导数的应用:1．函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时
的一个应用，它充分体现了数形结合的思想．一般地，在某个区间(a，b)内，如果f''(x)＞０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调
递增；如果f''(x)＜０，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．如果在某个区间内恒有f''(x)=0，则f(x)是常数函数．
注意：在某个区间内，f''(x)＞０是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0
时f''(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f''(x)≥0。(2)求函数单调区间的步骤（不要按图索骥缘
木求鱼这样创新何言？1.定义最基础求法2.复合函数单调性)①确定f(x)的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的x
的范围．当f''(x)＞0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f''(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数．2．函数的极值(1)
函数的极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值.3
．求函数极值的步骤①确定函数的定义域；②求导数；③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根；
④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．4．函
数的最值(1)如果f(x)在［a,b］上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大
值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在［a，b］的端点a或b处取
得，极值与最值是两个不同的概念．(2)求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．生活中的优化问题生活中经常遇到求
利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以
转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．二、高考关于导数的出题入手点是什么?1.单调性问题研究函数的单调性
问题是导数的一个主要应用，解决单调性、参数的范围等问题，需要解导函数不等式，这类问题常常涉及解含参数的不等式或含参数的不等式的恒成
立、能成立、恰成立的求解。由于函数的表达式常常含有参数，所以在研究函数的单调性时要注意对参数的分类讨论和函数的定义域。2.极值问
题求函数y=f(x)的极值时，要特别注意f''(x0)=0只是函数在x=x0有极值的必要条件，只有当f''(x0)=0且在xx0时
，f''(x0)异号，才是函数y=f(x)有极值的充要条件，此外，当函数在x=x0处没有导数时，在x=x0处也可能有极值，例如函
数f(x)=|x|在x=0时没有导数，但是，在x=0处，函数f(x)=|x|有极小值。还要注意的是，函数在x=x0有极值，必
须是x=x0是方程f''(x)=0的根，但不是二重根(或2k重根)，此外，在确定极值点时，要注意，由f''(x)=0所求的驻点是否在函
数的定义域内。3.切线问题曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f''(x0)(x-x0)，切线与曲线的综合，
可以出现多种变化，在解题时，要抓住切线方程的建立，切线与曲线的位置关系展开推理，发展理性思维。关于切线方程问题有下列几点要注意：
(1)求切线方程时，要注意直线在某点相切还是切线过某点，因此在求切线方程时，除明确指出某点是切点之外，一定要设出切点，再求切线方程
；(2)和曲线只有一个公共点的直线不一定是切线，反之，切线不一定和曲线只有一个公共点，因此，切线不一定在曲线的同侧，也可能有的
切线穿过曲线；(3)两条曲线的公切线有两种可能，一种是有公共切点，这类公切线的特点是在切点的函数值相等，导数值相等；另一种是没
有公共切点，这类公切线的特点是分别求出两条曲线的各自切线，这两条切线重合。4.函数零点问题函数的零点即曲线与x轴的交点，零点的
个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时要用图像帮助思考，研究函数的极值点相对于x轴的位置，和函数的单调性。5.不等式的证明问题
证明不等式f(x)≥g(x)在区间D上成立，等价于函数f(x)-g(x)在区间D上的最小值等于零；而证明不等式f(x)>g(x)
在区间D上成立，等价于函数f(x)-g(x)在区间D上的最小值大于零，或者证明f(x)min≥g(x)max、f(x)min>
g(x)max。因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最大(小)值问题。攻克函数还是要从函数三要素下手，定义域，值域，
