原码,反码,补码详解
http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html本篇文章讲解了计算机的原码,反码和补码.并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码,以及更进一步的论证了为何可以用反码,补码的加法计算原码的减法.论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正!希望本文对大家学习计算机基础有所帮助!
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一.机器数和真值
在学习原码,反码和补码之前,需要先了解机器数和真值的概念.
1、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式,?叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号,正数为0,负数为1.
比如，十进制中的数+3，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是-3，就是10000011。
那么，这里的00000011和10000011就是机器数。
2、真值
因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数10000011，其最高位1代表负，其真正数值是-3而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例：00000001的真值=+0000001=+1，10000001的真值=–0000001=–1
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二.原码,反码,补码的基础概念和计算方法.
在探求为何机器要使用补码之前,让我们先了解原码,反码和补码的概念.对于一个数,计算机要使用一定的编码方式进行存储.原码,反码,补码是机器存储一个具体数字的编码方式.
1.原码
原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值.比如如果是8位二进制:
[+1]原?=00000001
[-1]原?=10000001
第一位是符号位.因为第一位是符号位,所以8位二进制数的取值范围就是:
[11111111,01111111]
即
[-127,127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.
2.反码
反码的表示方法是:
正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变，其余各个位取反.
[+1]=[00000001]原?=[00000001]反
[-1]=[10000001]原?=[11111110]反
可见如果一个反码表示的是负数,人脑无法直观的看出来它的数值.通常要将其转换成原码再计算.
3.补码
补码的表示方法是:
正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后+1.(即在反码的基础上+1)
[+1]=[00000001]原?=[00000001]反?=[00000001]补
[-1]=[10000001]原?=[11111110]反?=[11111111]补
对于负数,补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的.通常也需要转换成原码在计算其数值.
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三.为何要使用原码,反码和补码
在开始深入学习前,我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码,反码和补码的表示方式以及计算方法.
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数.对于正数因为三种编码方式的结果都相同:
[+1]=[00000001]原?=[00000001]反?=[00000001]补
所以不需要过多解释.但是对于负数:
[-1]=[10000001]原?=[11111110]反?=[11111111]补
可见原码,反码和补码是完全不同的.既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式,为何还会有反码和补码呢?
首先,因为人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候我们会根据符号位,选择对真值区域的加减.(真值的概念在本文最开头).但是对于计算机,加减乘数已经是最基础的运算,要设计的尽量简单.计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂!于是人们想出了将符号位也参与运算的方法.我们知道,根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数,即:1-1=1+(-1)=0,所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索将符号位参与运算,并且只保留加法的方法.首先来看原码:
计算十进制的表达式:1-1=0
1-1=1+(-1)=[00000001]原?+[10000001]原?=[10000010]原?=-2
如果用原码表示,让符号位也参与计算,显然对于减法来说,结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
为了解决原码做减法的问题,出现了反码:
计算十进制的表达式:1-1=0
1-1=1+(-1)=[00000001]原?+[10000001]原=[00000001]反?+[11111110]反?=[11111111]反?=[10000000]原?=-0
发现用反码计算减法,结果的真值部分是正确的.而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上.虽然人们理解上+0和-0是一样的,但是0带符号是没有任何意义的.而且会有[00000000]原和[10000000]原两个编码表示0.
于是补码的出现,解决了0的符号以及两个编码的问题:
1-1=1+(-1)=[00000001]原?+[10000001]原?=[00000001]补?+[11111111]补?=[00000000]补=[00000000]原
这样0用[00000000]表示,而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[10000000]表示-128:
(-1)+(-127)=[10000001]原?+[11111111]原?=[11111111]补?+[10000001]补?=[10000000]补
-1-127的结果应该是-128,在用补码运算的结果中,[10000000]补?就是-128.但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128,所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[10000000]补算出来的原码是[00000000]原,这是不正确的)
使用补码,不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题,而且还能够多表示一个最低数.这就是为什么8位二进制,使用原码或反码表示的范围为[-127,+127],而使用补码表示的范围为[-128,127].
