2016年山东省威海市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分
1．﹣的相反数是（）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．函数y=的自变量x的取值范围是（）
A．x≥﹣2 B．x≥﹣2且x≠0 C．x≠0 D．x＞0且x≠﹣2
3．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（）
A．65° B．55° C．45° D．35°
4．下列运算正确的是（）
A．x3+x2=x5 B．a3?a4=a12
C．（﹣x3）2÷x5=1 D．（﹣xy）3?（﹣xy）﹣2=﹣xy
5．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1?x2=1，则ba的值是（）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
6．一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（）
A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b
9．某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（）
A．19，20，14 B．19，20，20 C．18.4，20，20 D．18.4，25，20
10．如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）
A．= B．AD，AE将∠BAC三等分
C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG
11．已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为．
14．化简：=．
15．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=．
16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为．
17．如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为．
18．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为．
三、解答题：本大题共7小题，共66分
19．解不等式组，并把解集表示在数轴上．
．
20．某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
21．一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
22．如图，在△BCE中，点A时边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．
23．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标．
24．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．
（1）求证：AD=AF；
（2）求证：BD=EF；
（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
2016年山东省威海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分
1．﹣的相反数是（）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【考点】相反数．
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选C
2．函数y=的自变量x的取值范围是（）
A．x≥﹣2 B．x≥﹣2且x≠0 C．x≠0 D．x＞0且x≠﹣2
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0且x≠0，
解得x≥﹣2且x≠0，
故选：B．
3．如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC=35°，则∠1的度数为（）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【考点】平行线的性质．
【分析】利用已知条件易求∠ACD的度数，再根据两线平行同位角相等即可求出∠1的度数．
【解答】解：
∵DA⊥AC，垂足为A，
∴∠CAD=90°，
∵∠ADC=35°，
∴∠ACD=55°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠ACD=55°，
故选B．
4．下列运算正确的是（）
A．x3+x2=x5 B．a3?a4=a12
C．（﹣x3）2÷x5=1 D．（﹣xy）3?（﹣xy）﹣2=﹣xy
【考点】整式的混合运算；负整数指数幂．
【分析】A、原式不能合并，即可作出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，错误；
B、原式=a7，错误；
C、原式=x6÷x5=x，错误；
D、原式=﹣xy，正确．
故选D．
5．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1?x2=1，则ba的值是（）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1?x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，
∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1?x2=﹣2b=1，
解得a=2，b=﹣，
∴ba=（﹣）2=．
故选：A．
6．一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层立方体的个数，相加即可．
【解答】解：由题中所给出的俯视图知，底层有3个小正方体；
由左视图可知，第2层有1个小正方体．
故则搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1=4个．
故选：B．
7．若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
【考点】代数式求值．
【分析】把（x2﹣3y）看作一个整体并求出其值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵x2﹣3y﹣5=0，
∴x2﹣3y=5，
则6y﹣2x2﹣6=﹣2（x2﹣3y）﹣6
=﹣2×5﹣6
=﹣16，
故选：D．
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（）
A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b
【考点】实数与数轴．
【分析】根据数轴可以判断a、b的正负，从而可以化简|a|﹣|b|，本题得以解决．
【解答】解：由数轴可得：a＞0，b＜0，
则|a|﹣|b|=a﹣（﹣b）=a+b．
故选C．
9．某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（）
A．19，20，14 B．19，20，20 C．18.4，20，20 D．18.4，25，20
【考点】众数；扇形统计图；加权平均数；中位数．
【分析】根据扇形统计图给出的数据，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中位数和众数的定义分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意得：
销售20台的人数是：20×40%=8（人），
销售30台的人数是：20×15%=3（人），
销售12台的人数是：20×20%=4（人），
销售14台的人数是：20×25%=5（人），
则这20位销售人员本月销售量的平均数是=18.4（台）；
把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的平均数，
则中位数是=20（台）；
∵销售20台的人数最多，
∴这组数据的众数是20．
故选C．
10．如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）
A．= B．AD，AE将∠BAC三等分
C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG
