《歷算全書》之“海倫公式”及“正弦定理”

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《歷算全書》之“海倫公式”及

“正弦定理”



上傳書齋：瀟湘館112

何世強

HoSaiKeung



提要：本文主要談及清?梅文鼎《歷算全書?三角求積術》中之第二術與

第三術：其第二術為三角形內切圓半徑乘以三角形半周之長可得其

面積，第三術為以海倫公式算三角形面積；筆者深信此二術乃西方

傳來之數學。另外《歷算全書》尚採用“正弦定理”解任意三角形，

此証明“正弦定理”於明末已傳入中國，可是“餘弦定理”並非同

時傳入。

關鍵詞：梅文鼎、歷算全書、續學堂文鈔、三角求積、中西算學通、同文

算指、幾何原本、海倫公式、正弦定理、餘弦定理。







第1節梅文鼎與其《中西算學通自序》





清?梅文鼎有《歷算全書?卷五十二》有三角求積第二及第三術，其第二術

為三角形內切圓半徑乘以三角形半周之長可得其面積，第三術為以海倫公式算三

角形面積；筆者深信此二術乃西方傳來之數學。至於現代一般中學生皆熟悉之三

角公式----正弦定理，亦於明末時傳入中國，從《歷算全書?卷五十一》可見

其梗概。

《歷算全書》六十卷，此書彙集梅氏天文、曆法及數學之作。梅文鼎（1633

年至1721年，即明?崇禎六年至清?康熙六十年），字定九，號勿庵，安徽宣

城人。清初天文學家、數學家及曆算學家，康熙四十一年大學士。康熙南巡於德

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州曾召見之，御書“積學參微”四字賜之。其後年老還鄉，卒於家。著有《大統

曆志》、《續學堂文鈔》、《續學堂詩鈔》等書。梅文鼎著述頗多，清?欽定四

庫全書編纂官將其二十九種著述合編成《歷算全書》，時為乾隆四十六年﹝1781

年﹞十月也。

梅文鼎一生致力於數學與曆法之研究，誠屬難得，最可貴者，乃介紹西方之

數學至中原。其《續學堂文鈔?卷二?中西算學通自序》﹝簡稱《自序》﹞曰：

天下之不可不通而又不易通者，算數之學是也。

以上數語，足見梅文鼎對數學之重視。算數之學乃從來“不易通者”，古之

儒者，亦不屑通之，故華夏古之算書皆寥寥可數，其學亦停滯不前，蓋研習者少

也。

西方傳來之數學相信以明?萬曆年間之《幾何原本》為首，梅文鼎對此書可

能作頗深入之研究。

《幾何原本》乃意大利傳教士利瑪竇(MatteoRicci,1552-1610)與明?徐光

啟合譯之數學著作。

徐光啟（24-4-1562至8-11-1633），字子先，號玄扈。曾師事利瑪竇，故曾

洗禮為天主教教徒，其天主教聖名為保祿，卒諡文定。明南直隸松江府上海縣人。

徐光啟乃明末學者、擅長天文曆法，亦精於數、水利、農及軍事諸學。崇禎時官

至禮部尚書兼文淵閣大學士、內閣次輔。

利瑪竇﹝MatteoRicci﹞，漢名字西泰。1552年10月6日生於意大利之馬切

拉塔城(Macerata)。1571年8月加入耶穌會，1583年來華傳教，1605年時，據

云北京信奉天主教人數已逾二百人。利瑪竇於1609年在北京創立天主教在中國

之第一善會組織“天主之母善會”。1610年5月11日卒於北京，時萬曆三十八

年也。

梅文鼎對《幾何原本》有頗高之評價，《續學堂文鈔?卷二?中西算學通自

序》曰：

萬歷中，利氏入中國，始倡幾何之學，以點、綫、面、體為測量之資，制器

作圖，頗為精密。

“利氏”乃指利瑪竇。據梅文鼎所云，《幾何原本》雖已傳入中國，但習之

者不多，其主要理由如下兩點：

1.其書繙譯自外文，篇目既多，部分題材迂迴曲折，讀者往往難以究其根

柢。

2.徐光啟與利瑪竇同信奉天主教，與中原士大夫之儒、道或釋見聞不合，

難以融合，即梅文鼎所云“又奉耶穌為教，與士大夫聞見齟齬”，此乃

妨礙明清士大夫研習西方數學意願者也。

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亦部分不願習西方數學者，乃墨守成規之輩，彼等以中國算學為正統，妄斥

