高考一轮总复习·数学（理）高考一轮总复习·数学（理）第10章计数原理、概率、随机变量及分布列高考大题冲关系列六高考一轮总复习·数学（理）概率与统计的综合问题
命题动向：通过对近五年的高考试题分析，在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常常与统计相结合，常常设计成包含概率计算、概率分布表、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识为主的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力．
题型1 随机事件的概率计算 例1[2015·陕西高考]设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T(分钟) 25 30 35 40 频数(次) 20 30 40 10 (1)求T的分布列与数学期望E(T)；
(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
[解题视点]第(1)问先找出随机变量的可能取值，理解随机变量每一个值所对应的事件的含义，再准确计算出各个取值对应的概率，列出分布列，最后利用Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…进行求解；第(2)问可利用互斥事件的概率计算公式进行求解，也可利用对立事件进行转化求解．
[解](1)由统计结果可得T的频率分布为
T(分钟) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得T的分布列为
T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．
(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．
解法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.
解法二：P()＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.
故P(A)＝1－P()＝0.91.
－冲关策略－ 解答这类概率问题时，一般“大化小”，即将问题划分为若干个彼此互斥事件，然后运用概率的加法公式和乘法公式来求解，在运用乘法公式时一定要注意的是是否满足相互独立，只有相互独立才能运用乘法公式．有时需要求出事件A的对立事件的概率，然后利用P(A)＝1－P()可得解.
变式训练1
[2016·河北衡水中学]某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意，得
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)＝＝＝，
所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝，P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
P(B|A)＝＝.
题型2 随机变量的分布列和期望 例2[2015·山东高考]若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
[解题视点](1)根据题意明确“三位递增数”的定义，从而得到个位数字是5的“三位递增数”；(2)首先根据题意确定随机变量X的所有可能取值，然后求出每个取值对应事件的概率，列出分布列，从而求得数学期望．
[解](1)个位数是5的“三位递增数”有
125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，
随机变量X的取值为：0，－1,1，因此
P(X＝0)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝1)＝1－－＝.
所以X的分布列为
X 0 －1 1 P 则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.
－冲关策略－ 解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率.
变式训练2[2014·湖南高考]某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．
解记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，
且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，
于是P()＝P()P()＝×＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220，因P(X＝0)＝P()＝×＝，P(X＝100)＝P(F)＝×＝，P(X＝120)＝P(E)＝×＝，P(X＝220)＝P(EF)＝×＝.
故所求的分布列为
X 0 100 120 220 P 数学期望为E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.
题型3 概率与统计的综合问题
例3[2015·课标全国卷]某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62738192958574645376
78869566977888827689
B地区：73836251914653736482
93486581745654766579
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
[解题视点](1)由调查的结果可直接绘制茎叶图，再通过茎叶图观测比较两地区用户满意度；(2)根据互斥事件、独立事件的概率求解．
[解](1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；
CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；
CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；
CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，
则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.
P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)
＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)
＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．
由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，，，，故P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝，
P(C)＝×＋×＝0.48.
－冲关策略－ 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题.
变式训练3[2014·辽宁高考]一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．
解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天日销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
分布列为
X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
题型4 统计与统计案例的综合问题 例4[2014·安徽高考]某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附：K2＝
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879
[解题视点](1)利用300×＝90即可求出结果；(2)先算出不超过4小时的概率，再利用对立事件的概率计算公式求解；(3)先算出K2，再利用参考数值分析给出结论．
[解](1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的．所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
－冲关策略－ 解决此类问题的关键在于准确求出并归类整理相关数据，然后代入相应的公式求解，注意K2公式中各个数据与字母之间的对应，不能混淆，另外由于数值较大，所以运算要细心、认真.
变式训练4某大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛．经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训．下图是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图．赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数不低于85票的可进入决赛，其中票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．
(1)从进入决赛的选手中随机抽出2名，X表示其中拥有“优先挑战权”的人数，求X的分布列和数学期望；
(2)请填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择的导师有关？
下面的临界值表仅供参考：
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
解(1)由题中茎叶图可知，进入决赛的选手共13名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名．
根据题意，X的可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
X的分布列如下：
X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(2)由茎叶图可得2×2列联表如下：
甲班 乙班 合计 进入决赛 3 10 13 未进入决赛 17 10 27 合计 20 20 40 K2＝≈5.584>5.024，
因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为进入决赛与选择的导师有关．
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