【考点】黄金分割；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质．
【分析】由题意知AB=AC、∠BAC=108°，根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，从而知△BDA∽△BAC，得=，由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA，进而根据黄金分割定义知==，可判断A；根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断B；根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD，可证△BAE≌△CAD，即可判断C；由△BAE≌△CAD知S△BAD=S△CAE，根据DH垂直平分AB，EG垂直平分AC可得S△ADH=S△CEG，可判断D．
【解答】解：∵∠B=∠C=36°，
∴AB=AC，∠BAC=108°，
∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DB=DA，EA=EC，
∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴△BDA∽△BAC，
∴=，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CD=CA=BA，
∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB，
则=，即==，故A错误；
∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°，
即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，
∴AD，AE将∠BAC三等分，故B正确；
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
∵，
∴△BAE≌△CAD，故C正确；
由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD，即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE，
∴S△BAD=S△CAE，
又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴S△ADH=S△ABD，S△CEG=S△CAE，
∴S△ADH=S△CEG，故D正确．
故选：A．
11．已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象．
【分析】观察二次函数图象，找出a＞0，b＞0，再结合反比例（一次）函数图象与系数的关系，即可得出结论．
【解答】解：观察二次函数图象，发现：
图象与y轴交于负半轴，﹣b＜0，b＞0；
抛物线的对称轴a＞0．
∵反比例函数y=中ab＞0，
∴反比例函数图象在第一、三象限；
∵一次函数y=ax+b，a＞0，b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限．
故选B．
12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）
A． B． C． D．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．
【解答】解：连接BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE==5，
∴BH=，
则BF=，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90°，
∴CF==．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分
13．蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000073用科学记数法表示为7.3×10﹣5．
故答案为：7.3×10﹣5．
14．化简：=．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式=3﹣2=．
故答案为：．
15．分解因式：（2a+b）2﹣（a+2b）2=3（a+b）（a﹣b）．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b﹣a﹣2b）
=3（a+b）（a﹣b）．
故答案为：3（a+b）（a﹣b）．
16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为2．
【考点】正多边形和圆．
【分析】连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在RT△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．
【解答】解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC是直径，AC=4，
∴OE=OF=2，∵OM⊥EF，
∴EM=MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF=60°，
在RT△OME中，∵OE=2，∠OEM=∠CEF=30°，
∴OM=，EM=OM=，
∴EF=2．
故答案为2．
17．如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．
【考点】位似变换；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．
【解答】解：∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0可得y=1；
令y=0可得x=﹣2，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴==，
∴O′B′=3，AO′=6，
∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．
故答案为：（﹣8，﹣3）或（4，3）．
18．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O=30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为﹣（）2015．
【考点】坐标与图形性质．
【分析】先求出A1、A2、A3、A4、A5坐标，探究规律，利用规律解决问题．
【解答】解：∵A1（1，0），A2[0，（）1]，A3[﹣（）2，0]．A4[0，﹣（）3]，A5[（）4，0]…，
∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，
∵2016÷4=504，
∴A2016在y轴的负半轴上，纵坐标为﹣（）2015．
故答案为﹣（）2015．
三、解答题：本大题共7小题，共66分
19．解不等式组，并把解集表示在数轴上．
．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜，
表示在数轴上，如图所示：
20．某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6%），根据“甲、乙两班的学生数相同”列出方程并解答．
【解答】解：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6%），
依题意得：=，
解这个方程，得x=0.9，
经检验，x=0.9是所列方程的根，并符合题意．
答：乙班的达标率为90%．
21．一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．
（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；
（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）直接利用概率公式进而得出答案；
（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）∵1，2，3，4，5，6六个小球，
∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为：=；
（2）画树状图：
如图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种，
摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，
