高考一轮总复习·数学（理）高考一轮总复习·数学（理）第8章平面解析几何高考大题冲关系列五高考一轮总复习·数学（理）圆锥曲线的综合问题
命题动向：圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点．命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题．命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，综合考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点．
题型1 直线与圆锥曲线的位置关系 例1[2015·天津高考]已知椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点为B，左焦点为F，离心率为.
(1)求直线BF的斜率；
[解](1)设F(－c,0)，由已知离心率＝及a2＝b2＋c2，可得a＝c，b＝2c.又因为B(0，b)，F(－c,0)，故直线BF的斜率k＝＝＝2.
(2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B)，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)，直线PQ与y轴交于点M，|PM|＝λ|MQ|.
求λ的值；
[解](2)设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，M(xM，yM)．
由(1)可得椭圆的方程为＋＝1，直线BF的方程为y＝2x＋2c.将直线方程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x2＋5cx＝0，解得xP＝－.
因为BQBP，所以直线BQ的方程为y＝－x＋2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得21x2－40cx＝0，解得xQ＝.
又因为λ＝，及xM＝0，可得λ＝＝＝.
②若|PM|sinBQP＝，求椭圆的方程．
[解]由有＝，所以＝＝，即|PQ|＝.又因为|PM|sinBQP＝，所以|BP|＝|PQ|sinBQP＝|PM|sinBQP＝.
又因为yP＝2xP＋2c＝－c，所以|BP|＝＝c，因此c＝，得c＝1.所以，椭圆方程为＋＝1.
[解题视点](1)利用椭圆的几何性质建立基本量之间的关系，进而求直线的斜率；(2)分别求出点P，Q，M的横坐标求λ，根据|PM|＝|MQ|及|PM|sinBQP＝列出关系式求出c，进而得到椭圆方程．
－冲关策略－
涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法.
变式训练1
双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|O|，|A|，|O|成等差数列，且B与F同向．
(1)求双曲线的离心率；
解(1)设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，
由勾股定理可得(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，
得d＝m，tanAOF＝，
tanAOB＝tan2AOF＝＝，
由倍角公式，得＝，解得＝，
则离心率e＝.
(2)设直线AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解(2)不妨设过F与l1垂直的直线方程为y＝－(x－c)，与双曲线方程－＝1联立，将a＝2b，c＝b代入，
化简有x2－x＋21＝0，
4＝|x1－x2|
＝，
将数值代入，有4＝，
解得b＝3，故所求的双曲线方程为－＝1.
题型2 圆锥曲线中的定点定值问题 例2[2015·陕西高考]如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
[解](1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
[解](2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.
由已知Δ>0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
从而直线AP，AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋
＝＋
＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)
＝2k－2(k－1)
＝2.
[解题视点]第(1)问根据离心率的定义及a，b，c的等量关系式求标准方程；第(2)问先设直线方程，然后联立方程，利用根与系数的关系表示所求斜率之和，化简求解即可．
－冲关策略－
圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法
圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现.
变式训练2
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且过点Q.
(1)求椭圆C的方程；
解(1)由题意知，解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)椭圆C长轴两端点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，定直线x＝4与直线PA，PB分别交于M，N两点，又E(7,0)，过E，M，N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
解(2)设PA，PB的斜率分别为k1，k2，P(x0，y0)，则k1k2＝－，
可令PA：y＝k1(x＋2)，∴M(4,6k1)，
PB：y＝k2(x－2)，∴N(4,2k2)，
又kEM＝－＝－2k1，kEN＝－，
∴kEMkEN＝－1，
设圆过定点F(m,0)，则·＝－1，解得m＝1或m＝7(舍)，
故过点E，M，N三点的圆是以MN为直径的圆，过x轴上不同于点E的定点F(1,0)．
题型3 圆锥曲线中的最值与范围问题 例3[2015·浙江高考]已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
(1)求实数m的取值范围；
[解](1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，
得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①
设M为AB的中点，
则M，
代入直线方程y＝mx＋
解得b＝－.②
由①②得m<－或m>.
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．
[解](2)令t＝∈∪，则
|AB|＝·，
且O到直线AB的距离d＝.
