板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第6章不等式、推理与证明第1讲不等关系与不等式板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
[必备知识]
考点1比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b>0；a－b＝0；a－b<0.另外，若b>0，则有>1a>b；＝1a＝b；<1a
考点2不等式的性质
1．对称性：a>bb
2．传递性：a>b，b>c；
3．可加性：a>ba＋cb＋c；a>b，c>da＋cb＋d；
4．可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b>0，c>d>0ac>bd；
5．可乘方：a>b>0anbn(n∈N，n≥2)；
6．可开方：a>b>0>(n∈N，n≥2)．
a>b
a＝b
a
a>c
>
>
>
[必会结论]
1．a>b，ab>0<.
2．a<0
3．a>b>0,0.
4．0
5．若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)；>；<(b－m>0)．
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a
2．一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．()
3．一个非零实数越大，则其倒数就越小．()
4．同向不等式具有可加和可乘性．()
5．两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．()
×
√
×
×
√
二、小题快练
1．[课本改编]设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()
A．M>NB．M＝N
C．M
解析M－N＝x2＋x＋1＝2＋>0，所以M>N.
2．[课本改编]若a>b>0，则下列不等式不成立的是()
A.< B．|a|>|b|
C．a＋b<2D.a
解析a>b>0，<，且|a|>|b|，a＋b>2，又2a>2b，a
3．“x>1”是“<1”的()
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析由<1得x<0或x>1，“x>1”是“<1”的充分而不必要条件．
4．[2016·西安检测]设α，β，那么2α－的取值范围是()
A.B.
C．(0，π)D.
解析由题设得0<2α<π，0≤≤，－≤－≤0，－<2α－<π.
5．[2016·潍坊模拟]若a，b，cR，且a>b，则下列不等式一定成立的是()
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac>bcD.>0
解析A项，当c<0时，不等式a＋cba－b>0，c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.
考向比较代数式的大小
例1(1)已知a1，a2(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()
A．MN
C．M＝N D．不确定
[解析]M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又a1，a2(0,1)，M－N>0，即M>N，选B.
(2)已知a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与(ab)的大小．
[解]a>0，b>0，
＝ab＝ab＝，
若a>b>0，则>1，a－b>0.
由指数函数的性质>1；
若b>a>0，则0<<1，a－b<0.
由指数函数的性质>1.
>1，aabb>(ab).
延伸探究本例(2)的已知条件不变，试比较aabb与abba的大小．
解＝＝a－b，
当a>b>0，则>1，a－b>0，a－b>1；
当b>a>0，则0<<1，a－b<0，a－b>1，
>1，aabb>abba.
比较大小常用的方法
(1)作差法，其步骤：作差；变形；判断差与0的大小；得出结论．
注意含根号的式子作差时一般先乘方再作差．
(2)作商法，其步骤：作商；变形；判断商与1的大小；结论．
(3)特例法
若是选择题，还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路.
【变式训练1】(1)已知0
A.M>N B.M
C.M＝ND.不能确定
解析00,1＋b>0,1－ab>0，
M－N＝＋＝>0.
(2)已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．
解析当q＝1时，＝3，＝5，所以<；
当q>0且q≠1时，－＝－＝＝<0，所以有<.
综上可知<.
<
考向不等式性质的应用利用不等式性质进行命题的判断是经常考查的考向，另外，不等式性质与充要条件相结合判断条件是一个重要的考向，主要以选择题和填空题为主.命题角度1利用不等式的性质比较大小
例2[2014·四川高考]若a>b>0，c
A.>B.<
C.> D.<
[解析]解法一：<<0?
<<0??>?<.
解法二：依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A、B、C均错，只有D正确．
命题角度2与充要条件相结合命题
例3[2015·菏泽高三联考]若a，b为实数，则“0
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]充分性：令a＝－，b＝－1，满足0
命题角度3与命题真假判断相结合命题
例4给出下列命题：
若a>b，则ac2>bc2；
若a>b，则<；
若a，b是非零实数，且a
若aab>b2.
