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板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第8章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三

























1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．

2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．























[必备知识]

考点1直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)

相离 相切 相交 图形 量化方程观点 Δ0 Δ0 Δ0 几何观点 dr dr dr

























<

























＝

























>

























>

























＝

























<

























考点2圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)

相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|






















[必会结论]

1．关注一个直角三角形

当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形．

2．两圆相交时公共弦的方程

设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，

圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，

若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由－所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.

3．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数

(1)两圆外离时，有4条公切线；

(2)两圆外切时，有3条公切线；

(3)两圆相交时，有2条公切线；

(4)两圆内切时，有1条公切线；

(5)两圆内含时，没有公切线．

























[双基夯实]一、疑难辨析

判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()

2．过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.()

3．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()

4．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()

5．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．()

























×

























√

























×

























×

























√

























二、小题快练

1．[课本改编]圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为()

A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0

C．x－y＋4＝0D．x－y＋2＝0



























解析圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，＝2，解得k＝.切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.

























2．[2016·温州十校联考]对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是()

A．相离B．相切

C．相交D．以上三个选项均有可能



























解析直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|＝<，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交，故选C.

























3．[课本改编]设A，B是直线3x＋4y＋2＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的两个交点，则线段AB的垂直平分线方程是()

A．4x－3y－2＝0B．3x＋4y＋8＝0

C．3x＋4y＋6＝0D．4x－3y－6＝0



























解析设线段AB的垂直平分线方程为4x－3y＋m＝0.又因为线段AB的垂直平分线过圆心，且圆心坐标为(0，－2)，代入得m＝－6.故选D.

























4．[课本改编]两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是()

A．相交B．内切

C．外切D．内含



























解析两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0,1)，O2(0,0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.

|O1O2|＝1＝r2－r1.两圆的位置关系为内切．

























考向直线与圆的位置关系例1(1)[2016·深圳模拟]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()

A．相切B．相交

C．相离D．不确定



























[解析]因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1.故选B.





















































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考点视频

























(2)[2014·安徽高考]过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()

A.B.

C. D.



























[解析]过P点作圆的切线PA、PB，连接OP，如图所示．

显然，直线PA的倾斜角为0，

又OP＝＝2，PA＝，OA＝1，因此OPA＝，由对称性知，直线PB的倾斜角为.若直线l与圆有公共点，由图形知其倾斜角的取值范围是.故选D.





















































判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法

(1)代数法：

(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离.























【变式训练1】(1)已知M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a>0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是()

A．相交B．相切

C．相离D．不确定



























解析因为M(x0，y0)为圆x2＋y2＝a2(a>0)内异于圆心的一点，故x＋y＝a，故直线与圆相离．

























(2)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()

A．[－3，－1]B．[－1,3]

C．[－3,1]D．(－∞，－3][1，＋∞)



























解析因为直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d＝≤r＝，可得|a＋1|≤2，即a[－3,1]．

























考向圆与圆的位置关系

例2(1)[2014·湖南高考]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()

A．21B．19

C．9D．－11



























[解析]圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆心C2(3,4)，半径r2＝.从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.

























(2)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．



























4



























[解析]依题意得|OO1|＝＝5，且OO1A是直角三角形，OO1A的面积＝··|OO1|＝·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝＝＝4.



























如何处理两圆的位置关系

判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到.























【变式训练2】(1)与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有()

A．1条B．2条

C．3条D．4条



























解析由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距为＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3.

























(2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.



























解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4y＝，又a>0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝＝1a＝1.

























1



























考向直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题是高考中的一个命题热点，主要以选择题、填空题的形式出现，考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，有时也与函数、不等式交汇命题.

























命题角度1圆的切线问题

例3[2015·广东高考]平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()

A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0

B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0

C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0

D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0



























[解析]设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋m＝0(m≠1)，

因为直线2x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝5相切，即点(0,0)到直线2x＋y＋m＝0的距离为，所以＝，|m|＝5.故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.

