西人之學為“異學”，不屑習之。

至於願意學習《幾何原本》者，因該書所涉及之題材過於廣泛，無暇顧及中

土之算學，彼等多認為古之九章，已盡之於西方算學，中國數學，不足觀亦不必

再習，此乃蔑視中土算學古法之舉也。

此兩派之說，各持道理，形成隔膜，結果妨礙中國算學之發展，梅文鼎認為

此乃“學者之過也”。

筆者相信梅文鼎所研習者，非獨《幾何原本》一書，尚有其他西方之算書，

故能寫成《中西算學通》一書，將中西算學融會貫通之。至於所習何書或以何人

為師，則未詳。

《清史稿》列傳載有梅文鼎生平，幼年時曾陪同父親梅士昌及塾師羅王賓仰

觀星宿天象；二十七歲時拜竹冠道士倪觀湖為師，但相信倪觀湖並非其西方數學

之導師。

梅文鼎對中西算學之眼光廣闊，不問數學之中西，亦不問其今古，只求其

“通”而已。“通”者，明白也。數學只要說得令人清楚明白，不必問其今古中

西也。《自序》曰：

吾之所不能通而人則通之，又何問乎今古？何別乎中西？

為使當時人明白中西之算學，於是寫成《中西算學通》一書，此乃梅文鼎作

此書之宗旨。其書以中國算書之風格介紹西方之數學，其中特別強調以下題材：

1.中國法為籌算，西人算法為筆算1

2.三角比例之術，原非中國之法，則加以詳細說明

3.中國古法之方程，非西法所有，故“專為著論，以明古人之意，不可湮

沒”。

《自序》又曰：

又具九數，存古以著其概，書凡九種，總曰《中西算學通》。

中國《九章算術》第八章《方程》之聯立一次方程解法最早出現於中國，十

八世紀歐洲法國數學家Bezout始提出相應之聯立一次方程解法，故梅文鼎云

“古法若方程，非西法所有”，乃指此。

除《幾何原本》外，明末尚有西方傳來之數學繙譯著作《同文算指》。此書

乃明末李之藻與利瑪竇合作繙譯，有《前編》二卷、《通編》八卷、《別編》一

卷。梅文鼎對此書亦作深入研究。





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第2節《歷算全書?卷五十二》三角求積第二術





筆者相信《歷算全書》中有頗多之西傳公式及定理，傳入時期約為明末。例

如以此法求三角形面積：三角形內切圓半徑乘以三角形半周之長，此術乃西傳者

也。

《歷算全書?卷五十二》三角求積第二術：

以中垂線乘半周得積，謂之以量代算。

“中垂線”指三角形內切圓半徑﹝r﹞，“半周”指三角形三邊長之和之半

﹝s﹞，其面積為rs，見以下之三角形內切圓圖。



三角形內切圓圖

設ΔABC之AB=c，BC=a，CA=b，其內切圓圓心為O，半徑為r，三

切點分別為D、E及F，見上圖。

從圖可知：

ΔABC=21ra+21rb+21rc=21r(a+b+c)=rs。

其中s=21(a+b+c)，此即三角形之半周也。

《歷算全書?卷五十二》並指出以幾何圖求內切圓圓心O之法：平分角B

與角C，其分角線分別為CO及BO，兩線交於O，O即為內切圓圓心，自O作

垂線OD垂直BC，以D為垂足，OD即為內切圓半徑r。

《歷算全書》並舉出此例：若AB=c=117，BC=a=58，CA=b=85，

單位為“步”﹝下同﹞。

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以量度法得中垂線長為18，半周=21(58+85+117)=130，

