一、基底：二、坐标：三、表述的n维性：1.坐标的唯一性：2.坐标的取值与对应点的轨迹：1.定理的表述虽然是以二维形式呈现的：
但可以是n维的2.三角形式(三维)表示：基底具有不唯一性附录19平面向量基本定理的拓展一、基底：基底具有不唯一(任意
)性注.如何选基底：基底随意不共线（面）越是特殊越简捷知模知角要垂直尽量同头特征线其中与
的夹角为120°1.(2007年陕西)如图，平面内有三个向量与的夹角为30°,且
(λ,μ∈R)则λ+μ的值为_________OABC练习1.灵活选用基底其中与的
夹角为120°1.(2007年陕西)如图，平面内有三个向量与的夹角为30°,且(λ,μ∈R)
则λ+μ的值为_________OABC析：则易得∠BOC=90°,选用新基底由
得解得λ=4,μ=2基本定理的特例：直角坐标系……6法1：其中
与的夹角为120°1.(2007年陕西)如图，平面内有三个向量与的夹角
为30°,且(λ,μ∈R),则λ+μ的值为_____OABC法2：向量两技巧：①平方法②乘向量法①平方法(
模方法,魔方法)②点乘法(乘向量法)向量平方即模方有模没模方一方等式两端点乘法式内寻找法向量其中与
的夹角为120°1.(2007年陕西)如图，平面内有三个向量与的夹角为30°,且
(λ,μ∈R),则λ+μ的值为_____OABC法2：向量两技巧：联立①、②，解得λ=4,μ=26将
两端平方得两端乘得①平方
法②乘向量法………………………………②……………………①一、基底：二、坐标：1.坐标的唯一性：2.坐标的取值与对应点
的轨迹：基底具有不唯一(任意)性基底确定后，平面中任意一个向量对应的x，y的坐标取值是唯一确定的若
(x,y∈R)则点P与坐标(x,y)是1—1对应的2.坐标的取值与对应点的轨迹：若
(x,y∈R),则(1)直线方程的点向式(2)等值线(3)“线性规划”(1)上述结论的严格证明略去……
(2)将基底，特殊化成：单位正交基底上述结论，在直角坐标系中，是显然的……OAB2.坐标的取值与对应
点的轨迹：若(x,y∈R),则(1)直线方程的点向式点P的轨迹是经过A点，以
为方向向量的一条直线当x=1时，称为直线的点向式方程特殊化：在直角坐标平面中，动点P(1，
y)的轨迹是什么？点P的轨迹是经过点(1，0)，与y轴平行的一条直线OAB点P的轨迹是经过A点，以为方向向
量的一条直线称为直线的点向式方程(2)(2004年安徽春考)已知向量集合则M∩N=A.
{(1,1)}B.{(1,1),(-2,-2)}析：由直线方程的点向式易得【C】练习2.直线方程
的点向式C.{(-2,-2)}D.φ2.坐标的取值与对应点的轨迹：若
(x,y∈R),则(1)直线方程的点向式(2)等值线①等和线：②等差线：③等商线：④等积线：已知
x＋y＝k，则动点P的轨迹是？已知x－y＝k，则动点P的轨迹是？已知x÷y＝k，则动点P
的轨迹是？已知x·y＝k，则动点P的轨迹是？上述方程在坐标平面中，表示的图象是显然的吧2.坐标的取值与对应点
的轨迹：若(x,y∈R),则(1)直线方程的点向式(2)等值线①等和线：已知
x＋y＝k，则动点P的轨迹是如图所示的直线OABx＋y＝1x＋y＝k2.坐标的取值与对应点的轨
迹：若(x,y∈R),则已知x－y＝k，则动点P的轨迹是如图所示的直
线OABx－y＝0x－y＝k②等差线：M注：点M是线段AB的中点2.坐标的取值与对应点的轨迹：若
(x,y∈R),则已知x÷y＝k，则动点P的轨迹是如图所示的直线O
ABx÷y＝1x÷y＝kM注：点M是线段AB的中点③等商线：2.坐标的取值与对应点的轨迹：若
(x,y∈R),则已知x·y＝k，则动点P的轨迹是如图所示的双曲线OAB
x·y＝k④等积线：x·y＝k(k＜0)(k＞0)(3)(2009年安徽)如图，两个单位向量
,的夹角其中则x+y的最大值是_______2为1200,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动若法1：蒙法，O
ABC抓“等”可秒杀，点C取圆弧AB的中点法2：等和线法：若x＋y＝k，则动点C的轨迹是？练习3.等值线
何以想到要抓“等”，最值定理“正常等”2.坐标的取值与对应点的轨迹：若(x,y∈R
),则(1)直线方程的点向式(2)等值线(3)“线性规划”确定了动点P的象限位置①类似于直角坐标系中,x,y的
符号OABⅢⅣⅡⅠ2.坐标的取值与对应点的轨迹：若(x,y∈R),
则(3)“线性规划”确定了点P的象限位置①类似于直角坐标系,x,y的符号②将等值线中的等式，改为不等式利用
线性规划的知识，可以类比得动点P的轨迹OABx＋y＝1x＋y≥1则点集（A）（B）
（C）（D）(4)(2013年安徽)在平面直角坐标系中，O是坐标原点两定点A、B满足所表示的区域
的面积是OAB析1：由易得析2：由等值线易得表示的是四条直
线析3：故表示的是矩形矩形边长是2和【D】练习4.“线性规划”一、基底：二、坐标：三、表述的n
维性：1.坐标的唯一性：2.坐标的取值与对应点的轨迹：1.定理的表述虽然是以二维形式呈现的：但也可以是n维的基底具有
不唯一性附录19平面向量基本定理的拓展三、表述的n维性：1.定理的表述虽然是以二维形式呈现的：但也可以是n维的2
.三角形式(三维)表示：(1)与⊿ABC面积间的关联：如图，若，则
COAB①O是⊿ABC的重心②O是⊿ABC的内心④O是⊿ABC的垂心③O是⊿ABC的外心⑤O是⊿ABC的旁心若，则(2)⊿ABC的五心：（A）2（B）（C）3（D）(5)(2004年全国联赛)设O点在⊿ABC的内部，且有，则⊿ABC的面积与【C】练习5.基本定理的三角形式(三维)表示⊿AOC的面积的比值是COAB |
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