命题角度2圆的弦长问题

例4[2014·浙江高考]已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()

A．－2B．－4

C．－6D．－8



























[解析]圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，因此圆心为(－1,1)，半径r＝.

圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，又弦长为4，因此由勾股定理可得()2＋2＝()2，解得a＝－4.故选B.

























命题角度3圆的最值问题

例5[2015·江苏高考]在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________．

























(x－1)2＋y2＝2























[解析]解法一：设A(1,0)．由mx－y－2m－1＝0，得m(x－2)－(y＋1)＝0，则直线过定点P(2，－1)，即该方程表示所有过定点P的直线系方程．

当直线与AP垂直时，所求圆的半径最大．

此时，半径为|AP|＝＝.

故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.



























解法二：设圆的半径为r，根据直线与圆相切的关系得r＝＝＝，

当m<0时，1＋<1，故1＋无最大值；

当m＝0时，r＝1；

当m>0时，m2＋1≥2m(当且仅当m＝1时取等号)．

所以r≤＝，即rmax＝，

故半径最大的圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.



























直线与圆综合问题的解题策略

(1)用几何法求圆的弦长：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2.

(2)求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．

(3)对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值.























【变式训练3】(1)[2015·安徽高考]直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()

A．－2或12B．2或－12

C．－2或－12D．2或12



























解析由题意，知圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径为1，则圆心到直线3x＋4y＝b的距离d＝＝1，所以b＝2或b＝12.

























(2)过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为()

A.B.

C．2D．3



























解析设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则切线方程为x0x＋y0y＝1.

分别令x＝0，y＝0得A，B，

所以|AB|＝＝≥＝2.

























(3)已知直线l过点(－4,0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A、B两点，如果|AB|＝8，那么直线l的方程为__________________________．



























x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0























解析当斜率不存在时，l的方程为x＝－4.

圆心到l的距离d＝|－4－(－1)|＝3.

此时弦长为2＝8.符合题意．

当斜率存在时，

设为k，其方程为y＝k(x＋4)，

由题意，|AB|＝8，

故圆心到l的距离d＝3，

即＝3，

























解得k＝－.

此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0，

综上，所求直线方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.





























核心规律

切线、弦长、公共弦的求解方法

(1)求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可.

(2)几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.

(3)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.

满分策略

1.过圆外一定点作圆的切线，有两条，若在某种条件下只求出一个结果，则要想到还有斜率不存在的情况.

2.讨论两个圆的位置关系时，特别是在讨论两个圆相交的公共弦问题时，要注意必须是在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程.























创新交汇系列6——对称思想在直线与圆中的应用

[2015·山东高考]一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()

A．－或－B．－或－

C．－或－D．－或－



























[解析]圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为C(－3,2)，半径r＝1.如图，作出点A(－2，－3)关于y轴的对称点B(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y－(－3)＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切可得＝1，即|5k＋5|＝，整理得12k2＋25k＋12＝0，即(3k＋4)(4k＋3)＝0，解得k＝－或k＝－.故选D.





















































[解题视点]入射点关于y轴的对称点在反射光线所在直线上，用点斜式表示出反射光线所在直线的方程，根据圆心到反射光线的距离得到直线的斜率k.





























答题启示光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线?法线?对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称.























跟踪训练若自点P(－3,3)发出的光线l经x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求直线l的方程．



























解解法一：圆C的圆心坐标为(2,2)，半径为1.

显然，入射光线所在直线的斜率k不存在时不符合题意，故可设入射光线所在直线的方程为y－3＝k(x＋3)，则反射光线所在直线的斜率k′＝－k，点P关于x轴的对称点P′(－3，－3)在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为y＋3＝－k(x＋3)，该直线应与圆相切，故得＝1，所以12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.

所以所求直线l的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

























解法二：如图所示，设圆C关于x轴对称的圆为圆C′，则圆C′的圆心坐标为(2，－2)，半径为1.设入射光线所在直线的方程为y－3＝k(x＋3)，则该直线与圆C′相切，类似解法一可得直线l的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.