其中正确的命题是________．(填对应序号即可)
[解析]当c＝0时不成立；对于，a正b负时不成立；对于，当aab，ab>b2，从而得a2>ab>b2，成立．故填.
③④
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.
【变式训练2】(1)若<<0，给出下列不等式：
<；|a|＋b>0；a－>b－；lna2>lnb2.
其中正确的不等式是()
A． B．
C． D．
解析解法一：由<<0，可知b
①中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0.故有<，即正确．
中，因为b－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故错误．
中，因为bb－，故正确．
中，因为ba2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2>lna2，故错误．
由以上分析，知正确．
解法二：因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以错误；
因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4>0，所以错误．
综上所述，可排除A，B，D.
(2)不等式“a－b>a且a＋b
A．a>0且b>0 B．a<0或b<0
C．a<0且b<0 D．a<0或b>0
解析由a－b>a知b<0，由a＋ba且a＋b
(3)[2016·银川模拟]设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：>；acloga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是()
A． B．
C． D．
解析对，a>b>1，所以<.又因为c<0，所以>，正确．
幂函数y＝xc，c<0为减函数．
又因为a>b>1，所以ac
因为a>b>1，c<0，所以－c>0，所以a－c>b－c>1，
所以logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)正确，故选D.
考向求代数式的取值范围
例5(1)已知－1
[解析]设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，则由待定系数法可得解得
所以z＝－＋(x－y)．
又
所以两式相加可得z(3,8)．
点击观看
考点视频
(3,8)
(2)[2016·保定统测]已知2≤x≤3,6≤y≤9，求的取值范围．
[解]2≤x≤3,6≤y≤9，
6≤3x≤9,12≤2y≤18，≤≤.
≤≤，即≤≤.
即的取值范围为.
利用不等式性质求代数式的取值范围
当a
【变式训练3】(1)已知－1
解析设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b，
则解得
因为－<(a＋b)<，
－2<－(a－b)<－1，
所以－<(a＋b)－(a－b)<.
即－<2a＋3b<.
即2a＋3b的取值范围为.
(2)若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．
解析解法一：由3≤xy2≤8,4≤≤9，可知x>0，y>0，且≤≤，16≤≤81，由性质6，得2≤≤27，故的最大值是27.
解法二：设＝m(xy2)n，则x3y－4＝x2m＋ny2n－m，
所以即
又16≤2≤81，≤(xy2)－1≤，
2≤≤27，故的最大值为27.
27
核心规律
1.用同向不等式求差的范围.
?a－d
这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.
2.倒数关系在不等式中的作用.
<；>.
3.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．作差法的主要步骤：作差——变形——判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑作商.
4.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法.
满分策略
1.a>bac>bc或a
2.a>b<或a，当ab≤0时不成立.
3.a>ban>bn对于正数a、b才成立.
4.>1a>b，对于正数a、b才成立.
5.注意不等式性质中“”与“”的区别，如：a>b，b>ca>c，其中a>c不能推出.
6.作商法比较大小时，要注意两式的符号.
易错警示系列5——多次使用同向不等式的可加性致误
[2015·昆明模拟]设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
[错解]由得
＋得≤a≤3.－得≤b≤1.
由此得4≤f(－2)＝4a－2b≤11.
所以f(－2)的取值范围是[4,11]．
[答案][4,11]
[错因分析]本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f(－2)的范围扩大．
[5,10]
[正解]解法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
解法二：由
得
f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
解法三：由
确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点A时，取得最小值4×－2×＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，
5≤f(－2)≤10.
答题启示利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径.
跟踪训练[2014·课标全国卷]不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1：(x，y)D，x＋2y≥－2，
p2：(x，y)D，x＋2y≥2，
p3：(x，y)D，x＋2y≤3，
p4：(x，y)D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是()
A．p2，p3B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
解析解法一：由待定系数得x＋2y＝(x＋y)－(x－2y)，因为x＋y≥1，所以(x＋y)≥.又x－2y≤4，所以－(x－2y)≥－.由不等式性质得x＋2y≥0，故p1，p2正确，p3，p4不正确，故选C.
解法二：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，z取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.
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