2017寒假数学作业
我们在寒假前结束了一轮复习，望各位同学在假期中做好整理、总结任务，
以便我们接下来年后的二轮专题复习。本次寒假作业偏重于基础知识的巩固练
习，稍微涉及一些拔高题，若同学们在做作业及复习的过程有疑问，可在“学桥
理科班级群”中提问。
祝同学们有一个愉快而充实的假期！
作业目录：
1.集合与函数·············································02
2.不等式·················································05
3.三角函数与平面向量·····································06
4.数列与极限·············································08
5.几何专题···············································10
6.统计与概率·············································15
7.杂题部分···············································17
-1-
集合与函数
1．已知条件p：x?a，条件q：x2?x?2?0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取
值范围是_____________．
22
22xy
2．已知命题p：实数m满足m＋12a<7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋＝
m?12?m
1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为________．
3．已知函数y?f(x)(x?R)的图象如图所示，则不等式xf''(x)?0的解集为________.
4．函数f(x)?lnx?2x的单调递减区间是.
5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)??x2?3x，则不等式
f(x?1)??x?4的解集是．
6．计算
13
?1
（1）0.0273?(?)?2?2564?3?1?(2?1)0
7
???
（2）lg8lg125lg2lg5
lg10lg0.1
-2-
7．已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，又
f(1)＝－2.
（1）判断f(x)的奇偶性；
（2）求证：f(x)是R上的减函数；
（3）求f(x)在区间[－3,3]上的值域；
（4）若?x∈R，不等式f(ax2)－2f(x)
-3-
a
8．已知函数f(x)?lnx?
x
（1）若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
3
（2）若f(x)在?1,e?上的最小值为,求a的值;
2
（3）若f(x)?x2在?1,???上恒成立,求a的取值范围
-4-
不等式
?x?y?2?0?
?y
1．已知变量x,y满足约束条件?x?1?则的取值范围是()
?x
?x?y?7?0?
A．[9?6]B．(???9]?[6???)C．(???3]?[6???)D．(3,6]
55
2．在（0，2?）内，使|sinx|≥cosx成立的x的取值范围为（）
?7??5?
（A）[，]（B）[，]
4444
5??7?
（C）[0，]（D）[0，]∪[，2?]
444
???3?a?x?4a,x?1
3．已知f?x???是在R上的增函数，那么a的取值范围是
??logax,x?1
?3?
A.?1,???B.???,3?C.?1,3?D.,3?
??5?
1
4．当x?3时，不等式x??a恒成立，则实数a的取值范围是（）
x?1
A．（－∞，3]B．[3，+∞）C．[7，+∞）D．（－∞，7]
22
5．已知函数f?x?是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f?x???x2?3x，则不等式
f?x?1???x?4的解集是______．
12
6．已知x?0,y?0，??2，则2x?y的最小值为______
xy
7．若不等式x2?2x?2?a?2对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是______．
8．已知关于x的不等式ax2?3x?2?0的解集为｛x∣x<1或x>b｝
（1）求a，b的值
（2）解关于x的不等式ax2?(a?b)x?b?0
-5-
三角函数与平面向量
1．已知tan(???)?2，则sin2??sin?cos??2cos2??3的值为
3?
2．若????，则(1?tan?)(1?tan?)?
4
?k???
3．设集合M＝M??????,k?Z?，N??????????，则M∩N＝________．
?23?
???
4．函数f?x??3sin?2x??的图象为C，如下结论中正确的是__________（写出所有正确
?3?
结论的编号）．
11?2?
①图象C关于直线x??对称；②图象C关于点??,0?对称；③函数f?x?在区间
12?3?
??5??
??,??内是增函数；④由y?3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
?1212?3
?
5．设0???，向量a?(sin2?,cos?),b?(1,?cos?)，若a?b?0，则tan??______.
2
6．在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角度数为
7．如下图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M是线段OD的中点，
设AB?a,AD?b，则AM=（结果用a,b表示）
?????????
8．已知向量a?(?1,2)，b?(2,3)，若m??a?b与n?a?b共线，则实数?的值是
?33??11????
9．已知向量a??cosx,sinx?,b???sinx,?cosx?，其中x??,??
?22??22??2?
（1）若a?b?3，求x的值；
（2）函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围．
-6-
?
10．已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0???）的图象与x轴
2
??
的相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为Q(,2)
26
（1）求f(x)的解析式；
??
（2）当x?[,]，求f(x)的值域.
122
-7-
数列与极限
1．已知，在等比数列中，各项均为正实数，若，则
?an?a1a5?4
.
log2a1?log2a2?log2a3?log2a4?log2a5?
S7n?2a?a
2．两等差数列和,前项和分别为,且n则220等
{an}{bn}nSn,Tn?,
Tnn?3b7?b15
于。
1
3．已知数列中，，则.
?an?a1?1,an?1?an??n?N?liman?
3n?1n??
