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大衍之數五十和只其四十九之數
學理論及相關數學題
上傳書齋：瀟湘館112
何世強
HoSaiKeung
提要：卜筮時50蓍只用其49，本文以數學方法說明其理由。“虛一”其實
並無難解之處，其意指蓍雖有50，但只須用其49，即可得最後之餘
蓍數﹝所謂“掛扐”之數﹞總和為13，17，21及25，可以分別代
表老陽、少陰、少陽及老陰。若50蓍全用，則不能得以上四數。
本文亦提及以其他蓍數畫卦之可行性。
關鍵詞：大衍之數、揲蓍、掛扐之數、虛一、分二、掛一、揲四、一變、
二變、三變、掛一、掛法、不掛法、筮儀。
第1節大衍之數只用其四十九之原因和用四十八之
可行性
卜筮時50蓍只用其49，此舉令後世學者大感不解，為何?只用其四十九?
而不全用五十？其中有何特別意義？此所謂?虛一?之步驟是否可以略去？略
去此步驟是否令揲蓍成卦更為緊湊？?虛一?看來?多此一舉?，因為五十與
四十九之差異不大，另一方面，五十已是?整齊?之數目，去其一得四十九，
變得非常?不整齊?，最不可解者四十九為奇數，古人一向不喜歡奇而喜歡
耦，但揲蓍畫卦時卻偏偏取去一枝而?只用其四十九?，有整齊之數不用而用
?蹩腳?之數，有自尋煩惱之嫌。宋?朱熹《周易本義?繫辭上傳》曰：
至用以筮，則又止用四十有九，蓋皆出於理，勢之自然，而非人之知力所
能損益也。
朱熹無解釋為何只用49枝而不用50枝，反加深其神祕性，乃?出於理、勢
-2-
之自然?，其意指此數以後人之智力﹝知力﹞不能減或加﹝損益﹞，此說更令
後人迷惑。朱熹一向喜用?理?以表達自然存在之事或物，一些無法解釋、不
必解釋或難以解釋之事或物，皆以?理?概括之，此乃後世所云之?理所當
然?。用49蓍而不用50是為?理?，其中之含義為?無法解釋、不必解釋
或難以解釋?。
至於捨去其一乃?象太極?之說相信始於魏?王弼，此說亦抽象。唐?孔
頴達《周易注疏?卷第十一?繫辭上》曰?
注云：王弼曰：演天地之數，所賴者五十也。其用四十有九，則其一不用
也。不用而用以之通，非數而數以之成，斯易之太極也。四十有九，數之
極也。夫無不可以無明，必因於有，故常於有物之極，而必明其所由之宗
也。
其後宋?朱熹承襲其說，《易學啟蒙?卷下》曰：
大衍之數五十而蓍一根百莖，可當大衍之數者二，故揲蓍之法取五十莖為
一握，置其一不用以象太極，而其當用之策凡四十有九，蓋兩儀體具而未
分之象也。
集說：崔氏憬曰：其用四十有九者，法長陽七七之數也。…捨一不用者以
象太極，虛而不用也。
朱熹解釋大衍之數之基數為一百，一百可作大衍之數二次，故取蓍五十
莖，而五十莖可一手握之。朱熹又依舊說“虛其一以象太極”，故可用之策為
四十有九。
事實上，若果只從哲學、文學或其他領域研究此問題不能得結果，但若果
從數學方面看此問題，則簡單得多，因為用50蓍依?筮儀??四揲?左份及右
份之?策?後，是無法得出?一變?後之總餘數和5或9，只有用49蓍方可得
此結果﹝見下節﹞，故?虛一?之步驟絕不可省略。
上文提及古人只捨去一枝，為何不捨去兩枝﹝或其他數目﹞？筆者相信此
乃由經驗而得。在?大衍之數?50尚未出現之前，先賢如須占卜，首先想到之
問題應為?須多少蓍方合？?此應為一個以10為單位之不大不小之數，例如
30、40、50、60、…、100等。絕不會32、43、57、61、…等個位非0之數
目。經過反覆多次研究與實驗後，大概50蓍可以以一手全握﹝見上文《易學啟
蒙?卷下》之說﹞，於是便以50為基數，此乃?大衍之數?之由來。
?大衍之數?只用49無特別原因，目的為令?一變?後餘總數﹝連同從右
份取去一枝之數，稱為?掛一?，注意?虛一?與?掛一?不同﹞為5或9；
?二變?後餘總數﹝連同從右份取去一枝之數﹞為4或8；?三變?後餘總數
﹝連同從右份取去一枝之數﹞亦為4或8；於是?三變?後總餘數之和只有四
種：13、17、21、25。若不除去一枝而用50枝蓍求變，則不能得出上述四數，
-3-
此四數分別代表?老陽?、?少陰?、?少陽?及?老陰?。若無此四數，則
不能成卦。
總言之?大衍之數五十，其用四十有九?並無難解之處，其意為?策或蓍
雖有50，但只須用其49，即可得最後之餘策數﹝所謂‘掛扐’之數﹞總和為
13，17，21及25，可分別代表老陽、少陰、少陽及老陰。?
