板块三启智培优·破译高考板块四模拟演练·提能增分板块五限时·规范·特训板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三高考一轮总复习·数学（理）第8章平面解析几何第6讲双曲线板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块二板块四板块五高考一轮总复习·数学（理）板块三
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想．
[必备知识]
考点1双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；
(1)当时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当时，P点的轨迹是两条；
(3)当时，P点不存在．
双曲线．
焦点
焦距．
a
a＝c
射线
a>c
考点2双曲线的标准方程和几何性质
性
质 范围 x≥或x≤，yR,x∈R， y≤或y≥ 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 离心率 e，其中c＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2＝(c>a>0，c>b>0)
a
－a
－a
a
(1，＋∞)
a2＋b2
[必会结论]
双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e＝2双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的ABF2的周长为4a＋2|AB|.
[双基夯实]一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．平面内到两点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离之差等于1的点的轨迹是双曲线．()
2．方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()
3．与双曲线－＝1(其中mn>0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．()
4．等轴双曲线的离心率等于，且渐近线互相垂直．()
5．若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．()
×
×
√
√
√
二、小题快练
1．[课本改编]双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()
A．2B．2
C．4D．4
解析双曲线的标准方程为－＝1，所以a＝2，则实轴长是4.
2．[课本改编]双曲线x2－4y2＝4的离心率为()
A.B.
C. D.
解析本题考查双曲线离心率的求法．把双曲线化为标准方程得－y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以e＝＝＝.
3．[2015·安徽高考]下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()
A．x2－＝1B.－y2＝1
C.－x2＝1D．y2－＝1
解析双曲线－＝1和－＝1的渐近线方程分别为－＝0和－＝0.A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，又令－x2＝0，得y＝±2x，令y2－＝0，得y＝±x，故选C.
4．[课本改编]双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为()
A.B.
C. D.
解析由于它的一条渐近线方程为y＝x，所以＝，所以e＝＝＝.
5．[2016·黑龙江模拟]已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点将线段F1F2三等分，则该双曲线的渐近线方程为()
A．y＝±2xB．y＝±2x
C．y＝±xD．y＝±x
解析由双曲线的性质知F1(－c,0)，F2(c,0)，A(－a,0)，B(a,0)，由题意2c＝3×2a即c＝3a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
考向双曲线的定义和标准方程
例1(1)[2015·福建高考]若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()
A．11B．9
C．5D．3
[解析]由双曲线的定义知，||PF1|－|PF2||＝6.
因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝9.
(2)[2015·广东高考]已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
[解析]由题意得e＝＝，又右焦点为F2(5,0)，a2＋b2＝c2，所以a2＝16，b2＝9，故双曲线C的方程为－＝1.
1．双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题．
2．求双曲线标准方程的方法
(1)一般步骤
判断：根据已知条件确定双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
设：根据中判断设出所需的未知数或者标准方程；
列：根据题意列关于a，b，c的方程或者方程组；
解：求解得到方程．
(2)常见问题形式
如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．
当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：
一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的一般方程mx2＋ny2＝1(mn<0).
【变式训练1】(1)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为()
A．x2－＝1B．y2－2x2＝1
C.－＝1D.－x2＝1
解析椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，－2)，(0,2)，设双曲线的标准方程为－＝1(m>0，n>0)，则解得m＝n＝2，故选C.
(2)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为________．
44
解析显然，点A为双曲线的右焦点，P，Q都在双曲线的右支上，|PQ|＝16，由双曲线的定义得：|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，|FP|＋|FQ|－|PA|－|QA|＝12，即|FP|＋|FQ|－|PQ|＝12，
所以|FP|＋|FQ|＝28，所以PQF的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.
考向双曲线的几何性质双曲线的标准方程的求解以及双曲线的渐近线、离心率的求解是每年高考的一个热点，难度适中，且多以选择题或填空题的形式出现．
命题角度1求双曲线的离心率
例2[2015·湖南高考]若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()
A.B.
