2013年第十一届希望杯六年级一试试题及解析

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第十一届小学“希望杯”全国数学邀请赛

六年级第Ⅰ试试题

2013年3月17日上午8:30至10:00

以下每题6分，共120分

1．计算：30%÷）（7131521??=。

解析：原式=495211075103???

2．计算：）871000143100121101??=。

解析：原式=（101+1001+10001）+（878684??）=1110581

3．建筑公司建一条隧道，按原速度建成31时，使用新设备，使修建速度提高了20%，并且每天的工作时

间缩短为原来的80%，结果共用185天建完隧道，若没有新设备，按原速度建完，则需要天。

解析：工程型分数应用题。

使用新设备后，工作效率为原来的（1+20%）×80%=2524，设工作时间为单位“1”，原速度建成隧道31，

用时31；修建剩余隧道的32用时3625252432??，所以原时间为180362531185???）（（天）。

本题用方程来解答，设原工作时间为x天

31÷x1+（1—31）÷[x1×(1+20%)×80%]=185

4．图1是根据鸡蛋的三个组成部分的质量绘制的扇形统计图，由图可知，蛋壳重量占鸡蛋重量的%，

一枚重60克的鸡蛋中，最接近32克的组成部分是。

解析：简单分数应用题。蛋壳占1—53%—32%=15%，蛋白60×53%=31.8（克）蛋白最接近。













5．如图2，边长为12cm的正方形与直径为16cm的圆部分重叠（圆心是正方形的一个顶点），用S1，S2

分别表示两块空白部分的面积，则S1—S2=cm2（圆周率?取3）。

解析：差不变面积问题。

S1—S2=（S1+S阴）—（S2+S阴）=S圆—S正=3×（16÷2）2—122=192—144=48cm2

a（若a>b）

6．定义新运算“⊕”：a⊕b=1（若a=b）

b（若a
蛋黄32%

蛋白53%

蛋壳

图1图2

S2

S1

第2页



例如3.5⊕2=3.5，,1⊕1.2=1.2，7⊕7=7，则?

0.8⊕54

0.1⊕31-37⊕.11。

解析：定义新运算。

213

1-

3

7

0.8⊕54

0.1⊕31-37⊕.11

??