以上之成卦步驟可參閱筆者之〈《周易》筮法揲蓍成卦之?掛法?及得四象
之概率〉及〈《周易》筮法揲蓍成卦之?不掛法?及得四象之概率〉兩文。
第2節大衍之數用其四十八之可行性
筆者曾經考慮此問題：如果取去2枝，用48枝﹝即大衍之數50，只用其
48，在此情況下乃?虛二?﹞蓍，能不能成卦？答案可以，以下是為揲48蓍之
成卦法。
依筮儀所述，將48枝蓍分成左右兩份，左份蓍數記為4a、4b+1、4c+2
或4d+3﹝a、b、c和d均為小於或等於11之正整數，而b、c、d可以為0﹞。
今以左份蓍數為4a為例，4枝一份地分後必餘4﹝餘數應為0，不取0，取
4﹞。則右份蓍數為48–4a，掛一後為47–4a，4枝一份地分後必餘3。
總餘數=左份蓍餘數+右份蓍餘數+右份蓍之掛一
﹝以後各變皆如此﹞
今以?一變?表為例，將左份蓍4枝一份地分，記下餘數(2)。將右份蓍先
取去一枝﹝掛一﹞(3)，又4枝一份地分，又記下餘數(4)；再將兩次餘數連同取
去一枝之數相加﹝(2)+(4)+1﹞，記下此總數。此即為?一變?。
?二變?和?三變?可以照步驟實施。現在先列成以下之?一變?表：
﹝若左份蓍數為4a，右份蓍數為48–4a，經?掛一?後數為47–4a，其餘類
推﹞
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數(3)﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)總餘數
(2)+(4)+1
-4-
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
47–4a
47–(4b+1)=46–4b
47–(4c+2)=45–4c
47–(4d+3)=44–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
上表最右方之一欄數字是兩餘數之和﹝第2及第4欄﹞再加上從右份蓍取去
之一枝。從上表可知，?一變?後之餘數非4則8。餘下40或44蓍﹝48減8或
減4，而48是所用之蓍數﹞。依前述進行?二變?，將40或44枝蓍分或兩
份，求其餘數：
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
44枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
43–4a
43–(4b+1)=42–4b
43–(4c+2)=41–4c
43–(4d+3)=40–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
或40枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
39–4a
39–(4b+1)=38–4b
39–(4c+2)=37–4c
39–(4d+1)=36–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
?二變?後之餘數非4則8。此時餘下之蓍總數有三個可能之數：40﹝44–
4﹞、36﹝44–8或40–4﹞、32﹝40–8﹞。依前述方法進行?三變?，將
32、36或40枝蓍分成兩份，其可能情形如下表所列：
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
32枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
31–4a
31–(4b+1)=30–4b
31–(4c+2)=29–4c
31–(4d+3)=28–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
-5-
36枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
35–4a
35–(4b+1)=34–4b
35–(4c+2)=33–4c
35–(4d+1)=32–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
40枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
39–4a
39–(4b+1)=38–4b
39–(4c+2)=37–4c
39–(4d+1)=36–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
第四欄之餘數算出法可參閱一般數學書籍。可見?三變?後之餘數亦為非4
則8。三變之總餘數，可以以下列之樹形圖表示：
4=12(1)三少而為老;陽
4
8=16(2)二少一多而為少陰
4
4=16(3)二少一多而為少陰
8
8=20(4)二多一少而為少陽
⊙
4=16(5)二少一多而為少陰
4
8=20(6)二多一少而為少陽
8
4=20(7)二多一少而為少陽
8
8=24(8)三多而為老陰
?三變?後之總數和有四數：12，16，20和24。若得12，可代表老陽，16
可代表少陰，20可代表少陽，24可代表老陰。
揲蓍卦法則以13、17、21、25四數分別代表?老陽?、?少陰?、?少
陽?及?老陰?，用48策則其總和與用49策剛好少1。
故用48枝蓍一樣可以成卦。故?大衍之數用其四十有九?與?大衍之數