C. D.
[解析]由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，点(3，－4)在渐近线上，＝，又a2＋b2＝c2，c2＝a2＋a2＝a2，e＝＝，选D.
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考点视频
命题角度2求双曲线的渐近线
例3[2013·课标全国卷]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为()
A．y＝±xB．y＝±x
C．y＝±xD．y＝±x
[解析]e＝，＝，即＝.
c2＝a2＋b2，＝.＝.
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
渐近线方程为y＝±x.故选C.
命题角度3求双曲线的焦点(距)、实虚轴长
例4[2014·广东高考]若实数k满足0
A．离心率相等B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等D．焦距相等
[解析]由0
命题角度4双曲线性质的综合应用
例5[2015·天津高考]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()
A.－＝1B.－＝1
C.－y2＝1D．x2－＝1
[解析]由题意知，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
因为该双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，所以＝，解得b2＝3a2.
又因为c2＝a2＋b2＝4，所以a2＝1，b2＝3.
故所求双曲线的方程为x2－＝1.
与双曲线几何性质有关问题的常见类型及解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解.
【变式训练2】(1)[2014·大纲全国卷]双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于()
A．2B．2
C．4D．4
解析渐近线的斜率为k＝＝，且＝2，解得c2－3＝1，所以c＝2，则2c＝4.
(2)[2014·江西高考]过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
解析设右焦点为F，由题意得|OF|＝|AF|＝4，
即a2＋b2＝16，
又A(a，b)，F(4,0)可得(a－4)2＋b2＝16，
故a＝2，b2＝12，所以方程为－＝1.
考向直线与双曲线的综合问题
例6已知两定点F1(－，0)，F2(，0)，满足条件|PF2|－|PF1|＝2的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx－1与曲线E交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；
[解](1)由双曲线的定义可知，曲线E是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的双曲线的左支，且c＝，a＝1，则b＝1，故曲线E的方程为x2－y2＝1(x<0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意建立方程组，得
消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
又已知直线与双曲线的左支交于A，B两点，
所以解得－
(2)如果|AB|＝6，求k的值．
[解](2)由(1)可得x1＋x2＝，x1x2＝
因为|AB|＝·|x1－x2|
＝·
＝·
＝2＝6，
整理后得28k4－55k2＋25＝0，
所以k2＝或k2＝，但－
求解双曲线综合问题的主要方法
双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝·|x1－x2|.
【变式训练3】设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
解(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1(a>0)中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
所以，解得0
又双曲线的离心率e＝＝，
所以e>且e≠.
即e∪(，＋∞)．
(2)设直线l与y轴的交点为P，取＝，求a的值．
解(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，
因为＝，
所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.
由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，
所以x2＝－，x＝－.
消去x2得：－＝.
由a>0，解得：a＝.
核心规律
1.当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为－＝1(mn>0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2＋By2＝1(AB<0)，这种形式在解题时更简便.
2.与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0).
3.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程.
满分策略
1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2，y2前系数的正负.
2.关于双曲线中离心率范围问题，不要忘记双曲线离心率固有范围e>1.
3.双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.
5.当直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
题型技法系列19——解决双曲线的离心率与渐近线的技巧
[2015·山东高考]过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．
[解题视点]利用平行关系设出过右焦点的直线方程，把点P坐标代入方程，构造齐次式，求得离心率．
2＋
[解析]不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y＝(x－c)，与C交于P(x0，y0)．
x0＝2a，y0＝(2a－c)．又P(x0，y0)在双曲线C上，－＝1，
整理得a2－4ac＋c2＝0，设双曲线C的离心率为e，
故1－4e＋e2＝0.
e1＝2－(舍去)，e2＝2＋.
即双曲线C的离心率为2＋.
答题启示双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得的值，于是e2＝＝＝1＋2，因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即＝.但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解．
跟踪训练设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()
A.B.
C. D.
解析设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直关系得·＝－1，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，两边同除以a2，整理得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．
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