板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第8章平面解析几何第3讲圆的方程板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．初步了解用代数方法处理几何问题.
[必备知识]
考点1圆的定义、方程
1．在平面内到的距离等于的点的轨迹叫做圆．
2．确定一个圆的基本要素是：3．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
4．圆的一般方程
(1)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
(2)方程表示圆的充要条件为：；(3)圆心坐标，半径r＝.
定点
定长
圆心和半径．
D2＋E2－4F>0
考点2点与圆的位置关系
1．理论依据
的距离与半径的大小关系．
2．三个结论
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
(1)点在圆上；
(2)点在圆外；
(3)点在圆内．
点与圆心
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
(x0－a)2＋(y0－b)2
[必会结论]
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．两个圆系方程
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b为定值，r是参数；
(2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中r为定值，a，b是参数．
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．确定圆的几何要素是圆心与半径．()
2．方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()
3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆．()
4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()
5．方程x2＋Bxy＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是B＝0，D2＋E2－4F>0.()
6．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.()
√
×
×
√
√
√
二、小题快练
1．[课本改编]若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析圆x2＋y2＋2x－4y＝0化为标准方程得(x＋1)2＋(y－2)2＝5，可得圆心(－1,2)．直线过圆心，将(－1,2)代入直线方程3x＋y＋a＝0，可得a＝1.
2．[2015·北京高考]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析由题意可得圆的半径为r＝，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()
A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0
解析由题意，设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，
所以圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.
因为点(3,1)在圆上，
所以9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.
所以圆的方程为x2＋y2－10y＝0.
4．[课本改编]若点P(1,1)是圆x2＋(y－3)2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程为()
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－3＝0
C．2x＋y－3＝0 D．2x－y－1＝0
解析据题意可知直线AB与点P和圆心C(0,3)的连线垂直，故kAB＝－＝，从而得直线AB的方程为y－1＝(x－1)，整理得直线AB的方程为x－2y＋1＝0.
5．[2016·温州模拟]如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为()
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
解析r＝＝，当k＝0时，r最大．此时圆的方程为：x2＋y2＋2y＝0，所以圆心坐标为(0，－1)．
考向确定圆的方程
例1(1)[2015·课标全国卷]过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()
A．2 B．8
C．4 D．10
[解析]设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A，B，C代入，得解得
则圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0得y2＋4y－20＝0，
设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1，y2是方程y2＋4y－20＝0的两根，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，故|MN|＝|y1－y2|＝＝＝4.
(2)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．
(x－1)2＋y2＝20
[解析]因为圆心在x轴上，设圆心为(a,0)，
所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.
又因为A(5,2)，B(－1,4)在圆上．
所以解得a＝1，r2＝20.
所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝20.
1．用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程)；
(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；
(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．
2．用几何法求圆的方程
利用圆的几何性质求方程，可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用.
【变式训练1】(1)若圆心在x轴上、半径为的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是()
A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
解析设圆心坐标为(a,0)(a<0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以＝，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
(2)[2014·山东高考]圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长为2，则圆C的标准方程为____________________．
(x－2)2＋(y－1)2＝4
解析设圆心(a>0)，半径为a.
由勾股定理()2＋2＝a2，解得：a＝2.
所以圆心为(2,1)，半径为2，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
考向与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题是高考及各类考试的一个常考点.多以选择题、填空题的形式出现，考查距离、斜率、函数的最值及数形结合思想.
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考点视频
命题角度1斜率型最值
例2已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________．
[解析]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，
解得k＝±.
(如图)所以的最大值为，最小值为－.
－
命题角度2截距型最值
例3[2016·郑州模拟]已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是()
A．(－2，4) B．[－2，4]
C．[－4,4] D．[－4,2]
[解析]由于y≥0，所以x2＋y2＝4(y≥0)为上半圆.x＋y－m＝0是直线(如图)，且斜率为－，在y轴上截距为m，又当直线过点(－2,0)时，m＝－2，
所以即
解得m[－2，4]，选B.
命题角度3距离型最值
例4[2016·揭阳模拟]设点P是函数y＝－的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(aR)，则|PQ|的最小值为()
A.－2 B.
C.－2 D.－2
[解析]如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1,0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．
过圆心C作直线l的垂线，垂足为A，
则|CA|＝，|PQ|min＝|CA|－2＝－2.
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．
(2)常见的最值问题有以下几种类型：形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【变式训练2】已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．
(1)求x－2y的最大值和最小值；
解(1)设t＝x－2y，则直线x－2y－t＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径1，
≤1.∴－－2≤t≤－2.
tmax＝－2，tmin＝－2－.
(2)求的最大值和最小值；
解(2)设k＝，则直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，
≤1.∴≤k≤.
∴kmax＝，kmin＝.
(3)求(x－2)2＋(y－3)2的最大值和最小值．
解(3)设d＝，表示(x，y)到(2,3)的距离，已知圆心(－2,0)到(2,3)的距离为5，dmax＝6，dmin＝4，所以(x－2)2＋(y－3)2的最大值为36，最小值为16.
考向与圆有关的轨迹问题
例5[2014·课标全国卷]已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
[解](1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及POM的面积．
[解](2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．
由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为y＝－x＋.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以POM的面积为.
与圆有关的轨迹问题的求法
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程；
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系代入已知点满足的关系式．不论哪种方法，充分利用圆与圆的几何性质，找出动点与定点之间的关系是解题的关键.
【变式训练3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)若PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在RtPBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
核心规律
1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.
2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.
满分策略
1.求圆的方程需要三个独立条件，因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.
2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行，注意数形结合，充分运用圆的性质.
3.解决与圆有关的轨迹问题，一定要看清要求，是求轨迹方程还是求轨迹.
创新交汇系列5——圆与线性规划的交汇问题
[2015·浙江高考]已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．
[解题视点]本题实际上是一个区域约束，线性最值的求解问题，处理的基本方法是由已知条件确定2x＋y－4和x＋3y－6的符号，去绝对值，再由数形结合求出最值．
15
[解析]画出直线2x＋y－4＝0和x＋3y－6＝0以及圆x2＋y2＝1，如图．
由于整个圆在两条直线的左下方，所以当x2＋y2≤1时，
有
所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|
＝－2x－y＋4＋6－x－3y
＝－3x－4y＋10.
令t＝－3x－4y＋10，则3x＋4y＋t－10＝0，
所以x2＋y2≤1与直线3x＋4y＋t－10＝0有公共点，
所以圆心(0,0)到直线的距离d＝≤1，解得5≤t≤15.
所以t的最大值为15，即|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值为15.
答题启示本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题.
跟踪训练[2015·南阳模拟]如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________．
－1
解析由点P在平面区域上，画出点P所在的平面区域．由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，画出点Q所在的圆，如图所示．
由题意，得|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.
又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为＝，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为－1.
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