∴P（甲）==，P（乙）==，
∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．
22．如图，在△BCE中，点A时边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）欲证明CB是⊙O的切线，只要证明BC⊥OB，可以证明△CDO≌△CBO解决问题．
（2）首先证明S阴=S扇形ODF，然后利用扇形面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，
∵CE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∴∠CDO=90°，
∵AD∥OC，
∴∠ADO=∠1，∠DAO=∠2，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠1=∠2，
在△CDO和△CBO中，
，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴CB是⊙O的切线．
（2）由（1）可知∠3=∠BCO，∠1=∠2，
∵∠ECB=60°，
∴∠3=∠ECB=30°，
∴∠1=∠2=60°，
∴∠4=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD=OD=OF，∵∠1=∠ADO，
在△ADG和△FOG中，
，
∴△ADG≌△FOG，
∴S△ADG=S△FOG，
∵AB=6，
∴⊙O的半径r=3，
∴S阴=S扇形ODF==π．
23．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把点A的坐标代入y=，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入y=，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；
（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE=|m﹣7|，根据S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，求出m的值，从而得出点E的坐标．
【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y=，得m=12，
则y=．
把点B（n，1）代入y=，得n=12，
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得，
解得，
则所求一次函数的表达式为y=﹣x+7．
（2）如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）．
∴PE=|m﹣7|．
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，
∴×|m﹣7|×（12﹣2）=5．
∴|m﹣7|=1．
∴m1=6，m2=8．
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
24．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．
（1）求证：AD=AF；
（2）求证：BD=EF；
（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，证出BF=CD，由SAS证明△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF；
（2）由（1）知AF=AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，证出∠EAF=∠BAD，由SAS证明△AEF≌△ABD，得出对应边相等即可；
（3）由全等三角形的性质得出得出∠AEF=∠ABD=90°，证出四边形ABNE是矩形，由AE=AB，即可得出四边形ABNE是正方形．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABF=135°，
∵∠BCD=90°，
∴∠ABF=∠ACD，
∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AD=AF；
（2）证明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，
∴∠FAB=∠DAC，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠BAD，
在△AEF和△ABD中，
，
∴△AEF≌△ABD（SAS），
∴BD=EF；
（3）解：四边形ABNE是正方形；理由如下：
∵CD=CB，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，
∴∠AEF=∠ABD=90°，
∴四边形ABNE是矩形，
又∵AE=AB，
∴四边形ABNE是正方形．
25．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；
（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可．
（2）分①点E在直线CD上方的抛物线上和②点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；
（3）分①CM为菱形的边和②CM为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算；
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），
∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
∴﹣8a=4，
∴a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；
（2）如图1，
①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，
连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，
由（1）知，OC=4，
∵∠ACO=∠E′CF′，
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，
∴=，
设线段E′F′=h，则CF′=2h，
∴点E′（2h，h+4）
∵点E′在抛物线上，
∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，
∴h=0（舍）h=
∴E′（1，），
②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，
同①的方法得，E（3，），
点E的坐标为（1，），（3，）
（3）①CM为菱形的边，如图2，
在第一象限内取点P′，过点
P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，
交y轴于M′，
∴四边形CM′P′N′是平行四边形，
∵四边形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′=P′N′，
过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠P′M′C=45°，
设点P′（m，﹣m2+m+4），
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，
∵P′N′∥y轴，
∴N′（m，﹣m+4），
∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，
∴m=﹣m2+2m，
∴m=0（舍）或m=4﹣2，
菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4﹣4．
②CM为菱形的对角线，如图3，
在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，
∵∠OCB=45°，
∴∠NCQ=45°，
∴∠PCQ=45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=CQ，
设点P（n，﹣n2+n+4），
∴CQ=n，OQ=n+2，
∴n+4=﹣n2+n+4，
∴n=0（舍），
∴此种情况不存在．
∴菱形的边长为4﹣4．
2016年6月23日
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