故三角形面積=18×130=2340﹝方步﹞。

以幾何圖証明見下圖之〈ΔABC面積=rs証明圖〉。

延長CB至H，取BH=AF，CD=CE=x，AE=AF=z，BD=BF=y。

顯然2x+2y+2z=Δ周長，

即x+y+z=21Δ周長，

從圖可知x+y+z=CD+DB+BH=CH，

故CH=21Δ周長=s。

或曰2AF+2DC+2DB=2BH+2DC+2DB=2s，

即BH+DC+DB=s。

又從下圖可知ΔHBO=ΔAOF，ΔOHC=21ΔABC，於是21rs=21ΔABC，

即rs=ΔABC。



ΔABC面積=rs証明圖

若已知三角形三邊之長，則不宜以此法求其面積，宜用海倫公式或秦九韶

“三斜求積”術，蓋r之長難求也。《歷算全書》以“量度法”得內切圓半徑r

之長乃非正式之法，甚至不能視之為“正確”。

ΔABC=rs公式宜用於以下情況：

1.已知ΔABC三邊之和及內切圓半徑r，可用此公式求其面積，唯其

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三邊之獨立長不能求得。

2.已知ΔABC面積及其三邊之和，求其內切圓半徑r。

3.已知ΔABC三邊之長，求內切圓半徑r。其法為先求ΔABC面積，

以其面積再除以半周。

梅文鼎“以量度法得中垂線”而求ΔABC面積乃屬繁瑣之步驟，若目的為

求面積，則不及直接量度其高，再乘其底而半之快捷也，即21高×底。故梅文

鼎之目的乃介紹西方之求三角形面積公式ΔABC=rs而已。







第3節《歷算全書?卷五十二》三角求積第三術





《歷算全書?卷五十二》三角求積第三術：

以三較連乘，又乘半總，開方見積。

依上文之ΔABC，“半總”即“半周”，即s，而s=21(a+b+c)。

“三較”指半總與三邊之較，即s–a、s–b及s–c，“三較連乘”即

(s–c)(s–b)(s–a)，“又乘半總”得s(s–c)(s–b)(s–a)，開方得：

)()()(csbsass???。

以上式是為“海倫公式”Heron’sformula或Hero’sformula。後世之一般說

法為上式乃古希臘數學家阿基米德所提出，今人以海倫命名此公式，因為此公式

最早出現在海倫之著作《測地術》中，並在其另著作《測量儀器》及《度量數》

中作出證明。故《歷算全書》之“三角求積第三術”是以“海倫公式”求三角形

面積。

《歷算全書》並舉出此例：

設ΔABC之AB=c=116，BC=a=170，CA=b=234，單位為尺。

於是s=21(a+b+c)=21(170+234+116)=21×520=260。

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又s(s–c)(s–b)(s–a)=260(260–116)(260–234)(260–170)

=260×144×26×90

=87609600。

開方得9360。故ΔABC之面積為9360平方尺。

至於海倫公式之証明法，可參閱筆者另文〈秦九韶之“三斜求積術”及海倫

公式之《測量儀器》証明法〉







第4節《歷算全書?卷五十一》之正弦定理第一支





“正弦定理”亦屬於“三角比例之術”，非中國之法，乃西方之數學於明末

傳入中土。《歷算全書》已採用“正弦定理”﹝SineFormula﹞解三角形之邊與

角。為方便說明，《歷算全書》多以例題解釋。

以下為“正弦定理”：

Asina=Bsinb=Csinc=2R，R為ΔABC之外接圓半徑。此正弦定理較

為普通，亦不算深奧，本文不作出証明。《歷算全書》以“正弦定理”之變形解

題，以下為其一例，《歷算全書?卷五十一》曰：

鈍角形第二術：有一角兩邉，求餘角餘邉。亦分二支：

1.一先有對角之邉。

2.一先有二邉皆角旁之邉而不對角。

此處之“支”可釋作“情形”或“情況”。《歷算全書》有以下之實數例：

假如ABC為鈍角三角形，角B為99o57’，AC4000尺，AB3517尺。求

角C。

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若以A為甲，B為乙，C為丙，AC稱為“對邉”﹝即已知角之對邊﹞，