用其四十有八?，一樣是可以成卦﹝見下節之第二類數4n+1﹞。
那麼可否用其他數目之蓍數，例如47、46、45、44、…、或者51、52、
-6-
53、54、…？只要依上述之法算出其總和，看其是否符合條件，符合條件者即
可用﹝詳見下節﹞。
總言之，可用之蓍數應符合下列條件：
1.三變後之總餘數和﹝從樹形圖中可以看出﹞只有四個﹝不能多也不能
少﹞。
2.將此四數由小至大排列，最小者表老陽，其餘依次表少陰、少陽及老
陰。
3.若果總餘數之和少於四個，則不能用。
第3節大衍之數全用其五十﹝用掛一法﹞之結果
現在看看為何50枝蓍不能用﹝即不虛一﹞，以下是為用50蓍之結果。
用50枝蓍來?求變?時，其第一次結果可以列成下表﹝例如第一列：
50–4a–1=49–4a，其餘類推﹞：
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
49–4a
49–(4b+1)=48–4b
49–(4c+2)=47–4c
49–(4d+3)=46–4d
1
0﹝即4﹞
3
2
6
6
6
6
最右欄之總餘數是6，是兩餘數再加上從右份取去之一枝。經過?一變?
後，餘下44﹝以50減6﹞蓍，然後進行?二變?。將44蓍隨意分成左右兩份，
依?一變?時之法，將左份蓍四枝一份而分，將右份蓍取去一枝後亦四枝一份
而分，記下兩份蓍之餘數。將兩次餘數連同已取去一枝之數寫在下表之最右方
欄：
注意所用之蓍數為44。
-7-
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
43–4a
43–(4b+1)=42–4b
43–(4c+2)=41–4c
43–(4d+3)=40–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
從上表可看出，二變後餘總數﹝加上已取去右份之一枝﹞共有2：8、4。經
過?二變?後，餘下40(44–4)或36(44–8)蓍。再進行三變：
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
40枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
39–4a
39–(4b+1)=38–4b
39–(4c+2)=37–4c
39–(4d+3)=36–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
36枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
35–4a
35–(4b+1)=34–4b
35–(4c+2)=33–4c
35–(4d+3)=32–4d
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
從上表可知餘數非4即8。
將各變總數列成如下之樹形圖：
4=14
4
8=18
⊙--------6
4=18
8
8=22
因為只有三數﹝14、18、22﹞，不合符要求。故用50枝蓍不可以畫卦。故
大衍之數50只能用其49就是此原因。
-8-
第4節大衍之數全用其五十﹝不掛一法﹞之結果
亦可能考慮此問題：用50蓍而右份蓍不取去一枝﹝即不掛一﹞，如此又是
否可行？只要看下表即可：
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
50–4a
50–(4b+1)=49–4b
50–(4c+2)=48–4c
50–(4d+3)=47–4d
2
1
0﹝即4﹞
3
6
2
6
6
餘下44(50–6)枝或48枝(50–2)，再進行?二變?：
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)
48枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
48–4a
48–(4b+1)=47–4b
48–(4c+2)=46–4c
48–(4d+3)=45–4d
0﹝即4﹞
3
2
1
8
4
4
4
或44枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
44–4a
44–(4b+1)=43–4b
44–(4c+2)=42–4c
44–(4d+3)=41–4d
0﹝即4﹞
3
2
1
8
4
4
4
餘下蓍數為44(48–4)、40(48–8)或(44–4)或32(44–8)。進行?三
變?：
下表蓍數44與上表蓍數44相同。
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)
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44枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
44–4a
44–(4b+1)=43–4b
44–(4c+2)=42–4c
44–(4d+3)=41–4d
0﹝即4﹞
3
2
1
8
4
4
4
40枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
40–4a
40–(4b+1)=39–4b
40–(4c+2)=38–4c
40–(4d+3)=37–4d
