第2章薛定谔方程§1薛定谔方程----薛定谔方程当U＝U(x)时，——定态薛定谔方程——粒子的定态波函数，描述的粒子的状态称为定态。自然条件：单值有限连续量子化归一化条件：0xU(x)=0??a势函数，阱外：§2无限深方势阱中的粒子阱内：束缚态：粒子被限制在阱中的状态理论模型：自由电子很难从金属表面逸出解为由连续性：能量本征值：每一个能级En称为一个能量本征值，n为量子数由归一化条件：能量本征函数：能量本征波函数：每个本征波函数所描述的粒子的状态对结果的讨论：零点能：概率密度：驻波能量本征态：动量：波长：o每一个能量本征值对应于物质波的一个特定波长的驻波一．梯形势§2势垒穿透0(E?U＝0,振动解）（E?U＝U0,衰减解）粒子可以进入U0>E高势垒区!波动解释：不论总能量与势垒的大小关系如何，都存在一定的反射、透射概率不确定关系解释：动能的不确定范围大于总能量差值二．势垒穿透（隧道效应）当时，势垒的宽度约50nm以上时，贯穿系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。核聚变三.扫描隧道显微镜(STM)48个Fe原子在铜表面形成r＝7.13nm“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.隧道电流I与样品和针尖间距离S的关系§4一维谐振子势函数:m—振子质量，?—固有频率，x—位移0点能:常压下，温度趋于零度附近，液态氦也不会变成固体，具有显著的零点能效应。线性谐振子波函数位置几率密度线性谐振子n=11时的几率密度分布在原点速度最大，停留时间短，粒子出现的几率小；在两端速度为零，出现的几率最大。（虚线是经典结果）随量子数n增大，量子谐振子的几率密度迅速震荡，其平均值与经典结果趋于符合。相似性逐渐增大。例1.一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间，，c为常数。求：在0～(1/3)l区间发现该粒子的几率。0lx例2.无限深势阱，由于边界条件限制，宽d必为半波长的整数倍，试利用这一关系导出能量量子化公式设归一化因子为C，则归一化的波函数为?(x)=Cexp(-?2x2/2)计算积分得Ｃ２＝?／?１／２Ｃ＝（?／?１／２）１／２则归一化的波函数为?(x)=（?／?１／２）１／２exp(-?2x2/2)例3：将波函数归一化第三章原子中的电子§1.氢原子氢原子是一个两体问题，m电子:m质子＝1:1860电子与质子在有心力场作用下运动，系统势能为：球坐标下定态薛定谔方程为：量子物理到19世纪末，经典物理已经建立了比较完整的理论体系，并取得了极大的成功。经典物理的完善力学：牛顿定律→分析力学→海王星的预言、证实电磁学：总结出了完备的麦克斯韦方程组→电磁波的预言、证实光学统一于电磁学声学统一于力学热力学：建立了系统的理论统计物理对热现象的研究已建立在微观元过程的基础之上研究对象的变化引起的的危机一系列重大实验发现无法用经典物理的理论来解释，迫使物理学家跳出传统的经典物理的理论框架，最终致了量子物理的诞生！量子理论的提出1900年,普朗克→黑体辐射→能量子爱因斯坦→光电效应→光量子（lightquantum)假说1913年,波尔→原子的量子化模型→氢原子光谱1924年,德布罗意→物质的波粒二象性1925年,薛定谔方程波恩、海森堡、狄拉克到20世纪30年代，建立了完整的量子力学理论原子、原子核、基本粒子→宇宙星体、宇宙的形成光子photon1926年刘易斯§1黑体辐射和普朗克的能量子假说一.基本概念1.热辐射定义分子的热运动使物体辐射电磁波例如：加热铁块基本性质温度??发射的能量??