附录18抽象函数的性质常见推论要知晓基础知识要熟练赋值迭代及构造数形结合要类比升降性对称性重复性化负为正转换大小化大为
小①背诵法②形法③数法f(x)±f(-x)=0f(x+T)=f(x)x1＜x2单调性奇
偶性周期性概念判定作用形数↗↘f(x1)f(x2)一、基础知识要熟练1.单调性的引申：
2.奇偶性的引申：3.周期性的引申：二、常见推论要知晓4.凸凹性及引申：一、基础知识要熟练背诵法②反函数：⑤奇
偶性：③复合函数：①基本函数：形法：数法三反两同两公式奇同偶反同增异减有图就有一切④和差函数：同加不变
；异减看前⑥从左到右持续升（降）增大减小○驻点含参反用必须等具体函数比较法抽象函数配凑法⑦导数法⑧定义法1.单调
性的的引申注⑹：复合函数的奇偶性是“全奇为奇,一偶则偶”注⑵：若奇函数f(x)在x=0处有定义,则一定有f(0)=0注
⑶：f(x)为偶函数f(x)=f(-x)=f(|x|)注⑷：原函数为奇函数反函数为奇函数注⑸：
原函数为奇(偶)函数导函数为偶(奇)函数注⑴：若f(x)具有奇偶性,则其定义域一定关于原点对称注⑺：个别函数的奇偶性，
用下列证法可能更简f(x)±f(－x)=0；注⑻：定义在R上的f(x)，若对任意的x，y有＋－，则f(x)为奇
(偶)函数2.奇偶性的的引申注⑼：同号相减周期性异号和半对称性左＋右－适当变○②若f
(m+x)=±f(n-x),则f(x)具有对称性……为对称轴为偶函数为对称中心为奇函数③类比和谐函数，两种对称性具有周期
性……①若f(m+x)=±f(n+x),则f(x)具有周期性……若，则有T=2|m-n|
若，则有T=|m-n|注⑵：一般地,若T是周期,则kT也是周期(k∈Z)注⑶：原函
数为周期函数,则导函数为周期函数注⑷：若内函数为周期函数,则复合函数为周期函数注⑸：原函数为奇(偶)函数导函数
为偶(奇)函数注⑹：同号相减周期性异号和半对称性左＋右－适当变○注⑴：一般地,只有和谐函数才
有最小正周期T的公式3.周期性的的引申1.单调性的引申：2.奇偶性的引申：二、常见推论要知晓一、基础知识要熟练
①凸凹性的定义若对(a，b)上任意两点，恒有：设函数为定义在区间I上的函数，(a，b)I,则称
为(a,b)上的凸函数(2)(A型),则称(1)为(a,b)上的凹函数(V型)②凸凹性的判定原函数凹?一导增?二
导正??…原函数凸?一导减?二导负??…
4.凸凹性及引申：例：f(x)=±x2……·····(x1,y1)(x1,f(x1))(x2,y2)(x
2,f(x2))为凹函数为凸函数(V型)(A型)凸凹性的几何特征1：··(x1,y1)(x1,f(x1))
(x2,y2)(x2,f(x2))凸凹性的几何特征2：原函数凹?图像总在切线的上方?一导增?二导正?…原函数凸?
图像总在切线的下方?一导减?二导负?…①设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jen
sen)不等式:,有当且仅当时取等号②设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b
)内任意的n个实数,有当且仅当时取等号附：凸凹性与琴生(Jensen)不等式⑴
原函数与导函数的关联⑵增长速度⑶证明不等式原函数凹一导增二导正……原函数凸
一导减二导负……若f(x)为凸函数,则x逐渐增大时f(x)的增长幅度会越来越小若f(x)为凹函数,则x逐
渐增大时f(x)的增长幅度会越来越大为凹函数为凸函数(V型)(A型)③凸凹性的应用例：f(x)=±x2……三、常
用的方法3.赋值法1.数形结合2.类比法5.构造法4.迭代法常见推论要知晓基础知识要熟练赋值迭代及构造
数形结合要类比①设f(x)是以4为周期的偶函数，且当x∈[0,2]时，0.4f(x)=x，则f(7.6)=_________
②若f(x)是以2为周期的奇函数，且当x∈(-1,0)时，0f(x)=2x+1，则f()＝_______③若函数y=f
(x)满足f(x-1)=f(x+1),且f(0)=5,则f(2018)=（A）1（B）3（C）5（D）7
【C】变式1：若定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1)0变式2：若函数y=f(x)满足f(x-1)=
-f(x+1),且f(0)=5则f(2018)=________则f(2018)=________-5（A）
（B）（C）1（D）④已知定义在R上的函数f(x)的周期为2，则函数f(2x)的周期为
【C】4变式：已知定义在R上的函数f(2x)的周期为2，则函数f(x)的周期为_________⑤已知f(x)=2sin(ω
x+φ)对任意x都有f(+x)=f(-x)±2则f()=______⑥(2009年全国1)函数的定义
域为R，若与都是奇函数，则(A)函数是偶函数(B)函数是奇函数(C)【D】(D)函数
是奇函数⑦(2008年全国Ⅰ)设奇函数在上为增函数且，则不等式A．B．C．D．
的解集为【D】⑧(2007年天津卷)在R上定义的函数f?(x)是偶函数，且f?(x)?=?f?(2?–?x)，若f?(x)在区
间［1，2］上是减函数则f?(x)【B】A.在区间[–2,–1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数?B.在区间[–2
,–1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数?C.在区间[–2,–1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数?D.在区间[–
2,–1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数??A．f?(x)为奇函数????????????????????B.?f?(
x)为偶函数?C．f?(x)+1为奇函数?????????????????D.?f?(x)+1为偶函数?⑨(2008年重庆)
若定义在R上的函数f?(x)?满足：对任意x1,?x2?有f?(x1+x2)=f?(x1)+f?(x2)+1则下列
说法一定正确的是【?C】⑩(2008年四川)设定义在R上的函数??f(x)满足:?，，则（A）13 （B）2 （C）（
D）【?C】(2016年上海高考)设f(x),g(x),h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)
+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)均为增函数，则f(x),g(x),h(x)中至少有一个增函数②若f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x),g(x),h(x)均是以T为周期的函数下列判断正确的是A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题附加作业： |
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