0﹝即4﹞
3
2
1
8
4
4
4
32枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
32–4a
32–(4b+1)=31–4b
32–(4c+2)=30–4c
32–(4d+3)=29–4d
0﹝即4﹞
3
2
1
8
4
4
4
依各變總餘數畫成樹形圖：
4=10(1)三少而為老;陽
4
8=14(2)二少一多而為少陰
2
4=14(3)二少一多而為少陰
8
8=18(4)二多一少而為少陽
⊙
4=14(5)二少一多而為少陰
4
8=18(6)二多一少而為少陽
6
4=18(7)二多一少而為少陽
8
8=22(8)三多而為老陰
從以上之樹形圖可知，總餘數共有四個：10、14、18、22，可分別代表老
陽、少陰、少陽及老陰，理論上可以成卦。至於各餘數出現之次數，餘數14和
18各出現3次，10和22各出現1次。
-10-
因為從右份蓍不取去一枝不符合傳統之揲蓍畫卦法﹝此即所謂?不掛
法?﹞，不作深入探討。
第4節以其他蓍數畫卦之結果
上文談及50枝蓍只用其49枝，便可畫卦，其他數目又是否可用？一數除以
4後，餘數不外四個：0、1、2或3，不妨考慮此四類數：4n、4n+1、
4n+2、4n+3，此四類數除以4後其餘數分別為0、1、2或3，寫成同餘式如
下：
4n≡0(mod4)，
4n+1≡1(mod4)，
4n+2≡2(mod4)，
4n+3≡3(mod4)。
如果畫卦之步驟和以前完全相同﹝依?筮儀?揲蓍法，先取去一枝﹝虛
一﹞，分成兩份後﹝分二﹞又從右份取去一枝﹝掛一﹞，總共減2蓍。此即所
謂?虛一、分二、掛一、揲四?。注意?虛一?與?掛一?之步驟不同，?虛
一?在前，?掛一?在後。
兩份各四枝一份而分﹝揲四﹞，然後求餘數總和，其不同之情形如下：
第一類數：4n﹝取去一枝後餘4n–1枝，即?虛一?。﹞
左份蓍數除以四後之餘數(2)
右份蓍數
﹝取去一枝，即掛一﹞
除以四後之
餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–2–4a
4n–2–(4b+1)=4n–4b–3
4n–2–(4c+2)=4n–4c–4
4n–2–(4d+3)=4n–4d–5
2
1
0﹝即4﹞
3
7
3
7
7
注意以下同餘式：
4n–2–4a≡–2≡–2+4≡2(mod4)；
4n–4b–3≡–3≡–3+4≡1(mod4)；
4n–4c–4≡–4≡–4+4≡0≡4(mod4)；
-11-
4n–4d–5≡–5≡–5+8≡3(mod4)。
經過一變後，餘下4n–1–7枝﹝即4n–8枝，注意4n–1是開始時所用之
蓍數﹞或4n–1–3枝﹝即4n–4﹞枝。依步驟進行?二變?：
左份蓍數除以四後之餘數(2)
右份蓍數
﹝取去一枝，即掛一﹞
除以四後之
餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–4枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–5–4a
4n–5–(4b+1)=4n–4b–6
4n–5–(4c+2)=4n–4c–7
4n–5–(4d+3)=4n–4d–8
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
餘下蓍數為4n–8–4=4n–12、4n–8–8=4n–16或4n–4–4=4n–8、
4n–4–8=4n–12。進行?三變?：
左份蓍數除以四後之餘數(2)
右份蓍數
﹝取去一枝，即掛一﹞
除以四後
之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–16枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–17–4a
4n–17–(4b+1)=4n–4b–18
4n–17–(4c+2)=4n–4c–19
4n–17–(4d+3)=4n–4d–20
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–12枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–13–4a
4n–13–(4b+1)=4n–4b–14
4n–13–(4c+2)=4n–4c–15
4n–13–(4d+3)=4n–4d–16
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
-12-
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
依各變畫成樹形圖：
4=11(1)三少而為老;陽
4
8=15(2)二少一多而為少陰
3
4=15(3)二少一多而為少陰
8
8=19(4)二多一少而為少陽
⊙
4=15(5)二少一多而為少陰
4
8=19(6)二多一少而為少陽
7
4=19(7)二多一少而為少陽
8
8=23(8)三多而為老陰
從上面樹形圖可知，總餘數共有四：11、15、19、23，可分別代表老陽、
少陰、少陽及老陰，有這四個數，理論上可以畫卦。
第二類數：4n+1﹝取去一枝後餘4n枝，即?虛一?。﹞
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–1–4a
