板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式?点斜式、两点式及一般式?，了解斜截式与一次函数的关系.
[必备知识]
考点1直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：x轴与直线的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为.
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
正向
向上
0°≤α<180°
正切值
tanα
考点2直线方程的几种形式
名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x1，y1) y－y1＝k(x－x1) 不含直线x＝x1 斜截式 斜率k与直线在y轴上的截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 截距式 直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 — Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用
[必会结论]
直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系
θ 0° 0°<θ<90° 90° 90°<θ<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀：
“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．直线的倾斜角越大，其斜率越大．()
2．斜率公式k＝，不适用于垂直于x轴和平行于x轴的直线．()
3．当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．()
4．过点P(x1，y1)的直线方程一定可设为y－y1＝k(x－x1)．()
5．直线方程的截距式＋＝1中，a，b均应大于0.()
×
×
√
×
×
二、小题快练
1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为()
A. B.
C．－ D．－
解析k＝＝－，选C项．
2．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角α为()
A. B.
C.π D.π
解析k＝tanα＝，α＝.
3．[课本改编]已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
解析由题意得a＋2＝，a＝－2或a＝1.
4．若斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a，b的值是()
A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3
解析k＝＝＝2，解得a＝4，b＝－3.
5．[课本改编]已知直线的倾斜角为120°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为()
A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2
C．y＝－x－2 D．y＝x－2
解析k＝tan120°＝－，且直线在y轴上的截距为－2，由斜截式得y＝－x－2.故选C.
考向直线的倾斜角与斜率
例1(1)直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的范围是()
A.∪ B.
C. D.
[解析]设直线的倾斜角为θ，
则tanθ＝－cosα，
又cosα[－1,1]，所以－≤tanθ≤，
又0≤θ<π，且y＝tanθ在及上均为增函数，
故θ∪.
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________________________________．
(－∞，－][1，＋∞)
[解析]如图，
∵kAP＝＝1,kBP＝＝－，
k∈(－∞，－][1，＋∞)．
延伸探究1若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
解P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，
kAP＝＝，
kBP＝＝.
如图可知，直线l斜率的取值范围为.
延伸探究2若将题(2)条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围．
解如图所示，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，
由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是.
直线的斜率与倾斜角的区别与联系
直线l的斜率 直线l的倾斜角α 区别 直线l垂直于x轴时l的斜率不存在 直线l垂直于x轴时l的倾斜角是90° 联系 直线的斜率与直线的倾斜角(90°除外)为一一对应关系.
当α[0°，90°)时，α越大，l的斜率越大；当α(90°，180°)时，α越大，l的斜率越大.
所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.
【变式训练1】(1)已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为()
A.B．－C．0D．1＋
解析直线PQ的斜率为－，则直线PQ的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝.
(2)如果直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(mR)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是()
A．0≤α≤π B．0≤α≤或<α<π
C．0≤α≤ D.≤α<或<α<π
解析由题意可知，直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.又直线l的倾斜角为α，则有tanα≤1，即tanα<0或0≤tanα≤1，所以<α<π或0≤α≤.
考向求直线的方程
例2根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；
[解](1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sinα＝(0<α<π)，
从而cosα＝±，则k＝tanα＝±.
故所求直线方程为y＝±(x＋4)．
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
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(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
[解](2)由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，
又直线过点(－3,4)，
从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
[解](3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
由点线距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
1．求直线方程时应注意的问题
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.
2．求直线方程的两种方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．
(2)待定系数法，具体步骤为：
设所求直线方程的某种形式；
由条件建立所求参数的方程(组)；
解这个方程(组)求出参数；
把参数的值代入所设直线方程.
【变式训练2】已知ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
解(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，
则x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
由(2)知，点D的坐标为(0,2)．
可求出直线的点斜式方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
考向直线方程的应用
例3已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；
[解](1)设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)．
设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当“a＝b＝2”时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
[解](2)设直线l的斜率为k，则k<0，
直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
则A，B(0,1－k)，
所以|MA|2＋|MB|2＝2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4.
当且仅当k2＝＝1，即k＝－1时取等号，此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)即x＋y－2＝0.
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决.
【变式训练3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(kR)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
解(1)证明：直线l的方程可写为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令，解得，
无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
解(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有，解之得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解(3)由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k>0.
S＝·|OA|·|OB|
＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，
即k＝，Smin＝4，
此时l的方程为：x－2y＋4＝0.
核心规律
1.明确直线方程各种形式的适用条件
点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.
2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法.
满分策略
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.
2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.
易错警示系列9——有关直线方程中“极端”情况的易错点
[2015·丽江质检](1)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为____________________．(2)直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是_______________________________．
[错解](1)设所求直线方程为＋＝1，
即x＋y－a＝0.
∵点P(－2,3)在直线l上，
－2＋3－a＝0，
a＝1，则所求直线l的方程为x＋y－1＝0.
x＋y－1＝0
(－∞，－1)∪(0，＋∞)
(2)因倾斜角大于45°，所以可得斜率的取值范围是(－∞，0)(1，＋∞)．
又直线的斜率为－，
故只要－>1或－<0即可，
解得－10.
故a的取值范围为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
[错因分析]处忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x＋2y＝0而致错．
处忽视与x轴垂直的特殊情况，此时直线的斜率不存在，但倾斜角为90°，从而导致漏解．
[正解](1)当截距不为0时，设所求直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.
点P(－2,3)在直线l上，－2＋3－a＝0，
a＝1，此时所求直线l的方程为x＋y－1＝0.
当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，则有3＝－2k，
即k＝－，
此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.
(2)当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；
当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－>1或－<0即可，解得－10.
综上可知，实数a的取值范围是(0，＋∞)．
答题启示在选用直线方程时，常易忽视的情况有：?1?选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直线；?2?选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；?3?选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况.
跟踪训练
1.过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
解析当直线经过坐标原点时，直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得b＝，故所求的直线方程是＋＝1，即x＋2y－9＝0.
2．已知点A(－2,3)，B(3,2)，过点P(0，－2)的直线l与线段AB没有公共点，则直线l的斜率的取值范围是____________．
解析如图所示，由斜率公式得
kAP＝＝－，
kBP＝＝，
当直线l绕P点从PB逆时针旋转到与PA重合时的所有直线l与线段AB均有交点，此时斜率k满足k≤－或k≥，所以直线l与线段AB无交点的k满足－
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