第二章不等式
a，b+b，c+c，a
[][][]
abc++
6．设a，b，c是大于1的整数．求u=?的最小值，其中
2abc++
xy，表示正整数x，y的最小公倍数．
[]
解：不妨设abc≥≥，当a，b，c=2，2，2，32，，2，333，，，4，2，2时，
()()()()()
3177113
u=2，，，，，下证：当abc++≥9是时，有u≥，
28242
a，b+b，c+c，a
abc++[][][]3
?≥
22abc++
2
?abc++?23a，b+bc++c，a≥abc++
()([][][])()
222
?a+b+c+2ab+?a，b+22bc?bc+ca?c，a≥3a+b+c．
([])([])([])()
222
因为xy≥[x，y]，所以只需证a+b+c≥3(abc++)．
2
222
由于abc++≥9，且由柯西不等式3a+b+c≥abc++，
()()
2
abc++abc++
()()
222
所以a+b+c≥=33abc++?≥abc++．
()()
39
3
故u≥，当a，b，c=32，，2时等式成立，
()()
2
3
所以，u的最小值为．
2
abaabb
7．设实数a，b满足3+=1317，5+=711，证明：ab<．
abababaaaa
证：假设ab≥，则13≥13，55≥，由3+=1317，得3+13≥17，即
aaxx
31331331316
????????
+≥1，由于f(x)=+单调递减，f(11)=+=<，
????????
17171717171717
????????
且fa()≥11>f()，则a<1．
bb
57
????
abbbbb
由5+=711，得5+7≤11，即+≤1．
????
1111
????
xx
575712
????
由于单调递减，g11=+=>，且，
gx()=+()gb()≤11????
1111111111
????
则b>1，因此，ab<1<，与ab≥矛盾，所以，ab<．
编者：浪漫一客（chenpgb@126.com）
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