第二讲不等式
2?2?
例19.已知a=(1,x),b=(x+x,-x),m为常数且m≤-2,求使不等式a·b+2＞m+1成立的x
??
a?b
??
的范围.
2
解∵a=（1，x），b=（x+x，-x），
22
∴a·b=x+x-x=x.
?2?
由a·b+2＞m+1
??
a?b
??
?2?x+2
?x+2＞m+1?(x+2)-m＞0
??
xx
??
x(x+2)(x-m)＞0(m≤-2).
?
2
①当m=-2时，原不等式?x(x+2)＞0?x＞0;
②当m＜-2时，原不等式?m＜x＜-2或x＞0.
综上，得m=-2时，x的取值范围是（0，+∞）；
m＜-2时，x的取值范围是（m，-2）∪（0，+∞）.
例20.某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产
k
量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-(k为常数)，如果不搞促销活动，
m+1
则该产品的年销售量只能是1万件.已知2008年生产该产品的固定投入为8万元，每生产
1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本
的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.
解（1）由题意可知当m=0时，x=1（万件）,
2
∴1=3-k?k=2.∴x=3-.
m+1
8+16x
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
x
?8+16x?
∴2008年的利润y=x·-(8+16x+m)
?1.5×?
x
??
2
??
=4+8x-m=4+8?3??-m
m+1
??
16
??
=-+(m+1)+29(m≥0).
??
m+1
??
16
（2）∵m≥0时，+(m+1)≥216=8,
m+1
16
∴y≤-8+29=21,当且仅当=m+1?m=3(万元）时，ymax=21(万元）.
m+1
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