高考一轮总复习·数学（理）高考一轮总复习·数学（理）第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入高考大题冲关系列二高考一轮总复习·数学（理）三角函数的综合问题
命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质．
题型1 三角函数的图象与性质的综合问题 例1[2015·重庆高考]已知函数f(x)＝sinsinx－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
[解题视点]本题主要考查三角函数的性质、二倍角公式等，考查考生的逻辑思维能力、计算能力．(1)首先利用诱导公式、二倍角公式等将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后即可求出f(x)的最小正周期与最大值；(2)首先根据所给自变量的取值范围确定出2x－的取值范围，然后结合正弦函数的单调性求解．
[解](1)f(x)＝sinsinx－cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x时，0≤2x－≤π，从而
当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.
－冲关策略－
求解三角函数的图象与性质解答题的关键是三角恒等变换，在解题中要对已知的三角函数式进行合理的变换，把其归结为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后再结合题目要求展开解题．研究三角函数性质时，需把ωx＋φ看成一个整体.
变式训练1
[2015·开封一模]已知函数f(x)＝4cosxsin－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最值．
解(1)f(x)＝4cosxsin－1
＝4cosx－1
＝sin2x＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x＝2sin，
f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)－≤x≤，－≤2x＋≤，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝f＝2，
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝f＝－1.
题型2 解三角形与数列的综合问题 例2[2014·陕西高考]ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
[解题视点]本题是三角函数、解三角形与数列问题的综合，解题时先根据数列的概念和性质将问题转化为三角函数或解三角形的问题，最后用正、余弦定理求解．
[解](1)证明：a，b，c成等差数列，a＋c＝2b.
由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.
sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．
(2)a，b，c成等比数列，b2＝ac.
由余弦定理得
cosB＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时等号成立．
cosB的最小值为.
－冲关策略－
纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.
变式训练2
在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2＋ccos2＝b.
(1)求证：a、b、c成等差数列；
(2)若B＝，S＝4，求b.
解(1)证明：由正弦定理得：sinAcos2＋sinCcos2＝sinB，
即sinA·＋sinC·＝sinB，
sinA＋sinC＋sinAcosC＋cosAsinC＝3sinB，
即sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB.
sin(A＋C)＝sinB，
sinA＋sinC＝2sinB，即a＋c＝2b，
a、b、c成等差数列．
(2)S＝acsinB＝ac＝4，ac＝16.
又b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，
由(1)得：a＋c＝2b，b2＝4b2－48，
b2＝16，即b＝4.
题型3 三角变换与解三角形的综合 例3[2015·天津高考]在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－.
(1)求a和sinC的值；
(2)求cos的值．
[解题视点](1)利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式求解；(2)利用二倍角的正弦、余弦公式、两角和与差的余弦公式进行三角恒等变换．
[解](1)在△ABC中，由cosA＝－，可得sinA＝.由S△ABC＝bcsinA＝3，得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.
由＝，得sinC＝.
(2)cos＝cos2A·cos－sin2A·sin＝(2cos2A－1)－×2sinA·cosA＝.
－冲关策略－
三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键.
变式训练3
[2015·哈尔滨模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的周长为20，面积为10，求△ABC的三边长．
解(1)因为a＝b，
所以由正弦定理，得sinA＝sinB.
因为B＝π－(A＋C)，
所以sinAcosC＋sinAsinC＝sin(A＋C)，
即sinAsinC＝cosAsinC，
因为sinC≠0，
故tanA＝，A＝.
(2)由题意，得a＋b＋c＝20，①
bcsinA＝bcsin＝10，即bc＝40.②
又a2＝b2＋c2－2bccosA，
即a2＝b2＋c2－bc.③
由①，得b＋c＝20－a，④
a2＝(b＋c)2－3bc，
把②④代入上式，得a2＝(20－a)2－120，
解得a＝7，
所以解得或
故三角形的三边长为a＝7，b＝8，c＝5或a＝7，b＝5，c＝8.
题型4 平面几何中的三角函数求值 例4[2014·北京高考]如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
[解题视点]根据题设条件，利用同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式，可求出第(1)问中的正弦值．对于第(2)问，在△ABD中，利用正弦定理求BD；在△ABC中，利用余弦定理求AC.
[解](1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，
所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B
＝82＋52－2×8×5×＝49.
所以AC＝7.
－冲关策略－
平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，这些问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.
变式训练4
[2015·课标全国卷Ⅱ]△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
解(1)由正弦定理得，
＝，＝.
因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，
所以＝＝.
(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，
所以sin∠C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos∠B＋sin∠B.
由(1)知2sin∠B＝sin∠C，所以tan∠B＝，即∠B＝30°.
题型5 三角函数与平面向量相结合 例5[2015·广东高考]在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x.
(1)若mn，求tanx的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
[解题视点](1)先由mn建立恒等关系，进而得到tanx的值；(2)由m与n的夹角为，建立关系式得到sin＝，再根据角的范围，求出符合条件的角．
[解](1)m⊥n，m·n＝0.
故sinx－cosx＝0，tanx＝1.
(2)m与n的夹角为，cos〈m，n〉＝＝＝，故sin＝.
又x，x－，x－＝，即x＝，故x的值为.
－冲关策略－
(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．
(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．本例中，易忽略x导致错解.
变式训练5
[2016·沈阳模拟]已知向量m＝(sinx，－1)，n＝，f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)当x时，求f(x)的值域；
(3)将f(x)的图象左移个单位后得g(x)的图象，求g(x)在上的最大值．
解(1)由已知可得m＋n＝，
故f(x)＝(m＋n)·m
＝·(sinx，－1)
＝sin2x＋sinxcosx－＝sin2x－cos2x
＝sin.
故f(x)的最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，kZ，
得kπ－≤x≤kπ＋，kZ.
故f(x)的单调递增区间是(kZ)．
(2)当x时，2x－，
故－≤sin≤1，
故－≤sin≤.
所以当x时，f(x)的值域为.
(3)由已知得g(x)＝sin
＝sin＝cos2x.
故当x时，2x.
所以当2x＝0即x＝0时，g(x)max＝cos0＝.
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