1＝121，n＝120.
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命题角度2形如an＝型
例3[2015·江苏高考]设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(nN)，则数列前10项的和为________.
[解析]由a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(nN)得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，则＝＝2，故数列前10项的和S10＝2＝2＝.
命题角度3形如an＝型
例4[2013·江西高考]正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN，都有Tn<.
[解](1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)证明：由于an＝2n，
故bn＝＝＝.
Tn＝
＝<
＝.
裂项相消法求和问题的常见类型及解题策略
(1)直接考查裂项相消法求和．解决此类问题应注意以下两点：
抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝.(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式.
【变式训练2】[2016·广西南宁模拟]等差数列{an}的首项a1＝3,且公差d≠0，其前n项和为Sn，且a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)证明：≤＋＋…＋<.
解(1)设等比数列的公比为q，
因为a1，a4，a13分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4，
所以(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d).
又a1＝3，所以d2－2d＝0，
所以d＝2或d＝0(舍去).
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
等比数列{bn}的公比为＝＝3，b1＝＝1.
所以bn＝3n－1.
(2)证明：由(1)知Sn＝n2＋2n.
所以＝＝，
所以＋＋…＋
＝
＝
＝－<.
因为＋≤＋＝，
所以－≥，
所以≤＋＋…＋<.
考向错位相减法求和
例5[2015·湖北高考]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
[解](1)由题意有，
即
解得或
故或
(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，
于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋＋＋…＋.
①－可得
Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，
故Tn＝6－.
用错位相减法求和应注意的问题
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
【变式训练3】[2015·石家庄一模]设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝λSn＋1(nN，λ≠－1)，且a1、2a2、a3＋3为等差数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和.
解(1)a1＝1，an＋1＝λSn＋1(nN).
∴a2＝λS1＋1＝λ＋1，a3＝λS2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1.
4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1，
an＋1＝Sn＋1(nN)，
an＝Sn－1＋1(n≥2).
an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2).
又a1＝1，a2＝2.
数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，
an＝2n－1，
bn＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)由(1)知，anbn＝(3n－2)×2n－1，设Tn为数列{anbn}的前n项和，
Tn＝1×1＋4×21＋7×22＋…＋(3n－2)×2n－1，
∴2Tn＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n－5)×2n－1＋(3n－2)×2n.
①－得，－Tn＝1×1＋3×21＋3×22＋…＋3×2n－1－(3n－2)×2n＝1＋3×－(3n－2)×2n，
整理得：Tn＝(3n－5)×2n＋5.
核心规律
非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；
(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.
满分策略
1.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.
2.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.
3.在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.
规范答题系列4——求数列{|an|}的前n项和问题
[2013·浙江高考]在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列.
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
[解题视点]对等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的题型，常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负，或先求出an，解an≥0的n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负.
若前k项为负，从k＋1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn＝若前k项为正，以后各项非正，则Tn＝
[解](1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或4.
所以an＝－n＋11，nN或an＝4n＋6，nN.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.
Sn＝－n2＋n，
当n≤11时，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝Sn＝－n2＋n.
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝
[答题模板]求数列{|an|}的前n项和一般步骤如下
第一步：求数列{an}的前n项和；
第二步：令an≤0(或an≥0)确定分类标准；
第三步：分两类分别求前n项和；
第四步：用分段函数形式下结论；
第五步：反思回顾：查看{|an|}的前n项和与{an}的前n项和的关系，以防求错结果.
答题启示?1?本题求解用了分类讨论思想，求数列{|an|}的和时，因为an有正有负，所以应分两类分别求和.?2?常出现的错误：当n≤11时，求{|an|}的和，有的学生认为就是S11＝110；当n≥12时，求{|an|}的和，有的学生不能转化为2?a1＋a2＋…＋a11?－?a1＋a2＋…＋an?，导致出错.
跟踪训练设数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(nN).
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝|an|，求{bn}的前n项和Tn.
解(1)n＝1时，a1＝S1＝99；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝100n－n2－100(n－1)＋(n－1)2
＝101－2n.
当n＝1时，满足上式.
综上an＝101－2n(nN).
(2)bn＝|an|＝
当1≤n≤50时，Tn＝Sn；
当n≥51时，
Tn＝a1＋a2＋…＋a50－a51－…－an
＝2S50－(a1＋a2＋…＋an)
＝2×(100×50－502)－(100n－n2)
＝n2－100n＋5000.
综上有Tn＝
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