第十六章排列组合与二项式定理
2abπ
22
9．已知a，b均为正整数，且ab>，sinθ=（其中0<<θ），A=ab+?sinnθ，
()
n
22
ab+2
求证：对一切n∈N，A均为整数．
n
22
2abπab?
2
解：因为sinθ=，且0<<θ，ab>，所以cosθθ=1?=sin．
2222
ab+2ab+
n
显然sinnθ为cosθθ+isin的虚部，
()
n
22
n?a?b21ab?
22
cosθθ+isin=+i=a?+b2aqbi
()()
??
2222n
22
ab+ab+
??ab+
()
12n
=(ab+i)．
n
22
ab+
()
nn
2n2n
2222
所以a+b(cosnθθ+=isinn)(ab+i)．从而A=ab+sinnθ为(ab+i)的虚部．因
()()
n
2n
为a、b为整数，根据二项式定理，a+bi的虚部当然也为整数，所以对一切n∈N，A为
()
n
整数．
153197315913115
10．观察下列等式：C+=C22?；CC+=2+2；CCCC+++=2?2；
559913131313
1591317157
CCCCC++++=2+2；…由以上等式推测一个一般的结论：
1717171717
1514nn41+
对于，CCC++x++?C．
n∈N
41nnn+++414141n+
41n+
041n++14nn41
解：(1+x)=CCxx+++?C．
41nn++4141n+
n
1594nn+?14121n?
分别将i，?i，1，?1代入，即可得CCC+++?+C=2+?12．
()
41nnn+++414141n+
11．某市2005年底人口为万，人均住房面积为平方米，计划2009年底人均住房面积达
208
到10平方米，如果该市将人口平均增长率控制在1%，则要实现上述计划，这个城市每年平
均至少要新建住房面积为多少万平方米？（结果以万平方米为单位，保留两位小数）
解：高每年平均新增住房x平方米，则2010年住房面积为
2
200000×+84x=1600000+4xm，
()
2009年人口数为200000×+(11%)，
4
依题意知1600000+4x=200000×+11%×10，
()
解之得（万平方米）．
x=12.05
编者：浪漫一客（chenpgb@126.com）
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