4n–1–(4b+1)=4n–4b–2
4n–1–(4c+2)=4n–4c–3
4n–1–(4d+3)=4n–4d–4
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
餘下4n–8枝或4n–4枝，進行?二變?：
-13-
左份蓍數除以4後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–4枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–5–4a
4n–5–(4b+1)=4n–4b–6
4n–5–(4c+2)=4n–4c–7
4n–5–(4d+3)=4n–4d–8
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
餘下蓍數為4n–8–4=4n–12、4n–8–8=4n–16或4n–4–4=4n–8、
4n–4–8=4n–12。進行?三變?：
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–16枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–17–4a
4n–17–(4b+1)=4n–4b–18
4n–17–(4c+2)=4n–4c–19
4n–17–(4d+3)=4n–4d–20
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–12枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–13–4a
4n–13–(4b+1)=4n–4b–14
4n–13–(4c+2)=4n–4c–15
4n–13–(4d+3)=4n–4d–16
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
-14-
依各變畫成樹形圖：
4=12(1)三少而為老;陽
4
8=16(2)二少一多而為少陰
4
4=16(3)二少一多而為少陰
8
8=20(4)二多一少而為少陽
⊙
4=16(5)二少一多而為少陰
4
8=20(6)二多一少而為少陽
8
4=20(7)二多一少而為少陽
8
8=24(8)三多而為老陰
從上面樹形圖可知，總餘數共有四個：12、16、20、24，可分別代表老
陽、少陰、少陽及老陰，所以理論上可以畫卦。注意上面之樹形圖和?大衍之
數四十九，其用四十有八?一樣；可參閱前文。
第三類數：4n+2﹝取去一枝後餘4n+1枝，即?虛一?。﹞
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–4a
4n–(4b+1)=4n–4b–1
4n–(4c+2)=4n–4c–2
4n–(4d+3)=4n–4d–3
0﹝即4﹞
3
2
1
9
5
5
5
餘下蓍數4n+1–9=4n–8或4n+1–5=4n–4。進行?二變?：
-15-
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–4枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–5–4a
4n–5–(4b+1)=4n–4b–6
4n–5–(4c+2)=4n–4c–7
4n–5–(4d+3)=4n–4d–8
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
餘下蓍數為4n–8–4=4n–12、4n–8–8=4n–16或4n–4–4=4n–8、
4n–4–8=4n–12。進行?三變?：
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–16枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–17–4a
4n–17–(4b+1)=4n–4b–18
4n–17–(4c+2)=4n–4c–19
4n–17–(4d+3)=4n–4d–20
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–12枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–13–4a
4n–13–(4b+1)=4n–4b–14
4n–13–(4c+2)=4n–4c–15
4n–13–(4d+3)=4n–4d–16
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
-16-
依各變畫成樹形圖：
4=13(1)三少而為老;陽
4
8=17(2)二少一多而為少陰
5
4=17(3)二少一多而為少陰
8
8=21(4)二多一少而為少陽
⊙
4=17(5)二少一多而為少陰
4
8=21(6)二多一少而為少陽
9
4=21(7)二多一少而為少陽
8
8=25(8)三多而為老陰
從上面樹形圖可知，總餘數共有四個：13、17、21、25，可分別代表老
陽、少陰、少陽及老陰，有四數可以畫卦。
第四類數：4n+3﹝取去一枝後餘4n+2枝，即?虛一?。﹞
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n+1–4a
