2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，
请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在
评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试(A)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知实数,,abc满足213390abc???，3972abc???，则32bcab??＝（）
A.2．B.1．C.0．D.1?．
【答】B.
已知等式可变形为2(2)3(3)90abbc????，3(2)(3)72abbc????，解得218ab??，
318bc??，所以32bcab???1.
2．已知△ABC的三边长分别是,,abc，有以下三个结论：
（1）以,,abc为边长的三角形一定存在；
（2）以222,,abc为边长的三角形一定存在；
（3）以||1,||1,||1abbcca??????为边长的三角形一定存在.
其中正确结论的个数为（）
A．0．B．1．C．2．D．3．
【答】C.
不妨设abc??，则有bca??.
（1）因为bca??，所以2bcbca???，即22()bca??（），即bca??，故以,,abc为
边长的三角形一定存在；
（2）以2,3,4abc???为边长可以构成三角形，但以2224,9,16abc???为边长的三角形不存在；
（3）因为abc??，所以||11,||11,||11ababbcbccaac???????????????，故三条边中||1ca??
大于或等于其余两边，而||1||111abbcabbc???????????（）（）（）（）111||1acacca?????????=，故
以||1ab??，||1bc??，||1ca??为边长的三角形一定存在.
3．若正整数,,abc满足abc??且2()abcabc???，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数
为（）
A.1．B．2．C．3．D．4．
【答】C.
若(,,)abc为好数组，则2()6abcabcc????，所以6ab?.显然，a只能为1或2.
若a＝2，由6ab?可得2b?或3，2b?时可得4c?，3b?时可得52c?（不是整数）；
若a＝1，则2(1)bcbc???，于是可得(2)(2)6bc???，可求得(,,)abc＝（1，3，8）或（1，4，
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5）.
综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.
4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB?????，且3BC?，4AD?，
5AC?，6AB?，则DOOB＝（）
A.109．B.87．C.65．D.43．
【答】A.
过B作//BEAD，交AC的延长线于点E，则180ABEBAD?????
ACB??，所以△ABC∽△AEB，所以ACBCABEB?，所以
631855ABBCEBAC?????.
再由//BEAD，得410
1895DOADOBBE???
.
5．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC?于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，
满足BAFCAE???.已知15BC?，6BF?，3BD?，则AE＝（）
A.43．B.213．C.214．D.215．
【答】B.
如图，因为BAFCAE???，所以BAFBAECAEBAE???????，即
90FAEBAC?????.
又因为ADBC?，故2ADDEDFDBDC????.
而639DFBFBD?????，15312DCBCBD?????，所以29312ADDE????，所以6AD?，4DE?.
从而222264213AEADDE?????.
6．对于正整数n，设na是最接近n的整数，则
123200
1111aaaa??????（）
A.1917．B.1927．C.1937．D.1947．
【答】A.
对于任意自然数k，2211()24kkk????不是整数，所以，对于正整数n，12n?一定不是整数.
设m是最接近n的整数，则1||2mn??，1m?.
易知：当1m?时，1||2mn???2211()()mnm?????221144mmnmm??????.
于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足221mmnmm?????时，m是最接近n的整数，
即nam?.所以，使得na＝m的正整数n的个数为2m.
注意到2213131822001414210??????，因此，12200,,,aaa?中，有：2个1，4个2，6个3，
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E
O
C
BA
D
A
CB
FDE
8个4，……，26个13，18个14.
所以
123200
111111111191246261812313147aaaa??????????????????.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．使得等式311aa???成立的实数a的值为_______．
【答】8.
由所给等式可得32(11)aa???.
令1xa??，则0x?，且21ax??，于是有322(1)(1)xx???，整理后因式分解得
2(3)(1)0xxx???，解得10x?，23x?，31x??（舍去），所以1a??或8a?.
验证可知：1a??是原方程的增根，8a?是原方程的根.
所以，8a?.
2．如图，平行四边形ABCD中，72ABC???，AFBC?于点F，AF
交BD于点E，若2DEAB?，则AED?＝_______．
【答】66?.