电磁波的短波成分?平衡热辐射物体辐射的能量等于在同一时间内所吸收的能量第一章波粒二象性能量按频率的分布随温度变化2.光谱辐射出射度—Mν3.实验表明辐射能力越强的物体，吸收单位时间内从物体单位表面发出的频率在二.黑体和黑体辐射的基本规律1.黑体能完全吸收各种波长电磁波而无反射的物体，Mν最大且只与温度有关而和材料ν附近单位频率间隔内的电磁波的能量。及表面状态无关能力也越强2.维恩设计的黑体3.维恩黑体辐射公式4.瑞利－金斯公式维恩公式瑞利－金斯公式高频符合实验结果“紫外灾难”5.普朗克公式在全波段与实验结果惊人符合！四.普朗克的能量子假说2.普朗克假定（1900年）h=6.6260755×10-34J·s——普朗克常数经典能量E=nh?n＝0,1,2,3，…振子----物体经典理论：振子的能量取“连续值”物体以能量子发射或吸收电磁辐射:1．“振子”的概念（1900年以前)量子组成腔壁的带电谐振子和腔内辐射交换能量而达到热平衡“量子”概念的提出获1918年诺贝尔物理学奖3.由普朗克公式可导出两条实验定律斯特藩—玻尔兹曼定律维恩位移定律?=5.67?10-8W/m2K4M—黑体全部辐射出射度温度为T的黑体辐射中，光谱辐射出射度最大的光的频率随温度的变化6000K4500K3000K§2光电效应一.光电效应的实验规律1．光电效应光电子光电效应2．实验装置光→金属→发射电子3.实验规律4.06.08.010.0?(1014Hz)0.01.02.0Uc(V)CsNaCaUc=K?-U0与入射光强无关光电子的最大初动能为只有当入射光频率v大于一定的频率v0时，才会产生光电效应?0称为截止频率或红限频率光电效应是瞬时发生的驰豫时间不超过10-9s二.经典物理学所遇到的困难按照光的经典电磁理论：光波的能量分布在波面上，阴极电子积光波的强度与频率无关，电子吸收的能量也与频率无关，更不存在截止频率！累能量需要一段时间，光电效应不可能瞬时发生！1.普朗克假定是不协调的只涉及发射或吸收,未涉及辐射在空间的传播。§3光的波粒二象性光量子具有“整体性”电磁辐射由以光速c运动的局限于空间某一小范围的光量子（光子）组成，?=h?2.爱因斯坦光量子假设(1905)3.对光电效应的解释逸出功A—电子逸出金属表面克服阻力所需功一.爱因斯坦的光量子论当?＜A/h时，不发生光电效应。红限频率——光电效应方程二.光的波粒二象性1.近代认为光具有波粒二象性·在有些情况下，光突出显示出波动性；·粒子不是经典粒子,波也不是经典波而在另一些情况下，则突出显示出粒子性。2.基本关系式粒子性：能量?，动量P波动性：波长?，频率?§4.康普顿散射1.康普顿研究X射线在石墨上的散射准直系统入射光?0散射光?探测器石墨散射体φ散射的X射线中有波长λ变大的现象2.康普顿的解释X射线光子与“静止”的“自由电子”弹性碰撞碰撞过程中能量与动量守恒反冲电子波长偏移－电子的康普顿波长3.康普顿散射实验的意义过程讨论：光子将一部分能量传给电子，ν变小，λ增加一部分光子波长不变，称为瑞利散射关于光子不可分的解释：两步过程证明了光的波粒二象性光子与粒子的作用过程严格遵守动量、能量守恒例1－3波长λ0＝0.01nm的X射线与静止的自由电子碰撞。在与入射方向成90°角的方向上观察时，散射X射线的波长多大？反冲电子的动能和动量各如何？1.2.3.θ§5粒子的波动性量子力学的基础就是波粒二象性思想一.德布罗意假设实物粒子也具有波动性与粒子相联系的波称为物质波实物粒子具有波动性或德布罗意波光(波)具有粒子性?1924年在博士论文中提出物质波1929年获得诺贝尔物理学奖（看书中介绍）科学史专家认为这项发现的关键在于，德布罗意波对动力学和光学的发展做了历史学和方法论的研究二．