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[必备知识]

考点1抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的

其数学表达式：



























相等

























准线．

























|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．

























考点2抛物线的标准方程与几何性质

标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0























焦点 F 离心率 e＝1 准线方程 范围 x≥0，yR x≤0，yR y≥0，xR y≤0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 |PF|＝x0＋ |PF|＝|PF|＝|PF|＝

























F

























F



























F



























x＝－

























x＝

























y＝－

























y＝

























－x0＋

























y0＋

























－y0＋

























[必会结论]

抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.

(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．

(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p.

























[双基夯实]一、疑难辨析

判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

1．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()

2．若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()

3．方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.()

4．抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()

5．AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.()

























√

























×

























×

























×

























×

























二、小题快练

1．[课本改编]经过点P(16，－4)的抛物线的标准方程为()

A．y2＝x或x2＝－64y B．y2＝x或y2＝－64x

C．y2＝x D．x2＝－64y



























解析当抛物线的开口向右时，抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，代入点P(16，－4)得：p＝，y2＝x；当抛物线的开口向下时，抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)代入点P(16，－4)得：p＝32，x2＝－64y；综上所述，y2＝x或x2＝－64y.

























2．抛物线y＝－x2的焦点坐标是()

A．(0，－4) B．(0，－2)

C. D.



























解析抛物线方程可化成x2＝－8y，所以焦点坐标为(0，－2)，故选B.

























3．[2014·安徽高考]抛物线y＝x2的准线方程是()

A．y＝－1 B．y＝－2

C．x＝－1 D．x＝－2



























解析抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.

























4．[2016·辽宁五校联考]已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()

A．2 B.

C. D.



























解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是＝.

























5．若抛物线x2＝ay过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离为________．



















































解析由题意可知，点A在抛物线x2＝ay上，所以1＝a，解得a＝4，得x2＝4y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为yA＋1＝＋1＝.

























考向抛物线的定义及应用例1[2016·安徽模拟]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则AOB的面积为()

A. B.

C. D．2



























[解析]焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立可得2x2－5x＋2＝0，所以B的横坐标为，纵坐标为－，SAOB＝×1×(2＋)＝.





















































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考点视频

























延伸探究1本例题条件不变，问题改为“求|BF|的值”，如何解答？



























解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，x1＝2.A点坐标为(2,2)．

则直线AB的斜率为k＝＝2.

直线AB的方程为y＝2(x－1)．

由消去y，得2x2－5x＋2＝0，

解得x1＝2，x2＝.|BF|＝x2＋1＝.

























延伸探究2把|AF|＝3改为|AF|＝3|BF|，其他条件不变，求A，B两点所在的直线方程．



























解由|AF|＝3|BF|可知A＝3F，易知F(1,0)，设B(x0，y0)，则

从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)．

因为点A，B都在抛物线上，所以

解得x0＝，y0＝±，所以kAB＝＝±.

所求直线方程为y＝±(x－1)．



























应用抛物线的定义解题

(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．

(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.























【变式训练1】(1)[2014·课标全国卷]已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()

A．1 B．2

C．4 D．8



























解析由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.

























(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A，则|PA|＋|PM|的最小值是()

A. B．4

C. D．5



























解析设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F.又点A在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，则|PM|＝d－.

又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.























考向抛物线的方程及几何性质

例2(1)[2015·陕西高考]已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()

A．(－1,0) B．(1,0)

C．(0，－1) D．(0,1)



























[解析]抛物线准线为x＝－＝－1，＝1，焦点的坐标为(1,0)，选B.

























(2)[2016·石家庄调研]若抛物线y2＝2px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()

A．y2＝4x B．y2＝6x

C．y2＝8x D．y2＝10x



























[解析]抛物线y2＝2px，准线为x＝－.

点P(2，y0)到其准线的距离为4，

＝4.

p＝4.抛物线的标准方程为y2＝8x.



























1．求抛物线标准方程的方法及注意点

(1)方法：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．

(2)注意点：

当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；

要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；

要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题.























2．用抛物线几何性质的技巧

涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

3．抛物线焦点弦问题求解策略

求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结合思想求解.

























【变式训练2】(1)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()

A．2 B．2

C．4 D．2



























解析由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，

所以p＝2，所以y2＝4x.

所以y＝4×2，所以y0＝±2.

所以|OM|＝＝＝2.

























(2)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()

A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－y

C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y



























解析将y＝ax2化为x2＝y，当a>0时，准线y＝－，由已知得3＋＝6，所以＝12，所以a＝.当a<0时，准线y＝－，由已知得＝6，

所以a＝－或a＝(舍)．

所以抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y，故选D.

























考向直线与抛物线的综合应用

例3[2015·福建高考]已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.

























(1)求抛物线E的方程；





























[解](1)由抛物线的定义，得|AF|＝2＋.

因为|AF|＝3，即2＋＝3，

解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.

























(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．



























[解](2)证法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，

所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．

由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．

由得2x2－5x＋2＝0，

解得x＝2或x＝，从而B.

又G(－1,0)，

所以kGA＝＝，kGB＝＝－，

所以kGA＋kGB＝0，从而AGF＝BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，

故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．

























证法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.

因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，

所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．

由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．

由得2x2－5x＋2＝0，

解得x＝2或x＝，从而B.

又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，从而r＝＝.

又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，

所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r.

这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．



























求解抛物线综合问题的方法

(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式.























【变式训练3】[2016·唐山模拟]已知抛物线E：x2＝2py(p>0)，直线y＝kx＋2与E交于A，B两点，且O·O＝2，其中O为原点．

(1)求抛物线E的方程；



























解(1)将y＝kx＋2代入x2＝2py，得x2－2pkx－4p＝0，其中Δ＝4p2k2＋16p>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p.

O·O＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4p＋4.

由已知，－4p＋4＝2，p＝，

所以抛物线E的方程为x2＝y.

























(2)点C坐标为(0，－2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：k＋k－2k2为定值．



























解(2)证明：由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2.

k1＝＝＝＝x1－x2，

同理k2＝x2－x1，

所以k＋k－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2

＝－8x1x2＝16.



























核心规律

1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).

2.认真区分四种形式的标准方程

(1)区分y＝ax2与y2＝2px(p>0)，前者不是抛物线的标准方程.

(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0).

满分策略

1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程.

2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题，要多从抛物线的定义入手，这样可以简化问题.

3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.























题型技法系列22——抛物线定义的应用技巧

[2015·浙江高考]如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()



A.B.

C.D.























































[解析]由题可知抛物线的准线方程为x＝－1.如图所示，过A作AA2y轴于点A2，过B作BB2y轴于点B2，则＝＝＝.























































[解题视点]本题主要考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积等知识．考生可将面积问题转化为线段的比例问题，结合抛物线的定义和性质快速求解．





























答题启示抛物线的定义实现了点到点的距离与点到线的距离的转化，解题时注意灵活应用.即“遇焦点想准线，遇到准线想焦点”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.























跟踪训练

[2016·重庆模拟]过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.



















































解析F点坐标为，设A，B两点的横坐标为x1，x2.

因|AF|<|BF|，故直线AB不垂直于x轴．

设直线AB为y＝k，联立直线与抛物线的方程得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，

则x1＋x2＝.

又|AB|＝x1＋x2＋1＝，可解得k2＝24，代入式得12x2－13x＋3＝0，即(3x－1)(4x－3)＝0.而|AF|<|BF|，所以x1＝.

由抛物线的定义，得|AF|＝x1＋＝.