取DE的中点M，在Rt△ADE中，有12AMEMDEAB???.
设AED???，则1802AME?????，18ABM?????.
又ABMAMB???，所以180218???????，解得66???.
3．设,mn是正整数，且mn?.若9m与9n的末两位数字相同，则mn?的最小值为．
【答】10.
由题意知，999(91)mnnmn?????是100的倍数，所以91mn??是100的倍数，所以9mn?的末两位数
字是01，显然，mn?是偶数，设2mnt??（t是正整数），则29981mntt???.
计算可知：281的末两位数字是61，381的末两位数字是41，481的末两位数字是21，581的末两位
数字是01.
所以t的最小值为5，从而可得mn?的最小值为10.
4．若实数,xy满足3331xyxy???，则22xy?的最小值为．
【答】12.
因为
333322031()(1)333xyxyxyxyxyxy???????????
22(1)[()()(1)(1)]3(1)xyxyxyxyxy?????????????
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M
E
FCB
DA
22(1)(1)xyxyxyxy????????2221(1)[()(1)(1)]2xyxyxy????????，
所以1xy???或1xy??.
若1xy???，则22xy?＝2.
若1xy??，则22222111[()()][1()]222xyxyxyxy?????????，当且仅当12xy??时等号
成立.
所以，22xy?的最小值为12.
第一试(B)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
1．已知二次函数2(0)yaxbxcc????的图象与x轴有唯一交点，则二次函数3233yaxbxc???的
图象与x轴的交点个数为（）
A．0．B．1．C．2．D．不确定．
【答】C.
因为二次函数2yaxbxc???的图象与x轴有唯一交点，所以2140bac????，所以240bac??.
故二次函数3233yaxbxc???的判别式323363623
211()4(4)()1616bacbacbb???????61516b?
0?，所以，二次函数3233yaxbxc???的图象与x轴有两个交点.
2．题目和解答与（A）卷第1题相同.
3.题目和解答与（A）卷第3题相同.
4．已知正整数,,abc满足26390abc????，260abc????，则222abc??＝（）
A.424．B.430．C.441．D.460．
【答】C.
由已知等式消去c整理得22(9)3(1)75ab????，所以23(1)75b??，又b为正整数，所以16b??.
若b＝1，则2(9)75a??，无正整数解；
若b＝2，则2(9)72a??，无正整数解；
若b＝3，则2(9)63a??，无正整数解；
若b＝4，则2(9)48a??，无正整数解；
若b＝5，则2(9)27a??，无正整数解；
若b＝6，则2(9)0a??，解得9a?，此时18c?.
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因此，9a?，b＝6，18c?，故222abc???＝441.
5．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若180BADACB?????，且3BC?，4AD?，
5AC?，6AB?，则DOOB＝（）
A.43．B.65．C.87．D.109．
【答】D.
解答过程与（A）卷第4题相同.
6．题目和解答与（A）卷第5题相同.
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1．题目和解答与（A）卷第1题相同.
2．设O是锐角三角形ABC的外心，,DE分别为线段,BCOA的中点，7ACBOED???，
5ABCOED???，则OED?＝_________.
【答】10?.
如图，设OEDx??，则5ABCx??，7ACBx??，
DOC??18012BACx????，10AOCx??，所以1802AODx????，
180(1802)ODExxx????????，所以1122ODOEOAOC???，所
以60DOC???，从而可得10x??.
3.题目和解答与（A）卷第3题相同.
4.题目和解答与（A）卷第4题相同.
第二试（A）
一、（本题满分20分）已知实数,xy满足3xy??，
221112xyxy????
，求55xy?的值.
解由
221112xyxy????
可得2233222()xyxyxyxyxy???????.
设xyt?，则222()292xyxyxyt??????，332()[()3]3(93)xyxyxyxyt???????，代入
上式可得22(392)3(93)tttt??????，解得1t?或3t?.……………………10分
当3t?时，3xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2330mm???的两实数根，但易知此方
程没有实数根，不合题意.……………………15分
当1t?时，1xy?，又3xy??，故,xy是一元二次方程2310mm???的两实数根，符合题意.