设△AOB的面积为S(t)，所以
S(t)＝|AB|·d
＝≤，
当且仅当t2＝时，等号成立．
故△AOB面积的最大值为.
[解题视点](1)设直线AB的方程为y＝－x＋b，联立直线与椭圆方程，利用Δ>0建立m与b的不等关系，利用中点建立m与b的等式关系，从而消去b，求得m的范围．(2)设t＝，用t表示出△AOB的面积S(t)，求出函数的最值即可．
－冲关策略－
圆锥曲线中最值、范围的求解方法
与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用.
变式训练3
已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，D、E分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S△DEF2＝1－.
(1)求椭圆C1的方程；
解(1)由题意知e＝＝，故c＝a，b＝a.
∵S△DEF2＝(a－c)·b＝·＝a2＝1－，
∴a2＝4，即a＝2，b＝a＝1，c＝，
∴椭圆C1的方程为：＋y2＝1.
(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．
解(2)∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，
∴直线l的斜率必存在且为负．
设直线l的方程为：y＝kx＋m(k<0)，
联立，消去y整理可得：
x2＋2kmx＋m2－1＝0，①
根据题意可得方程①只有一实根，
∴Δ＝(2km)2－4(m2－1)＝0，
整理得：m2＝4k2＋1.②
∵直线l与两坐标轴的交点分别为，(0，m)且k<0，
∴l与坐标轴围成的三角形的面积S＝·，③
将②代入③可得：S＝－2k＋≥2(当且仅当k＝－时取等号)，∴l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.
题型4 圆锥曲线中的探索性问题 例4[2015·课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点．
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
[解](1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．
又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.
y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.
故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
[解](2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.
故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.
从而k1＋k2＝＋
＝
＝.
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.
[解题视点]本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了考生的计算能力以及解决探索性问题的能力．(1)首先求出M，N两点的坐标，然后利用导数的几何意义求切线方程；(2)假设存在点P，然后利用直线与抛物线相交以及角相等的关系进行判定．
－冲关策略－
探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在，也可以采用反证法.
变式训练4
[2015·四川高考]如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
解(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)．
又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝.
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以，x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋λ·＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－2.
所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.
此时，·＋λ·＝－3为定值．
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD.
此时，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3.
故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
题型5 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题 例5[2016·南昌模拟]已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，)，且离心率e＝.(1)求椭圆E的方程；
[解](1)由已知得，
解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
[解](2)解法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)．
由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而y0＝.
所以|GH|2＝2＋y＝2＋y＝(m2＋1)y＋my0＋.
＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)，
故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝>0，
所以|GH|>.
故点G在以AB为直径的圆外．
解法二：
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则G＝，G＝.
由得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而G·G＝＋y1y2＝＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋＝＋＋＝>0，
所以cos〈G，G〉>0.又G，G不共线，所以AGB为锐角．
故点G在以AB为直径的圆外.
[解题视点](1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2＝c2＋b2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆E的方程；(2)解法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若d>r，则点G在圆外；若d＝r，则点G在圆上；若d0，则点G在圆外；若G·G<0，则点G在圆内．
－冲关策略－
对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力.
变式训练5
已知抛物线C：y＝2x2，直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
解(1)证法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中，得2x2－kx－2＝0，
x1＋x2＝.
xN＝xM＝＝，N点的坐标为.
(2x2)′＝4x，(2x2)′x＝＝k，
即抛物线在点N处的切线的斜率为k.
直线l：y＝kx＋2的斜率为k，切线平行于AB.
证法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x2中得2x2－kx－2＝0，
x1＋x2＝.
∵xN＝xM＝＝，N点的坐标为.
设抛物线在点N处的切线l1的方程为y－＝m，
将y＝2x2代入上式得2x2－mx＋－＝0，
直线l1与抛物线C相切，Δ＝m2－8＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
m＝k，即l1AB.
(2)是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
解(2)假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N.
M是AB的中点，|MN|＝|AB|.
由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝
[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2，
MN⊥x轴，|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝.
|AB|＝×＝×＝×.
＝×，k＝±2，
存在实数k＝±2，使以AB为直径的圆M经过点N.
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