对应法则。导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。一个
函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运
算法则来源于极限的四则运算法则。导数定义一、导数第一定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义当自变量x在
x0处有增量△x(x0+△x也在该邻域内)时相应地函数取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)如
果△y与△x之比当△x→0时极限存在则称函数y=f(x)在点x0处可导并称这个极限值为函数y=f(x
)在点x0处的导数记为f''(x0),即导数第一定义二、导数第二定义设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定
义当自变量x在x0处有变化△x(x-x0也在该邻域内)时相应地函数变化△y=f(x)-f(x0)
如果△y与△x之比当△x→0时极限存在则称函数y=f(x)在点x0处可导并称这个极限值为函数y=f(
x)在点x0处的导数记为f''(x0),即导数第二定义三、导函数与导数如果函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导
就称函数f(x)在区间I内可导。这时函数y=f(x)对于区间I内的每一个确定的x值都对应着一个确定的导数这就构
成一个新的函数称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数记作y'',f''(x),dy/dx,df(x)/dx。导函数简
称导数。几何意义函数y=fx在x0点的导数f''x0的几何意义表示函数曲线在P0[x导数的几何意义0fx0]点的切线斜率导数的几何
意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率.导数另一个定义当x=x0时f''(x0)是一个确定的数。这样当x变化时f''(x)便是x的一个函
数我们称他为f(x)的导函数derivativefunction简称导数.物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导
数来表示。如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度就匀速直线加速度运动为例位移关于时间的一阶导数是瞬时速度二阶导数是加速度、可以
表示曲线在一点的斜率矢量速度的方向、还可以表示经济学中的边际和弹性。去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念可以很接近它但永远
到不了那个岸。并且要认识到导数是一个比值。应用单调性利用导数的符号判断函数的增减性这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用它
充分体现了数形结合的思想一般地在某个区间(ab)内如果f''(x)>0那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增如果f''(x)<0那么
函数y=f(x)在这个区间内单调递减如果在某个区间内恒有f''(x)=0则f(x)是常数函数注意在某个区间内f''(x)>0是f(x)
在此区间上为增函数的充分条件而不是必要条件如f(x)=x3在R内是增函数但x=0时f''(x)=0。也就是说如果已知f(x)为增函数
解题时就必须写f''(x)≥0。①确定f(x)的定义域②求导数③由或解出相应的x的范围当f''(x)>0时f(x)在相应区间上是增函数
当f''(x)<0时f(x)在相应区间上是减函数函数的极值①如果在两侧符号相同则不是f(x)的极值点②如果在附近的左右侧符号不同那么
是极大值或极小值。求极值①确定函数的定义域②求导数③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点即求方程及的所有实根④检查在驻点左右的
符号如果左正右负那么f(x)在这个根处取得极大值如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值函数的最值①求f(x)在(ab)内的极
值②将f(x)的各极值与f(a)f(b)比较其中最大的一个是最大值最小的一个是最小值生活问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效
率最高等问题这些问题称为优化问题优化问题也称为最值问题解决这些问题具有非常现实的意义这些问题通常可以转化为数学中的函数问题进而转化
为求函数的最大小值问题实习作业本节内容概括总结了微积分建立的时代背景并阐述了其历史意义包括以下六部分注意事项1函数图像看增减导数图
像看正负。2极大值不一定比极小值大。3极值是局部的性质最值是整体的性质导数应用洛必达法则?罗尔中值定理与其它微分中值定理折叠编辑本
段应用实例问题设计一个圆柱形容器要求容积为335ml使用的材料最少。求解求解V(r,h)=r2h(1)Vd=355m