此时
552233222()()()(92)[3(93)]3123xyxyxyxyxyttt????????????.……………………20分
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D
E
O
B
A
C
二、（本题满分25分）如图，△ABC中，ABAC?，45BAC???，E是BAC?
的外角平分线与△ABC的外接圆的交点，点F在AB上且EFAB?.已知
1AF?，5BF?，求△ABC的面积.
解在FB上取点D，使FD＝AF，连接ED并延长，交△ABC的外接圆于点
G.
由EF⊥AD，AF＝FD知△AED是等腰三角形，所以
∠AED＝1802??∠EAD＝∠BAC，……………………10分
所以??AGBC?，所以??ACBG?，所以AC＝BG.……………………15分
又∠BGE＝∠BAE＝∠ADE＝∠BDG，所以BG＝BD，所以AC＝BD＝5－1＝4，……………………20分
△ABC的AB边上的高sin4522hAC???.
所以，△ABC的面积116226222SABh???????.……………………25分
三、（本题满分25分）求所有的正整数数对(,)ab，使得34938ba???.
解显然，4938b??为奇数，所以a为奇数.
又因为33493849385ba???????，所以5a?.……………………5分
由34938ba???可得38493ba???，即22(2)(24)73baaa?????.……………………10分
设2(2,24)aaad????，则d为奇数.注意到224(2)(4)12aaaa??????，所以|12d，所以d
＝1或3.……………………15分
若d＝1，则有2
2
27,
243,b
a
aa
?????
?????
或
22
23,
247,
ba
aa
?????
?????
均无正整数解.……………………20分
若d＝3，则有2
21
237,
243,b
a
aa?
??????
?????
或1
22
23,
2437,
ba
aa
??????
??????
解得11a?，3b?.
所以，满足条件的正整数对只有一个，为（11，3）.……………………25分
第二试（B）
一、（本题满分20分）已知实数,,abc满足abc??，16abc???，22211284abcabc????，
求c的值.
解设abx??，aby?，依题意有2212(16)(16)1284xyxyx??????，整理得
21(8)(8)8xyx???，
所以8x?或8(8)yx??.……………………10分
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共7页）
G
F
E
A
B
C
D
（1）若8x?，则8ab??，此时c＝8.
（2）若8(8)yx??，即8(8)abab???，则(8)(8)0ab???，所以8a?或8b?.
当8a?时，结合abc??可得24abc???，与16abc???矛盾.
当8b?时，结合abc??及16abc???可得0a?，8c?.
综合可知：8c?.……………………20分
二、（本题满分25分）求所有的正整数m，使得21221mm???是完全平方数.
解当m＝1时，212211mm????是完全平方数.……………………5分
当1m?时，设212221mmn????（n为正整数）.
注意到2112112122212(2)221(21)(2)mmmmmm???????????????，故可得
12122(21)(2)mmn?????，……………………10分
所以22212112(21)(21)(21)mmmmnnn????????????.……………………15分
设121mxn????，121myn????，则xy?，222mxy??，所以,xy均为2的方幂.
……………………20分
又22myx???被4除余数为2，所以，只可能2x?，2my?，故22222mm???，解得3m?.
综上可知：满足条件的正整数m有两个，分别为1和3.……………………25分
三、（本题满分25分）如图，O为四边形ABCD内一点，OADOCB???，
OAOD?，OBOC?.求证：2222ABCDADBC???.
证明由题设条件可知90AODBOC?????，又OADOCB???，所以
△AOD∽△COB，……………………5分
所以ODAOOBCO?，从而OCAOOBOD?.……………………10分
又AOCAOBBOCAOBAODDOB???????????，所以△AOC∽△DOB，所以
OACODB???.……………………15分
设AC和BD交于点P，则90APDAOD?????，所以ACDB?，……………………20分
所以222222222222()()()()ABCDAPPBPDPCAPPDPBPCADBC???????????.
……………………25分
2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第7页（共7页）
P
D
A
O
CB
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