“阿波罗尼斯圆”妙用

‘‘阿液罗尼斯圃’’够再

仪征教师进修学校朱波211400

本文介绍“阿波罗尼斯网”的定义，以及在高考及

模拟考试中的应用，着重介绍作为一种解题方法对优

化解题培养解题习惯增强数学信心有很大的帮助．

阿波罗尼斯圆的定义：在平面上给定相异的两点

D^

A、B，设P点在同一平面上且满足tiff—当>O且

≠1时P点轨迹是一个阋，这个圆我们称为阿波罗

尼斯圆．这个结论称为阿波罗尼斯轨迹定理．

一

、“阿波罗尼斯圆”典型应用：

2008年江苏高考题第l3题：若AB=2，AC~／2

BC，则S△A8c的最大值

一——

．

高考考试说明上给出的说明：“命题者本意考查

三角形面积公式、余弦定理及函数思想．”可谓立意新

颖，题意简明，但是运算量大处理有难度．求解如下：

设BC=x，则AC一√

根据面积公式得：SA一

／l28(z一12)

一————

s一一z√1一(4__4X2，~2

／l28一(z一12)

一，＼／l6

由三边关系：有,／2得2√2fz+z>2

l+2>√z

+2

故当x=2√i时S△Bc取最大值2√

赠

可是若从轨迹的角度去求解，即在平时的教学中

注意渗透了“阿波罗尼斯”圆的定义，则该题的解决简

洁明了且运算简捷．求解过程如下：

因为AB=2(定长)，可以以

AB所在的直线为z轴，其中垂线

为轴建立直角坐标系，则A

(一1，O)，B(1，O)，设C(x，)，由

／、＼、～

A0＼B／＼／

ACBC可得I_一，化

简得(z一3)+一8，即c在172(3，o)为圆心，2为半径

1

的圆上运动．又一去·AB·lj—II≤．

答案：2√2

评析：如上解题简洁，省去了求解变量取值范围

的过程，另义避免了复杂的构造运算，求解运算简单．

其实像这样来源于数学史，数学定义的题型还不

甚枚举．如果在平时的教学中我们能够较多的渗透，

对于进一步培养学生的数学学习兴趣，有极大的

帮助．

二、“阿波罗尼斯圆”在2009、2010历次模拟测

试中的应用：

1．扬州市高三一模

已知圆C：z。+Y一9，点A

2<<2(--5,0)，直线z：z一2Y—O·

(1)求与圆C相切，且与直

线z垂直的直线方程；

，，L

、

；

(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有pR

为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

评析：该题属于解析几何中直线与圆问题的考

察，第二问其设置原型即来源于“阿波罗尼斯”圆的定

义．如果熟悉了定义那么必定增强解决该题的信心，

从而从容面对复杂的化简计算过程．具体求解如下：

解：(1)设既直线方程为y一一2x+b，即2x+

一6—0，

·

．‘直线与圆相切·一3，得6一±3√5，

V厶f1

．

‘

．所求直线方程为—2±3√

(2)假设存在这样的点B(t，0)，使得rD为常数nT】

，则PB。一PA，

．

‘

．(z一￡)+一[(z+5)+]，将。一9一

z。代入得，z一2+￡+9一z一A(z+10x+25+

9一z)，即2(52+t)x+342--t。一9—0对z∈[一3，

3]恒成立，

f+o，1一f一1

．．{解得或{(舍l

3zA2一一9一O，l9l￡一m5

去)，所以存在点B(一号，o)对于圆C~i：r：--点P，

都伺_-PB为常数詈．

评注：当然通过“阿波罗尼斯圆”的定义就知道答

案的取舍很为方便．

2．南京三模卷

在直角坐标系G中，椭圆苦+普一1的左、右焦

点分别为Fl、F2，点A为椭圆的左顶点，椭圆上的点P

在第一象限，PF1jIPF2，圆0的方程为+22—4

(1)求点P坐标，并判断直线PF2与圆0的位

任意一点M，都有为常数，若存在，求所以满足条

件的点B的坐标；若不存在，说明理由．

第一问解略，第二问解题如下：

(2)没点M的坐标为(z，)，则3／"。一Fy。一4．

假设存在点B(m，)，时于oO上任意一点M，都

有MB为常数

．

则M一m)+()。，』。一(z+3)+，

所以连一(常数)恒成立．

可得(6A~2m)x+2ny+13A--m--n一4--0，所

f32+m一0，

以2n=0，

I13A—m2一2--4=0．

f一4，一，

解卟一。‘

ln=0，

所以存在满足条件的点B，它的坐标

为(一号，o)．

对已有的知识进行新定义，已经成为高考的一大

亮点，这就要求教师学生面对陌生环境，能迅速提取

有用信息，善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移

运用已学的知识加以解决．

若能在平时多做积累相信自身平时有一潭清澈

．．．．．．I◇：：鸯