L=0.3550.01m3(2)f(r,h)=A(r,h)=2r2+2rh(3)X=(r,h):
r,h∈R+(4)h=Vdπr2=0.00355m3(5)f(r)=2r2+2Vdrㄢ(6)f′
(r)=4r+2Vd爢三(7)r≈3.8cm(8)h≈7.7cm(9)f′′(r)=4+4Vdr3
(10)f′′(r)>0得到的解x=(r,h)是要求的解利用导数知识能很轻松的解决这个问题。学习函数要重点解决好
四个问题：准确深刻地理解函数的有关概念;揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系;把握数形结合的特征和方法;认识函数思想的实质，强化
应用意识.(一)把握数形结合的特征和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性
、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练
地掌握函数图象的平移变换、对称变换.(二)认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数
量特征，建立函数关系，求得问题的解决.纵观近几年高考题，考查函数思想方法尤其是应用题力度加大，因此一定要认识函数思想实质，强化应用
意识.(三)准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，而函数是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方
程、函数、排列组合、数列极限等是以函数为中心的代数.近十年来，高考试题中始终贯穿着函数及其性质这条主线.四)揭示并认识函数与其他数
学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲
线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式
.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.高考试题涉及5个方面：(1)原始意义上的函数问题;(2)方程、不等式作为函数
性质解决;(3)数列作为特殊的函数成为高考热点;(4)辅助函数法;(5)集合与映射，?高中的函数知识点会贯穿到整个高中,在高考中占
35%的分数比例。求函数很多的时候都会涉及到极限问题。求极致不仅是高考数学的热点还是数学竞赛试题的考试热点，例如2014年第30届
数学竞赛冬令营的试题，第一天和提二天都有求极限的题目。函数极限是考试中必不可少的题目，所以本文为考生归纳总结了极限的几种求法：
1.先估计数列或函数的极限值，而后利用定义进行验证，这是求极限的最基本的方法，可用于求一些简单的极限。2.利用有限个函数的和、差
、积、商以及复合函数求极限的运算法则求极限，可以使一些复杂的极限计算问题得到简化。3.利用无穷小的性质求极限。这主要包括：①有
限个无穷小的和(差、积)仍是无穷小。②有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。③非零无穷小与无穷大互为倒数。④等价无穷小代换。当求
两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替。正因为等价无穷小的这一性质，所以在求极限时，可以简化计算，减少运算量，快速
地解决问题，起到事半功倍的效果。要用好此性质，当然需要适当掌握一些等价的无穷小量。4.两个重要极限及其推广形式(这里f(x)为
一自变量同一变化过程中的无穷小量)。5.利用准则I(两边夹法则)和准则Ⅱ(单调有界数列必有极限)求极限。6.利用洛必达法则求
0/0型，(无穷)/(无穷)型，0，无穷，无穷-无穷，0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方型函数极限。需要说明的是，求函数极限
的方法很多，到底用哪一种方法简单，这需要具体问题具体分析。有时对一个问题，我们需要两种或两种以上的方法才能简便、快捷地计算出结果。
同时运用洛必达法则和等价无穷小代换，可以大大减少计算量，同时也减少了出错的可能。历史经验告诉我们，高中阶段的数学学习规律是：“三年
发展看高一，高一关键在‘一上’”。打好高一的数学基础，特别是开好“一上”即高一上学期高中数学学习的“头”，对于顺利完成高中三年的数
学学习，打好自己终生发展的基础极为重要。为此，这里首先要给同学们谈谈高中数学学习的基本规律和基本方法，以便同学们从开始就掌握科学高
效的学习方法，因为“良好的开端是成功的一半”。1．高中数学及数学学习的重要性为了学好高中数学，首先就要明白数学及数学学习的重要性，
从而热爱数学，有强烈的愿望去学好数学。“知之者不若好之者，好之者不如乐之者。”当你能以学习数学为爱“好”，为“乐”事的时候，你就会
涌动幸福的体验：与“数”奋斗，其乐无穷。著名数学家华罗庚教授在“大哉数学之为用”，一文中精采地叙述了数学的各种应用：宇宙之大，粒子
之微，火箭之速，化工文巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献。他指出：数学是一切科学得力的助手和工具。
它有时由于其它科学的促进而发展，有时也先走一步，领先发展，然后再获得应用。任何一门科学缺少了数学这一工具便不能确切地刻划出客观事物