因为机器使用补码,所以对于编程中常用到的32位int类型,可以表示范围是:[-231,231-1]因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
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四原码,反码,补码再深入
计算机巧妙地把符号位参与运算,并且将减法变成了加法,背后蕴含了怎样的数学原理呢?
将钟表想象成是一个1位的12进制数.如果当前时间是6点,我希望将时间设置成4点,需要怎么做呢?我们可以:
1.往回拨2个小时:6-2=4
2.往前拨10个小时:(6+10)mod12=4
3.往前拨10+12=22个小时:(6+22)mod12=4
2,3方法中的mod是指取模操作,16mod12=4即用16除以12后的余数是4.
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!
现在的焦点就落在了如何用一个正数,来替代一个负数.上面的例子我们能感觉出来一些端倪,发现一些规律.但是数学是严谨的.不能靠感觉.
首先介绍一个数学中相关的概念:同余
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同余的概念
两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作ab(modm)
读作a与b关于模m同余。
举例说明:
4mod12=4
16mod12=4
28mod12=4
所以4,16,28关于模12同余.
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负数取模
正数进行mod运算是很简单的.但是负数呢?
下面是关于mod运算的数学定义:
上面是截图,"取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码).下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:
xmody=x-yLx/yJ
上面公式的意思是:
xmody等于x减去y乘上x与y的商的下界.
以-3mod2举例:
-3mod2
=-3-2xL-3/2J
=-3-2xL-1.5J
=-3-2x(-2)
=-3+4=1
所以:
(-2)mod12=12-2=10
(-4)mod12=12-4=8
(-5)mod12=12-5=7
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开始证明
再回到时钟的问题上:
回拨2小时=前拨10小时
回拨4小时=前拨8小时
回拨5小时=前拨7小时
注意,这里发现的规律!
结合上面学到的同余的概念.实际上:
(-2)mod12=10
10mod12=10
-2与10是同余的.
(-4)mod12=8
8mod12=8
-4与8是同余的.
距离成功越来越近了.要实现用正数替代负数,只需要运用同余数的两个定理:
反身性:
aa(modm)
这个定理是很显而易见的.
线性运算定理:
如果ab(modm)，cd(modm)那么:
(1)a±cb±d(modm)
(2)ac≡bd(modm)
如果想看这个定理的证明,请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以:
77(mod12)
(-2)≡10(mod12)
7-2≡7+10(mod12)
现在我们为一个负数,找到了它的正数同余数.但是并不是7-2=7+10,而是7-27+10(mod12),即计算结果的余数相等.
接下来回到二进制的问题上,看一下:2-1=1的问题.
2-1=2+(-1)=[00000010]原?+[10000001]原=[00000010]反?+[11111110]反
先到这一步,-1的反码表示是11111110.如果这里将[11111110]认为是原码,则[11111110]原=-126,这里将符号位除去,即认为是126.
发现有如下规律:
(-1)mod127=126
126mod127=126
即:
(-1)126(mod127)
2-1≡2+126(mod127)
2-1与2+126的余数结果是相同的!而这个余数,正式我们的期望的计算结果:2-1=1
所以说一个数的反码,实际上是这个数对于一个膜的同余数.而这个膜并不是我们的二进制,而是所能表示的最大值!这就和钟表一样,转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!
而2+126很显然相当于钟表转过了一轮,而因为符号位是参与计算的,正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.
既然反码可以将减法变成加法,那么现在计算机使用的补码呢?为什么在反码的基础上加1,还能得到正确的结果?
2-1=2+(-1)=[00000010]原?+[10000001]原?=[00000010]补?+[11111111]补
如果把[11111111]当成原码,去除符号位,则:
[01111111]原?=127
其实,在反码的基础上+1,只是相当于增加了膜的值:
(-1)mod128=127
127mod128=127
2-12+127(mod128)
此时,表盘相当于每128个刻度转一轮.所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128,128].
但是由于0的特殊情况,没有办法表示128,所以补码的取值范围是[-128,127]
本人一直不善于数学,所以如果文中有不对的地方请大家多多包含,多多指点!
原码,反码,补码详解7/7
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