4n+1–(4b+1)=4n–4b
4n+1–(4c+2)=4n–4c–1
4n+1–(4b+3)=4n–4d–2
1
0﹝即4﹞
3
2
6
6
6
6
上表最右欄總餘數只有一個6，餘下4n+2–6=4n–4枝。進行?二
變?：
-17-
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–4枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–5–4a
4n–5–(4b+1)=4n–4b–6
4n–5–(4c+2)=4n–4c–7
4n–5–(4d+3)=4n–4d–8
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
餘下蓍數為4n–4–4=4n–8、4n–4–8=4n–12。進行?三變?：
左份蓍數除以四後之餘數(2)右份蓍數﹝取去一枝，即掛一﹞除以四後之餘數(4)
總餘數
(2)+(4)+1
4n–12枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–13–4a
4n–13–(4b+1)=4n–4b–14
4n–13–(4c+2)=4n–4c–15
4n–13–(4d+3)=4n–4d–16
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
4n–8枝
4a
4b+1
4c+2
4d+3
0﹝即4﹞
1
2
3
4n–9–4a
4n–9–(4b+1)=4n–4b–10
4n–9–(4c+2)=4n–4c–11
4n–9–(4d+3)=4n–4d–12
3
2
1
0﹝即4﹞
8
4
4
8
現將各變總數列成樹形圖：
4=14
4
8=18
⊙------6
4=18
8
8=22
因為只有三數14、18和22，所以不可以畫卦。上面之樹形圖其實和50枝
蓍之樹形圖相同。
故四類數中只有4n、4n+1、4n+2﹝n可以是任何正整數﹞三類數可以
畫卦，而4n+3則不可。因任何數目均可寫成4n、4n+1、4n+2和4n+3之
-18-
形式，換言之，在整數集合中，43之數可以以揲蓍法成卦。以上之結果表列如
下，以清眉目：
數類數類通項﹝大衍之數﹞實際用數﹝虛一後之數﹞能否以揲蓍法成卦
第1類4n4n–1可
第2類4n+14n可
第3類4n+24n+1可
第4類4n+34n+2不可
現將各類數之老陽、少陰、少陽和老陰所代表之數表列如下：
類數類通項﹝大衍之數﹞老陽﹝頻率：1﹞少陰﹝頻率：3﹞少陽﹝頻率：3﹞老陰﹝頻率：1﹞
14n11151923
24n+112162024
34n+213172125
44n+3不能成卦
上表中之?頻率?，即樹形圖中四象所出現之次數。例如49，即
n=12，屬第2類數，經過?虛一、分二、掛一、揲四?後，所得之樹形圖老
陽出現1次，少陰出現3次，少陽出現3次和，老陰出現1次。第1類之老陽
數、少陰數、少陽數和老陰數分別為11、15、19和23，其他2類可以類推。從
上表可知，此四象之代表數乃依大衍之數之增大而遞增。
又從各數遞增之次序看來，第4類數4n+3之老陽、少陰、少陽和老陰數
疑作14、18、22和26，事實並非如此，此類數不能畫卦。
在第3類數中，4n+2中之n如果為12，即得50，是為?大衍之數?，顯
然可以成卦﹝必須依步驟，即須虛一﹞。若n=12，則4n+1=49，在上節談過
48蓍﹝49–1﹞亦可以畫卦。若n=12，則4n+3=51，51–1=50，以前說
過，全用50枝蓍﹝不虛一﹞不可成卦。其他之數目類推。
重複一次，成卦之步驟須古法，即依朱子?筮儀?所云，即?虛一、分
二、掛一和揲四?，若在二變和三變時不?掛一?，所得之結果即不同，上面
之兩表亦不合用。
-19-
至於各類數之所得四象概率本文無算出。
以下為相關之數學題：
【例1】有蓍十朿，數目分別是49、50、51、60、65、83、122、41、162、287
枝，試問何數目不能揲蓍成卦？
解：
將以上各數寫成4n+r之形式，若r=3，則不能揲蓍成卦。
49=4×12+1，可以揲蓍成卦﹝第2類﹞。
50=4×12+2，可以揲蓍成卦﹝第3類﹞。
51=4×12+3，不可以揲蓍成卦﹝第4類﹞。
60=4×12，可以揲蓍成卦﹝第1類﹞。
65=4×16+1，可以揲蓍成卦﹝第2類﹞。
83=4×20+3，不可以揲蓍成卦﹝第4類﹞。
122=4×30+2，可以揲蓍成卦﹝第3類﹞。
41=4×10+1，可以揲蓍成卦﹝第2類﹞。
162=4×40+2，可以揲蓍成卦﹝第1類﹞。
287=4×71+3，不可以揲蓍成卦﹝第4類﹞。
【例2】有蓍12345678779924莖，能否揲蓍成卦？以何數代表四象？
解：
因為此數之個位與十位為24，而24可以被4整除﹝可以以同餘式
証明﹞，故12345678779924可以被4整除，從上表可知屬第1類
數，可以揲蓍成卦。又從上表可知，老陽數、少陰數、少陽數和老
陰數分別為11、15、19和23。
最後一提者為：先哲揲蓍畫卦，為何要?揲四?？不?揲二?、?揲
三?、?揲五?或其他數目？答案很簡單，因為揲四可以有四個餘數，而揲二
只有兩個餘數，揲三有三個，揲五有五個，…揲n有n個，皆不符合要求。
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