变化的状态，更不能从已知数据推出来知的数据来，因而就减少了科学预见的可能性，或者减弱了科学预见的精确度。中国科学院院士、著名数学家
王梓坤在《今日数学及其应用》一文中指出：“数学与人类文明同样古老，有文明就必须有数学，缺乏数学不可能有科学的文明，数学与文明同时并
存以至千古。”……近现代世界史证实：“国家的繁荣昌盛，关键在于高新科技的发达和经济管理的高效率”；“高新科技的基础是应用科学，而应
用科学的基础是数学。”这一历史性结论充分说明了数学对国家建设的重要作用。其次，由于计算机的出现，今日数学已不仅是一门科学，还是一种
普适性的技术：从航天到家庭，从宇宙到原子，从大型工程到工商管理，无一不受惠于数学技术。因而今日的数学兼有科学与技术的两种品质，这是
其他学科所少有的。数学对国家的贡献不仅在于国富，而且还在于民强。数学给予人们的不只是知识，更重要的是能力，这种能力包括直观思维、逻
辑推理、精确计算机准确判断。因此，数学科学在提高民族的科学和文化素质中处于极为重要的地位。“学科的强大生命力在于对社会进步的贡献，
数学也不例外。数学的贡献在于对整个科学技术（尤其是高新科技）水平的推进与提高，对科技人才的培养和滋润，对经济建设的繁荣，对全体人民
的科学思维与文化素质的哺育，这四方面的作用是极为巨大的，也是其他学科所不能全面比拟的。”正因为数学如此重要，所以国家把数学规定为高
中的一门主要课程。一个人从小学到高中，要学习十二年数学。高中毕业后升入大学继续深造，无论是理工科还是文史类大学，都还要继续学习数学
。今年春夏sars肆虐，中考取消了许多科目，独独保留了“语、数、外”；高考几十年改革改来改去，“语、数、外”都是必考内容的“三”。
两院院士，中国当代“毕昇”、国家科技大奖获得者王选教授曾说：我们挑人，挑一个计算机优秀的，将来培养成一个“将才”；挑一个数学非常优
秀的，将来可以培养成“帅才”。数学，已经成了二十一世纪高新科技人才的通行证。高中阶段的数学学习，要学习代数、几何的基础知识和概率统
计、微积分的初步知识，掌握基本技能和基本思想方法，培养自己的思维能力、运算能力、空间想象的能力、解决问题的能力以及创新的意识，陶冶
良好的个性品质和学习习惯。数学学习对于发展高中生的思维品质和思维水平极其重要。要想使自己更聪明，必须学数学；要想将来成为有用人材，
必须学好数学；要想为终身事业打好基础、夺取主动，必须学好数学。2．过好“一上”转轨期万丈高楼平地起，第一要打好根基。基础不牢，地动
山摇。基础牢靠，根深叶茂。同学们刚从初三升入高一，首先要认识高中学习的特点。古人云：一年之计在于春，一日之计在于晨。一个高中学生三
年的成长发展，不论是数学知识的获得，个性的陶冶，还是思维水平、数学能力的提高，都遵循这样一个规律——“三年发展看高一，高一关键在—
—（上）”。万事开头难，头三脚难踢。“好的开头等于成功的一半。”打好高一的基础至关重要。高一上学期，特别是一上的前半学期，是实现从
初中学习到高中学习的“转轨期”。这个“轨”轻得顺不顺，好不好，对于能否顺利适应高中三年数学学习特别关键。不少刚升入高中的同学，由于
初三升学考试压力的解除，到了高中觉得一切新鲜。由于不了解高中数学学习的规律和特点，盲目性很大。心想着三年时间长得很，不妨先放松一下
。那知道光阴似箭，日月如梭，转眼之间就到了期中考试。一些同学手忙脚乱，突击复习，直至数学成绩不理想才慌了神甚至大惑不解：我中考成绩
不错啊？怎么到了高中突然大滑坡，不及格啊！前车之覆，后车之鉴。要想避免期中考试“碰壁”后才恍然醒悟的被动局面，就必须充分认识高中数
学课的特点，从入学的第一天第一节数学课起就“慎重初战”，战则必胜！工欲善其事，必先利其器。”古今中外的有识之士，经过长期的实践，一
致肯定了科学的学习方法在学习中的重要作用。英国一名社会学家，曾经调查了几十位诺贝尔奖金获得者。他们中间的大多数认为，掌握科学方法比
掌握具体知识更重要。在学习期间，最重要的是学习导师怎样活动，怎样思考和怎样对待事物。伟大的物理学家爱因斯坦有个公式：A=X+Y+Z
A代表成功，X代表艰苦劳动，Y代表正确方法，Z代表少说废话。这个公式用在学习上，就是说，要想在学习上取得成功，一要靠勤奋，二要靠学习方法，三要靠效率。高中数学学习要讲究科学高效的学习方法，方法科学，事半功倍；方法不当，事倍功半。科学高效的学习方法可以带来很多好处：一可以提高学习的质量，二可以减轻学习的负担，三可以促进身心的健康发展。那么，科学高效的学习方法从哪里来？这要从高中数学的学习规律，高中数学的各个学习环节（即全过程）出发，寻找适合身身特点具有自己特色的学习方法。课前预习，课上听讲，课下复习、作业练习，课外学习，复习小统筹，各个时段，各个环节都要“优化”。总结许许多多的科学家，数学家、数学优秀生、数学特级教师的治学经验，我们归纳出课前预习，上课听讲，课后练习，复习小结等环节的要点，就是“先预习后听讲，先复习后作业，先思考后提问，经常总结学习规律”，简言之，就是“三先三后一总结”。我们再把它细化成高中数学的学习规范要求，提出以下几点，希望同学们严格遵照施行。1．课前规范要求：主动预习，胸中有数。2．课堂规范要求：主动参与，追求卓越，讲求效率；3．课后规范要求：认真读书，整理笔记，深思熟虑，勇于质疑。4．作业规范要求：（1）先复习，后作业；（2）字迹清楚，表述规范，计算正确；（3）填好《作业检测表》1 |
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