第六章多元数量函数的积分学及其应用第一节多元数量函数积分的概念与性质第二节二重积分的计算第三节三重积分的计算第四节第一型曲线积分的计算第五节第一型曲面积分的计算第六节数量函数积分的应用yoxDyxzooxDDox极坐标系中的面积元素oxDoxDDoxDoxDoxDoxDxoDxoyxyo解：oxyoxyzDoxyDoxoxy2.1直角坐标系中二重积分的计算oxyDzoxyabDoxyabDoxyDzoxyabDxoxyDoxyDoxyDD1D2D3oxy3.积分区域既不是X型区域也不是Y型区域oxyoxyDoxyxoxyyoxyyoxy4D1D2yoxy1改变二次积分次序的关键是正确画出积分区域的图形，要经历“由限画图”和“由图定限”两个过程。yox4(2,4)2-22oxy121oxyoxyoxyD1D2oxy-112yxzoyoxD二重积分化为二次积分，确定积分限是关键。
其定限方法如下：
（1）在平面上画出积分区域D的图形；
（2）若区域D为X型的，则把D投影到x轴上，得
投影区间，a和b就是对x积分的下限和上限。
，过点x画一条与y轴平行的直线，假如它
与边界曲线交点的纵坐标分别为和，
且，则就是对y积分的下限
和上限。
例4．交换二次积分的积分次序。
（1）
如图所示的积分区域称为X型区域。
1．积分区域D为X型区域
设D：①
其中，。
下面用切片法来计算二重积分所表示的柱体
的体积。
。
.
一般地，，
与曲顶柱体相交所得截面的面积为
从而得曲顶柱体的体积
，
于是，二重积分
②
公式②常记作
。③
这是把二重积分化为先对y后对x的二次积分的公式。
记忆口诀：“先积一条线，再扫一个面”。
用公式③时，必须是X型区域。
X型区域的特点是：穿过D内部
且平行于y轴的直线与D的边界
相交不多于两点。
。③
如图所示的积分区域称为Y型区域。
设D：④
其中、。
2．积分区域D为Y型区域
用公式⑤时，必须是Y型区域。
Y型区域的特点是：穿过D内部
且平行于x轴的直线与D的边界
相交不多于两点。
类似可得，二重积分
⑤
上式右端的积分称为先对x后对y的二次积分公式。
当平行于坐标轴的直线与D的边界曲线的交点多于
两点时，一般可把D分成几个子区域，分别按X型
或Y型区域计算，然后再
根据区域可加性得到在整个
区域D上的二重积分。例如
在图中，把D分成三部分，
它们都是X型区域。
D是X型的，可表示为
：；
D又是Y型的，可表示为
：，则有
4．积分区域D既是X型区域又是Y型区域。
定限原则：
（1）上限一定要大于下限，
（2）最外层的限不允许有积分变量。
解法1：D是X型的。
例1．计算，其中D是由直线，及
所围成的闭区域。
解法2：是Y型的。
注：①化二重积分为二次积分时，积分限的确定顺序
与积分顺序相反。
②在计算内积分时，外积分变量是常数。
解法1：先积x后积y，
：，
例2．计算，其中D由和所围成。
：，：。
解法2：先积y后积x，，
因为的原函数不是初等函数，
则无法计算积分的值，故只能用
先积x后积y的次序进行计算。
解：若先积y后积x，得，
例3．，其中是由直线，和y轴所围成。
积分次序的选择原则：
第一原则—函数原则：必须保证各层积分的原函数
能够求出。
第二原则—区域原则：若积分区域是X型（或Y型）
则先对。
第三原则—分块原则：若积分区域既是X型又是Y型
且满足第一原则时，要使积分分块最少。
先积y后积x，则，
：，：，
解：先积x后积y，
则D：，
：，：，
解：先积x后积y，则，
（2）
先积y后积x，D：，
∴。
例5．设D是平面上以，和为
顶点的三角形区域，是D在第一象限的部分，若
，试问下列等式是否成立？
（1）；
（2）；
（3）。
与关于y轴对称，
与关于x轴对称，
将分为两个二重积分，记
，。
∵xy关于x和关于y都是奇函数，
∴,，∴。
解：将区域分为四个子区域：、、、。
∵是关于y的奇函数，关于x的偶函数，
∴，
，
∴，
从而，
故等式（1）、（3）不成立；等式（2）成立。
5．利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化计算
设在有界闭区域D上的可积，，
（1）若关于对称，则
（2）若关于对称，则
（3）若关于原点对称，则
（4）若积分区域直线对称
（），
则。
又若，且关于直线对称，则
。
解：抛物线把D分为两个子区域：
，
。
例6．求，其中。
被积函数在D上是关于偶函数，积分
区域D关于对称，、也关于对称，故
例7．求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的
立体的体积。
解：设这两个直交圆柱面的方程为及
。并画出它们在第一卦限内的图形。
故所求体积为。
所求立体在第一卦限的部分可看作是以圆柱面
为顶，以面上四分之一的圆域D
为底的曲顶柱体，其体积为
当时，的值等于以D为底，
以曲面为顶的曲顶柱体的体积。而平行截
面面积为已知的立体的体积又可以用定积分来计算。
这就启示我们可以用二重积分的几何意义来寻求二
重积分的计算方法。
2.3极坐标系下二重积分的计算
（一）把二重积分化为极坐标形式
设函数在闭区域D上连续。区域D的边界
曲线为和，，其中，
在上连续。
假设从极出发且穿过闭区域D内部的射
线与D的边界曲线相交不多于两点。
用以极点为中心的一族同心圆：，以及从极点
出发的一族射线：常数，把D分成n个小闭区域，除
了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积
计算如下：
其中表示相邻两圆弧的半径的平均值。在这小区域内
取圆周上一点，该点的直角坐标设为，
则由直角坐标与极坐标的关系有
，，
故
即。
又可写成①
（二）把二重积分的极坐标形式化为二次积分
一般地，先对后对。
1．极点在积分区域D的外部
则
2．极点在积分域D的内部
：，则有
在极坐标系中，闭区域D的面积
若如图，则
若如图，则
例1．计算下列二重积分
（1），D为圆所围成的区域。
解：把区域D的边界曲线的直角
坐标方程化为极坐
标方程，得，于是有
D：
∴
。
解：D：，
（2），D：，，
所围成的区域。
解：：.
例2．将二次积分化为极坐标下
的二次积分。
∴
例3．计算二重积分，其中
。
解：由对称性，得
D：。
例4．球体被圆柱面
所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。
例5．求三叶玫瑰线所围成的面积。
解：
例6．计算无穷积分。
解：因为的原函数不能用初等函数表示，所以无法
直接计算这个广义积分，在这里利用二重积分进行计算。
设，。
用极坐标计算。
∴，
∴，
。
∵，
（1）在上具有一阶连续偏导数，
（2）在，，
（3）变换T：是一对一的，
定理2.1设函数在平面上的闭区域D上连续，
变换T：，将闭区域
变为平面上的D，且满足
则有。
在极坐标变换下，
，
按二重积分的换元公式，便得：
。
注：内个别点上，或一条线上为零，
而在其他点上不为零，那么换元公式仍成立。
例7．计算，其中由围成。
解：令，则，
D的边界曲线
，
，
例8．计算，其中D为椭圆
所围成的区域。
解：作广义极坐标变换：，则
，
，
。
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