第一讲集合与命题条件
（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.
原命题是假命题，否命题是真命题.
例5.“|x-1|＜2成立”是“x(x-3)＜0成立”的条件.答案必要不充分
例6.证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
c
2
证明充分性：若ac＜0,则b-4ac＞0,且＜0,
a
2
∴方程ax+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.
22c
必要性：若一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负根，则Δ=b-4ac＞0,x1x2=＜0,∴ac＜0.
a
综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
x,x∈P,
?
例7.函数f（x）=其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）=
?
?x,x∈M,
?
{y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}.给出下列四个判断：
①若P∩M=?，则f（P）∩f（M）=?；②若P∩M=?，则f（P）∩f（M）=?；
③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R；④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R.
其中正确判断有
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案B
1
3
例8．设数集M=｛x|m≤x≤m+｝，N=｛x|n－≤x≤n｝，且M、N都是集合｛x|0≤x
4
3
≤1｝的子集，如果把b－a叫作集合｛x|a≤x≤b｝的“长度”，那么集合M∩N的“长
度”的最小值是
1215
A．B．C．D．
331212
答案C
22
例9．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x+b1x+c1>0和a2x+b2x+c2>0的解集分
abc
111
别为集合M和N，那么“==”是“M=N”的
abc
222
A．充分非必要条件.B．必要非充分条件.
C．充要条件D．既非充分又非必要条件.
答案D
22
例10．已知p：方程x＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x＋4(m－2)x＋1＝0无
实根。若p或q为真，p且q为假。求实数m的取值范围。
解：由题意p,q中有且仅有一为真，一为假，
??>0
?
p真x+x=?m<0?m>2，q真??<0?1?
12
?
x?x=1>0
?12
m≤2m>2
??
若p假q真，则?1??
13<??
综上所述：m∈(1,2]∪[3，+∞)．
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