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| 绵阳2014级三诊文科答案 |
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绵阳市高2014级第三次诊断性考试
数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
ADABDACBCBCB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．2 14．4 15．2n+1 16．4
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．解：（Ⅰ）把(a+c)2=b2+3ac整理得，a2+c2-b2=ac，
由余弦定理有cosB=，
∴B=．………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)△ABC中，A+B+C=π，即B=π-(A+C)，故sinB=sin(A+C)，
由已知sinB+sin(C-A)=2sin2A可得sin(A+C)+sin(C-A)=2sin2A，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinCcosA-cosCsinA=4sinAcosA，
整理得cosAsinC=2sinAcosA．………………………………………………7分
若cosA=0，则A=，
于是由b=2，可得c=，
此时△ABC的面积为S==．………………………………………9分
若cosA≠0，则sinC=2sinA，
由正弦定理可知，c=2a，
代入a2+c2-b2=ac整理可得3a2=4，解得a=，进而c=，
此时△ABC的面积为S==．
∴综上所述，△ABC的面积为．……………………………………12分
18．解：（Ⅰ）
年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 100 20 120 不常使用共享单车 60 20 80 合计 160 40 200 …………………………………4分
(Ⅱ)于是a=100，b=20，c=60，d=20，……………………………………6分
∴K2=>2.072，
即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．………………12分19．（Ⅰ）=CD，∠ADC=，则△ADC是等边三角形∴CN⊥AD．…………………………………………………………………2分
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以CN⊥平面ADEF．
AF平面ADEF，
故．…………………………………………………………………6分
(Ⅱ)解：作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点．
………………………………………………………8分
证明：连接PN，
∵N是AD的中点，P是FE的中点，
∴PN//AF，
又PN平面MNC，AF平面MNC，
∴直线AF平面MNC．………………11分
∵PE//AD，AD//BC，
∴PE//BC，
∴．……………………………………………………………12分
20．解：（Ⅰ）由题意知，|AB|+|AE|+|BE|=|AF|+|BF|+|AE|+|BE|=4a=12，
解得a=3，
又，故，
：．……………………………………4分
()由题知F(2，0)，
若直线AB恰好过原点，则A(-3，0)，B(3，0)，N(0，0)，
∴=(-3，0)，=(5，0)，则m=，
=(3，0)，=(-1，0)，则n=-3，
∴m+n=．………………………………………………………………2分
若直线AB不过原点，设直线AB：x=ty+2，t≠0，
A(ty1+2，y1)，B(ty2+2，y2)，N(0，-)．
则=(ty1+2，y1+)，=(-ty1，-y1)，
=(ty2+2，y2+)，=(-ty2，-y2)，
由，得y1+=m(-y1)，从而m=；
由，得y2+=n(-y2)，从而n=；
故m+n=+()=．……8分
联立方程组得：整理得(5t2+9)y2+20ty-25=0，
∴y1+y2=，y1y2=，
∴m+n===-2-=．
综上所述，m+n=．………………………………………………………12分
21．(Ⅰ)证明：由题知，
于是，
令，则(x>0)，
∴在(0，+∞)上单调递减．
又=1>0，=1<0，
所以存在x0∈(0，)，使得=0，
综上f(x)存在唯一零点x0∈(0，)．…………………………………………6分
(Ⅱ)解：>等价于．
，…………………………7分
令，则，
令，则，即在(0，+∞)上单调递增．
又，，
∴存在t∈(3，4)，使得．……………………………………………9分
∴当x∈(0，t)，在(0，t)单调递增；
当x∈(t，+∞)，在(t，+∞)单调递减．
∵，，，
且当x>3时，，
又，>，，
故要使不等式>解集中有且只有两个整数≤．…………………………………………………………12分
22．解：(Ⅰ)将的参数方程化为极坐标方程.…………………………………2分
将的极坐标方程化为方程.……………………5分
（Ⅱ）将代入C1：整理得，
解得：，即|OA|=.
∵曲线C2是圆心在原点，半径为1的圆，
∴射线θ=(ρ≥0)与C2相交，则，即|OB|=.
故=2-1=1．……………………………………………………10分
23．解：(Ⅰ)当x≤时，f(x)=7-6x，由f(x)≥8解得x≤，综合得x≤，
当
当x≥2时，f(x)=6x-7，由f(x)≥8解得x≥，综合得x≥，
所以f(x)≥8的解集是．………………………………5分
（Ⅱ）≥，
≥1，
∴根据题意|6-a|≥1，
解得a≥7，或a≤5．……………………………………………………10分
3
数学（文史类）答案第4页（共4页）
M
O
N
F
E
D
C
B
P
A
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