§90几何概型求概率(二)一、古典概型与几何概型的关联二、事件域的构造(将事件图形化)3.个别问题两法均可1.相同点：等可能
性2.不同点：有限性与无限性寻找变量是关键均匀分布要无限变量个数定维数约束条件变成图概率总述化繁为简以小代大古典
概型复杂事件的概率简单事件的概率几何概型模拟试验事件的表示②0数字化：①0字母化：随机变量
图像语言文字语言符号语言数字化字母化互斥、对立及独立间的关联：不能同时为互斥互斥特例为对立互不影响为独立一
对独立全独立互斥独立不相干概率相等即重复ΩΩA3A1A2…AA事件间的关系：③和（并）④积（交）①包
含(子事件)②相等⑦独立⑤互斥⑥对立⑧容斥常用事件的字母表示③④①A+B=A∪B②AB=A∩B⑤=A
B+ABA·BA·B=A+BA+B=A·B·CA+B+CA·B·C=A+B+CA、B中至少有一个
发生A、B要同时发生A、B中恰好有一个发生A、B都不发生A、B不都发生A、B、C都不发生A、B、C不都发生常用词的否
定任意存在都是不都是(全是)(不全是)至多有1个至少有1个至少有2个1个也没有随机事件概率的求法定义法性
质公式法模拟试验法几何定义法统计定义法古典定义法范围性乘法公式加法公式和积互补公式对偶律总和性公式法性质法
物理机械法计算机(软件)法古典(等可能)概型一分二算三相除有限等分是前提几何概型一变二算三相除无限等分是前提
统计定义法统计定义法是随机试验法的基础频率是概率的估计；频率的稳定值是概率概率常用的性质①范围性②总和性注：必然事件
的概率为1,不可能事件的概率为0,反之则不然若Ω=A1+A2+…+An，且A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1)+P(A
2)+…+P(An)=1②乘法公式①加法公式③和积互补公式④对偶律注：若A，B互斥，则有注：若A，B独立，则有注：若
A，B对立，则有，反之则不然概率常用的公式§90几何概型求概率(二)一、古典概型与几何概型的关联二、事件域的构造(
将事件图形化)3.个别问题两法均可1.相同点：等可能性2.不同点：有限性与无限性寻找变量是关键均匀分布要无限变量个数
定维数约束条件变成图一、古典概型与几何概型的关联1.相同点：2.不同点：练习1.古典概型与几何概型的关联：(1)在区间
[0,10]上任意取一个整数x，则x不大于3的等可能性有限性与无限性概率为_______(2)在区间[0,10]上任意取一
个实数x，则x不大于3的概率为_______一、古典概型与几何概型的关联3.个别问题两法均可1.相同点：2.不同点：练
习1.古典概型与几何概型的关联：①古典概型与几何概型的区分：②个别问题两法均可：若向图中随机地投点，则投到阴影区域中的概率为
等可能性有限性与无限性一、古典概型与几何概型的关联二、事件域的构造(将事件图形化)寻找变量是关键均匀分布要无限变
量个数定维数约束条件变成图析：例.在全体实数中任取一个数，求取到有理数的概率在这个试验中，虽然满足几何概型的两个特点
2.图形显然可以用数轴，但能用几何概型解决吗？但还是不能运用几何概型解决该问题3.故无限性和等可能性，是运用几何概型的必要条件
1.显然具备无限性，故无法运用古典概型练习2.事件域的构造(将事件图形化)：(1).一维区域：①课本P：136例1②
《固学案》P：48Ex16已知函数f(x)=log2x,x∈［，2］，在区间[，2］（A）1（B）
（C）（D）析：【C】故所求P=由f(x0)≥0得1≤x0≤2,上任取一点x0.则使f(
x0)≥0的概率为则Ω={(x,y)｜0＜x＜2,0＜y＜2}②从区间（0,2）中随机地取两个数求这两数之和小于0.8的概
率为解:设这两个数为x,y.P(A)=……=0.08A＝{(x,y)｜x+y＜0.8,0＜x＜2,0＜y＜2}(1)
.一维区域：……(2).二维区域：练习2.事件域的构造(将事件图形化)：③在区间［0，1］内任取两个数，则这两个数的平方和也
在［0，1］内的概率为，将约束条件图形化……（A）（B）（C）（D）【C】析：
设这2个数为x,y,所求事件为0≤x2+y2≤1则样本空间为0≤x≤1，0≤y≤1秒杀具体计算时，可利用对称性在区间
［0，1］内随机地取三个数析;设三个数分别为x,y,z,所求事件为0≤x2+y2+z2≤1则样本空间为0≤x≤1，0≤y
≤1，0≤z≤1，可将样本空间视为棱长为1的正方体，所求事件是以该正方练习2.事件域的构造(将事件图形化)：(3).三维区
域：则这三个数的平方和在区间［0，1］内的概率是多少？故所求概率是两图形的体积比体的一顶点为球心，1为半径的球在该正方体内部
的图形具体计算时，可利用对称性，由割补法得正方体与其内切球的体积比①贝特朗悖论：在半径为1的圆内随机地取一弦求其长超过该圆
内接等边三角形的边长的概率【法1】任何弦交圆周两点，不失一般性，先固定其中ANMB一点于圆周上，以此点为顶点
作等边三角形，显然只有圆周的落入此三角形内的弦才满足要求，这种弦的弧长为整个故所求概率为练习3.
特例要知晓：【法2】弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关因此所求概率为因此可以假定它垂直于某一直径，当且仅当它与圆心的
距离小于时，其长才大于OEMAB【法3】的弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径为的同心圆时，弦长
才大于，此小圆面积为，故所求概率为大圆面积ABANMBOEMABAB同一问题有三种不同的答案
，为何？细究其原因：取弦时采用了不同的等可能性假定法1：假定端点在圆周上均匀分布法2：假定弦的中点在直径上均匀分布法3：假定弦的中点在圆内均匀分布法1：在等腰Rt⊿ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M,求AM＜AC的概率典例法2： |
|