7．有一口无水的井，用一根绳子测井的深度，将绳对折后垂到井底，绳子的一端高出井口9m；将绳子

三折后垂到井底，绳子的一端高出井口2m，则绳长米，井深米。

解析：盈亏问题。绳子分去2段井深，则多2×9=18米，绳子分去三段井深，则多3×2=6米。

井深：（18—6）÷（3—2）=12米，绳长：2×12+18=42米。



8．张阿姨和李阿姨每月的工资相同，张阿姨每月把工资的30%存入银行，其余的钱用于日常开支，李阿

姨每月的日常开支比张阿姨多10%，余下的钱也存入银行，这样过了一年，李阿姨发现，她12个月存入

银行的总额比张阿姨少了5880元，则李阿姨的月工资是元。

解析：分数应用题。李阿姨每月的工资为单位“1”。

李阿姨日常开支：（1—30%）×（1+10%）=77%，存银行1—77%=23%

李阿姨的月工资是5880÷12÷（30%—23%）=7000元

9．用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图3所示竖

放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部

分的沙子高5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm。

解析：圆柱与圆锥。圆锥和圆柱底面半径和高相等，则圆柱体积是圆锥体积的3倍，因为

20—5>20÷3，所以将容器倒立，沙子不能填满圆柱。所以沙子高度为5+20÷3=1132cm

10．在一个两位数的中间加上小数点，得到一个小数，若这个小数与原来的两位数的和是

86.9，则原来两位数是。

解析：数字和倍问题。原来两位数是86.9÷（1+0.1）=79

本题也可用算式谜解答。

11．A，B两校的男、女生人数的比分别为8:7和30：31，两校合并后男、女生人数的比是27:26，则A，

B两校合并前人数比是。

解析：比和比例。设A，B两校的男、女生人数分别为8a、7a，30b、31b，根据题意有

（8a+30b）：（7a+31b）=27:26

189a+837b=208a+780b所以a=3b

A，B两校合并前人数比（8+7）×3b：（30+31）b=45:61

12．有2013名学生参加数学竞赛，共有20道竞赛题，每个学生有基础分25分，此外，答对一题得3分，

不答题得1分，答错一题扣1分，则所有参赛学生得分的总和是数（填“奇”或“偶”）。

解析：奇偶问题。每一名学生的得分都可以用25+3x+y-z表示，且x+y+z=20，根据三数和为偶数，可知

这三个数奇偶性只有2种情况：三个都是偶数，两个奇数一个偶数，不管那种情况，每个学生最终得分

都是奇数。2013个奇数相加和还是奇数，则所有参赛学生得分的总和是奇数。

13．从12点开始，经过分钟，时针与分针第一次成90°角；12点之后，时针与分针第二次成90°

角的时刻是。

解析：时钟问题。分针每分钟走360÷60=6度，时针每分钟走30÷60=0.5度，第一次成90度角，即分

5

20

20

12

图3



3



针比时针夺走90度，90÷（6—0.5）=11416分。时针与分针第二次成90°，即分针比时针夺走270度，

270÷（6—0.5）=11149分，此时为12点11149分。

14．有一个温泉游泳池，池底有泉水不断涌出，要想抽干满池的水，10台抽水机需工作8小时，9台抽

水机需工作9小时，为了保证游泳池水位不变（池水既不减少，也不增多），则向外抽水的抽水机需

台。

解析：牛吃草问题。只需求出每小时新增水即可，设一台抽水机1小时抽1份水。

每小时新增水：（9×9—10×8）=1，所以只需要1台抽水机将新增水抽调就能保证游泳池水位不变。

15．分子与分母的和是2013的最简真分数有个。

解析：数论问题。

分子与分母的和是2013分数有：

10071006100810051009100410101003201210201292012820127200762008520094201032011220121，，，，，，，，，，，，，，?，共

1006个数。

2013=3×11×61，只要分子是2013质因数的倍数时，这个分数就不是最简分数，因为分子分母相加和为

2013，若分子是3、11或61的倍数，则分母一定也是是3、11或61的倍数（两数和是某数A的倍数，

则这两个数都是A的倍数，或这两个数除以A的余数相加等于A）

[1006÷3]=335，（[A]表示不超过A的最大整数，取整）[1006÷11]=91，[1006÷61]=16，

[1006÷3÷11]=30，[1006÷3÷61]=5，[1006÷11÷61]=1，

1006—335—91—16+30+5+1=600

即1～1006中有600个数不是3或11或61的倍数的数，所以分子与分母的和是2013的最简真分数有600

个。

16．若一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的倍，所有棱长之和是56，则此长方体的体积是。

解析：立体图形。高：56÷4÷（1+2+4）=2，此长方体的体积是2×（2×2）×（2×4）=64



17．图4中阴影部分的两段圆弧所对应的圆心分别为点A和点C，AE=4m，点B是AE的中点，那么阴

影部分的周长是m，面积是m2（圆周率?取3）。

解析：图形面积与周长。

周长：4+3×4×2÷4+3×2×2÷4=13m

面积：容斥原理（重叠），两个扇形相加减去长方形

3×42÷4+3×22÷4—2×4=7m2



18．某次数学竞赛，甲、乙、丙3人中只有一人获奖，甲说：“我获奖了。”乙说：“我没获奖。”丙说：“甲

没有获奖。”他们的话中只有一句是真话，则获奖的是。

解析：逻辑推理。用相悖论。只有一人说真话，甲，丙话相悖，必有一真一假。

若甲说真话，则乙也说真话，不合题意。则丙是真话，乙说谎，即乙获奖！

19．某小学的六年级有学生152名，从中选男生人数的111和5名女生去参加演出，该年级剩下的男、女

生人数恰好相等，则该小学的六年级共有男生名。

解析：列方程解应用题。设男生有x名，根据剩下男女人数相等可列方程

152—x—5=（1-111）x

解得x=77

E

B

A

D

CF

图4

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也可用数论知识枚举得解。

男生剩余1110，说明男生剩余整拾人，所以女生也剩余整拾人，则参加演出的学生人数位数为2，可能选

出男生7人，17人等，根据总人数，可知只有7满足，所以男生有7÷111=77人

20．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲乙两人的速度比是4:5，相遇后，如果甲的速

度降低25%，乙的速度提高20%，然后继续沿原方向行驶，当乙到达A地时，甲距离B地30km，那么

A、B两地相距km。

解析：与分数比相关的行程问题。设全程为“1”。

相遇时甲走全程的94544??，乙走全程的95。

相遇后甲、乙速度比：4×（1—25%）：5×(1+20%)=1:2

当乙到达A地时，已又走了全程的1—95=94，此时甲又走了全程的94×21=92

所以A、B两地相距30÷（1—94—92）=90km

附加题（每题10分，共20分）

1．小红整理零钱包时发现，包中有面值为1分，2分，5分的硬币共有25枚，总值为0.60元，则5分的

硬币最多有枚。

解析：不定方程和方程组。

设1分，2分，5分的硬币分别为x枚，y枚，z枚

则有x+y+z=25

x+2y+5z=60

两式相减的y+4z=35，显然z最大为8。

2．A、B、C、D四个箱子中分别装有一些小球，现将A箱中的部分小球按如下要求转移到其他三个箱子

中：该箱中原有几个小球，就再放入几个小球，此后，按照同样的方法依次把B、C、D箱中的小球转移

到其他箱子中，此时，四个箱子都各有16个小球，那么开始时装有小球最多的是箱，其中装有

小球个。

解析：列表倒推法

ABCD

开始331795

A分球后2341810

B分球后443620

C分球后88840

D分球后16161616