其圖如上。

《歷算全書》之“正弦定理”曰：

術為以甲丙對邉(AC)比甲乙邉(AB)若乙角(B)正弦與丙角(C)正弦。

此即正弦公式之變形，即：

ABAC=CsinBsin，於是：

sinC=sinB×ACAB

=sin99o57’×40003517

=0.984958914×40003517

=0.866025125。

故角C=59.9999o=60o。

《歷算全書》之正弦99o57’，即正弦180o–99o57’=80o3’。

正弦80o3’《歷算全書》標示為98496，而圓之半徑為100000，此數即

0.98496。注意sin99o57’=sin(180o–99o57’)=sin80o3’。

《歷算全書》曰：

乙角：九十九度五十七分，正弦：九八四九六，即八十度三分正弦。

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由此可知明末時三角函數表已傳入中國，並且知此等式：

sinθ=sin(π–θ)。

最後結果得sinC=0.866025125。

此即《歷算全書》曰：丙角：正弦八六六○三。

查三角函數表得60o，此即《歷算全書》所云“撿表得丙角六十度”。“撿

表”即今之所謂“查表”，即“查三角函數表”。

再求角A：

角A=180o–99o57’–60o=20o3’。

再求BC：

術為以乙角之正弦比甲角之正弦若甲丙對邉與乙丙邉。

亦由變形之“正弦定理”可知：

AsinBsin=BCAC，

得BC=AC×

''o

''o

5799sin320sin

=4000×984958914.0342840049.0=1392.301。

《歷算全書》記曰：

乙角：九十九度五十七分，正弦：九八四九六。

甲角：二十○度三分，正弦：三四二八四。

甲丙邉：四千尺四。

乙丙邉：一千三百九十二尺。

故BC乙丙邊長1392尺。

此外，筆者尚留意以下之說法：

計開

先有之三件：

乙鈍角九十九度五十七分，甲丙邉四千尺，甲乙邉三千五百一十七尺。

今求得三件：

丙角六十度，甲角二十度○三分，乙丙邉一千三百九十二尺。

右例有兩邉一角，而先有對角之邉，是為鈍角形第二術之第一支。

“件”即今之所謂“條件”。一任意三角形有六數：三邊與三角之度數，六

數中必須知其三方可解其他數，而其中一數必須為一邊之長。而本題之已知條件

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為兩邊與一角，而該角並非由兩邊所夾，是為“鈍角形第二術之第一支”。







第5節《歷算全書?卷五十一》之正弦定理第二支





以下為第二支：

一三角形DBC含一鈍角D，BC=1582，BD=1080，角B=24o，解此三

角形。

《歷算全書》之解法為：

自C作一垂線CE垂直BD之延線至E，求CE及BE，於是可求DE，

解直角三角形DEC，可得DC，再以“正弦定理”求得角BCD。

以下為該三角形DBC：



從上圖可知﹝單位為尺﹞：

CE=BCsin24o=1582×0.406736643=643.45。

以下為《歷算全書》之算草：

半徑：一○○○○○。

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乙角：二十四度，正弦：四○六七四。

乙丙邉：一千五百八十二尺。

丙戊邉：即虚垂線，六百四十三尺。

注意正弦與半徑之比為0.40674。此即為sin24o。

又BE=BCcos24o=1582×0.913545457=1445.23。

又因為DE=BE–BD=1445.23–1080=365.23。

算草曰：

又以半徑比乙角之餘弦若乙丙邉與乙戊。

半徑：一○○○○○。

乙角：二十四度，餘弦：九一三五五。

乙丙邉：一千五百八十二尺。

乙戊邉：即乙丁引長線，一千四百四十五尺。

以原邉乙丁一千○八十尺與引長乙戊邉相減得丁戊三百六十五尺，為形外

所作虚句股形之句，則先得丙戊垂線為股而原邉丁丙為之弦。

以下為《歷算全書》之正弦及餘弦24o，上文之半徑指下圖之BC，即100000

單位，即三角形BCE在一半徑為100000單位之圓內。從圖可知：

sin24o=10000040674=0.40674。

cos24o=10000091355=0.91355。



在上頁直角ΔCED中，

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DC2=CE2+DE2=414027.90+133392.95=547420.85。

所以DC=√547420.85=739.88。

《歷算全書》之算法取整數：

DC2=CE2+DE2=6432+3652=413449+133225=546674，因此：

DC=√546674=739.37=739。

再用正弦公式之變形，即得：

DBDC=DCBDBCsinsin，

即sinDCB=sinDBC×DCDB

=sin24o×7391080

=0.406736643×7391080

=0.59441891。

查三角函數表得角36.47o，即36o28.2’。《歷算全書》則作36o29’，古

時無四捨五入之說，凡數皆入，故36o28.2’作36o29’。

算草曰：

求丙角：

術為以丁丙邉比丁乙邉若乙角正弦與丙角正弦。

丁丙邉：七百三十九尺。

丁乙邉：一千○八十尺。

乙角：二十四度，正弦：四○六七四。

丙角：正弦：五九四四二。

撿表得丙角三十六度二十九分。

若取較精確之算法如下：

sin24o×88.7391080=0.59441891=0.593711918，

查三角函數表得角36.42o，即36o25’。

求丁角即C角則簡單：180o–24o–36o29’=119o31’。

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從本題之算法可知，《歷算全書》成書年代尚未引入“餘弦定理”﹝Cosine

Formula﹞，因本題應用此定理解方為快捷。

本題所用之法其實為“餘弦定理”，以下為其証明法：



上圖與第10頁之圖相若。

從上圖可知CE=dsinθ，BE=dcosθ。

因為ED=BE–BD，所以ED=dcosθ–c。

由句股定理可知：

DC2=b2=CE2+ED2=d2sin2θ+(dcosθ–c)2

即b2=d2sin2θ+d2cos2θ+c2–2dccosθ

=d2+c2–2dccosθ。

此即為“餘弦定理”。

本題之b2=15822+10802–2×1582×1080cos24o

=2502724+1166400–3121694.45

=547429.55。

開方得b=739.88。

故“正弦定理第二支”其實為“餘弦定理”，即已知三角形兩邊及其夾

角，即可以以此定理解之。

明末時，西方數學之海倫公式及正弦定理之傳入，對清代之數學不無影響。



1見《歷算全書?序》。