实验验证电子通过镍单晶的衍射实验1927年，戴维逊和革末dq德布罗意波长λ＝1.67×10－10m电子通过多晶薄膜的衍射实验电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验1927年汤姆逊1961年约恩逊三.应用1937年诺贝尔奖低能电子衍射→固体表面性质电子显微镜例1.4计算电子经过U1=100V和U2=10000V电压加速后的德布罗意波长λ1和λ2各是多少？解：电子动能为考虑相对论效应一般可以不考虑相对论效应例1.5m=0.01kg，v=300m/s子弹的λ？h极其微小，→宏观物体的波长小得实验难以测量→“宏观物体只表现出粒子性”一.关于粒子的波粒二象性德布罗意波的本质是什么？§6概率波与概率幅1.在经典物理中粒子：“原子性”或“整体性”，确定的位置、速度、运动轨迹波：某种实在的物理量的空间分布在作周期性的变化“干涉”、“衍射”、“偏振”“弥散性”、“可叠加性”2.电子双缝衍射现象入射强电子流入射弱电子流?12?单个电子的去向是概率性的，但在一定条件下（如双缝），又有确定的规律电子的行为也不是经典波的运动形式衍射条纹并不是由弱变强以波的形式运动，以粒子的形式到达！3.电子的波粒二象性的本质微观粒子的“原子性”与波的叠加性是统一的粒子性：只是具有“颗粒性”或“原子性”与“粒子具有确定的运动轨迹”的概念没有任何联系波动性：只是具有波动性中最本质的东西——波的叠加性不一定与某种实在的物理量在空间的波动相联系粒子的量子化必定具有波动性，波的量子化必定具有粒子性，粒子是波的量子二.概率波与概率幅明纹处：→光子、电子到达的数量多（对大量粒子）→粒子到达该处的概率大→波动性的本质：粒子在空间出现的概率性1.概率波2.波函数对机械波有（实部）德布罗意波——概率波对概率波3.概率密度概率波的强度——粒子到达该处的概率，也应与波函数中振幅平方成正比（与经典波类比）定义：时刻t，在点（x,y,z)附近单位体积内发现粒子的概率概率密度——如，在空间r处体积元ΔxΔyΔz内出现的概率为概率幅——波函数Ψ称为概率幅(概率波幅)?124.概率幅叠加（态叠加）1缝单独开：2缝单独开：应为概率幅叠加（态叠加原理）——交叉项即为干涉项1、2都开：5.波函数统计诠释涉及对世界本质的认识争论至今未息哥本哈根学派：爱因斯坦狄拉克概率波的哲学意义：在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能结果的概率。即没有严格的因果关系！波恩、海森堡粒子波的概率性就是自然界的最终本质德布罗意“上帝是不会跟宇宙玩掷骰子游戏的”最终的解释应该是某些变量的完全确定的数值演变的结果§7不确定性关系经典力学中：速度、动量可以同时精确确定量子概念下：由于概率性，粒子不再具有确定的位置xZqa位置的不确定?x＝a动量的不确定?px≥p·sinq由?=h/p得?x·?px＞h从而也就不具有确定的动量电子单缝衍射中的位置与动量：缝宽a越小，中央明纹分布越宽?xsinθ≥λ不确定关系：1927年海森堡提出不确定关系如果测量一个粒子的位置的不确定范围是?x，则同时测量其动量也有一个不确定范围?p，且满足:由不确定性关系是物体固有的性质，自然界的根本属性1932年获诺贝尔奖例1.8原子线度为10－10m，求原子中电子速度的不确定量。例1.10求线性谐振子的最小可能能量（0点能）例1.9激光λ＝632.8nm，谱线宽度Δλ＝10－9nm，求沿x方向传播时，它的x坐标的不确定量。
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