S
4．已知数列是公差为2的等差数列，是的前n项和，则n=．
?an?Sn?an?lim
n??
nan
5．设等差数列的前项和为，若，则的最大值为____。
?an?nSnS4?10,S5?15a4
6．设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列，且1，1，1成等差数列，则x?z的
xyzzx
值是．
7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为________.
8．已知数列满足1,其中N．
?an?a1?1,an?1?1?n?
4an
（1）设2，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
bn??bn??an?an
2an?1
（2）设4an，数列的前项和为,是否存在正整数,使得1于
cn??cncn?2?nTnmTn?
n?1cmcm?1
n?N恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明
-8-
9．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．
（1）求d，an；
（2）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
1?
10.已知数列?a?满足：a?0,a?，a?a??2a?a??n?N?
nn13nn1nn1
?1?
（1）求证：??是等差数列，并求出an；
?an?
1
（2）证明：aa?aa?????aa??．
1223nn16
-9-
几何专题
x21
1．椭圆?y2?1的弦AB的中点为P(1,)，则弦AB所在直线的方程是.
42
2．过点?1,2?且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
3．已知直线x?y?a?0与圆心为C的圆x2?y2?2x?4y?4?0相交于A，B两点，且
AC?BC，则实数a的值为_________.
x2y2
4．设椭圆??1?a?b?0?的两个焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，且PF1?PF2?0，
a2b2
3
tan?PFF?，则该椭圆的离心率为．
123
5．设M(?5,0),N(5,0),△MNP的周长是36，则?MNP的顶点P的轨迹方程为___
________
6．如图，在直三棱柱中，0，则异面直
ABC?A1B1C1?ACB?90,AA1?2,AC?BC?1
线与所成角的余弦值是____________．
A1BAC
7．设m,n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
（1）若m⊥α，n∥α，则m⊥n
（2）若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
（3）若m∥α，n∥α，则m∥n
（4）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
其中真命题的序号是．
-10-
8．如图所示，正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面
角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为.
BEA
F
CD
9．已知点P(2,2)，圆C:x2?y2?8y?0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线
段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
(2)当OP?OM时，求l的方程及?POM的面积
-11-
10．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0，且直线l与圆C交于A、B两点．
(1)若|AB|＝17，求直线l的倾斜角；
????????
(2)若点P(1,1)满足2AP＝PB，求此时直线l的方程．
-12-
11．如图，在四棱锥E?ABCD中，底面ABCD为正方形，
AE?平面CDE，已知AE?DE?2，F为线段DE的中点．
（1）求证：BE//平面ACF；
（2）求四棱锥E?ABCD的体积．
B
A
E
C
F
D
-13-
12．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD
折起，使∠BDC=90°．
（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积
-14-
统计与概率
1．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1
种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有()
A.72种B.96种C.108种D.120种
2．若4234，则22的值为
(x?3)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x(a0?a2?a4)?(a1?a3)
A．?16B．16C．3?1D．3?1
?
3．已知a?2(sinx?cosx)dx，在(1?ax)6(1?y)4的展开式中，xy2项的系数为（）
?0
A．45B．72C．60D．120
4．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则
取出的两个球同色的概率是（）
A.1B.1C.1D.1
2345
5．已知，，则的不同取值个数为_________
a,b??1,2,3,4,5,6,7,8,9?u?logabu
1
6．在区间?0,3?上任取一个数m，则函数f?x??x3?x2?mx是R上的单调函数的概率是
3
_____________
7．由0，1，2，3，4，5这六个数字。
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？
（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？
-15-
8.已知在(x?3x)n（其中n?15）的展开式中：
（1）求二项式展开式中各项系数之和；
（2）若展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列，求n的值；
（3）在（2）的条件下写出它展开式中的有理项.
9.某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核
中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀，授予20
分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为2、2、1，他们考核所得的等级
332
相互独立．
（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分
布列和数学期望．
-16-
杂题部分
?3x?2y?2?0
1.在空间直角坐标系中，经过P?1,1,1?和Q??1,0,2?且与直线?平行的平面方程为
?y?3z?5?0
?x?3y?z?1?0
2.在空间直角坐标系中，经过P?2,1,1?且与直线?垂直的平面方程为
?3x?2y?2z?1?0
3.在空间直角坐标系中，经过P?1,?1,2?且与平面2x?2y?3z?1垂直的平面方程为
x?6y?1z?2
4.在空间直角坐标系中，直线??与平面2x?2y?z?4的交点坐标为
2?1?2
5.在空间直角坐标系中，过坐标原点作平面2x?2y?z?4的垂线，垂足的坐标为
6.若代数式x5?3x4?8x3?11x?m能被x?1整除，则m的值为
7.若代数式x4?5x3?11x2?mx?n能被x?1整除，则m?n的值为
8.设f?x?以x?1除之，余式为8，以x2?x?1除之的余式为7x?16，求x3?1除之的余式为
多少?
-17- |
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