§3.1函数与方程题型1.判断函数或方程在给定区间上有没有零点（根）问题
本节教材中知识点
1.函数的零点：对于函数，称使的实数叫函数的零点.（即使的点）
2.零点存在定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的，并且有，则函数在区间内必有零点，即存在，使，这个就是的根.
3.二分法：对于在区间上连续不断的且使的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法. 4.用二分法求函数零点近似值的步骤
Ⅰ.确定区间，验证
Ⅱ.求区间的中点，计算
①若，则就是函数的零点；
②若，则令，此时零点在内；
③若，则令，此时零点在内；
④判断若小于题中给定的精确度，则得到零点的近似值为（或）否则重复②～④.
题型讲解 同类练习 题型1.判断函数或方程在给定区间上有没有零点（
根）问题
1.已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表
1
2
3
4
5
6
10
2.1
-1.2
3
-3.5
-0.1
则函数在区间上的零点至少有几个（）
解：根据，连续函数在函数值正、负号改变的区间内至少有一个零点.
∴该函数有3个零点，答案.
2.判断函数在内是否有零点
解：
∵
∴
∴
∴原方程在有零点.
3.判断区间内是否有零点.
解：设
∵
∴
∴原方程在有实数解.
注：满足(在内至少有一个零点。但要注意上述条件不是充要条件，即在内有零点，但可能 题型1.判断函数或方程在给定区间上有没有零点（
根）问题
1.判断在内是否有零点.
解：
∵
∴
∴原方程在有实数解.
2.判断是否有实数解
解：
设
∵
∴原方程在有实数解.
3.的零点所在的大致区间是（）
和
解：
∵
∴只需比较3和的大小
显然3∴
∴
∴根必定属于区间，答案. §3.1函数与方程题型1.判断函数或方程在给定区间上有没有零点（根）问题
题型讲解 同类练习 思想方法：函数的零点问题常见有两种基础题型：
①有没有零点：问函数或方程在给定的区间上有没有零点问题，此类题一般采取将区间端点代入验证正负情况。此时不论给的是函数或方程均要转化构造一个函数，以便代入端点值；
②有几个零点：问函数或方程的零点（根）的个数问题，这样的题多数没有给定区间，此类题一般要画函数图象，用图象的交点情况判断零点或根的个数。此时不论给的是函数或方程，均转化构造为两个函数，然后在同一坐标系内画两个函数的图象。
4.方程在上的根必定属于区间（）
解：
设函数
∴只需比较与的大小
显然∴
∴
∴根必定属于区间，答案.
5.要使函数的零点在如下区间：
内，求的值.
解：
∵
∴的零点在内
∵
∴.
6.判断是否有零点.
解：
∵
∴
∴
∴原方程在有零点. 4.方程必有一个根的区间是（）
解：
设函数
∵
只需比较和的大小
即只需比较和的大小
即只需比较和的大小
即只需比较和的大小
显然
∴
∴答案为.
5.下列函数在区间上有零点的是（）
.
.
.
.
解：
由
∵
且
∴在上无零点
由
∵
∴在不一定有零点
由
∵
∴在不一定有零点
由
∵
∴在一定有零点
∴. §3.1函数与方程题型2.判断函数或方程有几个零点（根）的问题
题型讲解 同类练习 题型2.判断函数或方程有几个零点（根）的问题
下面方程是否存在实数解（或函数是否存在零点），若存在，请给出零点的个数
1.
解：
设，
画出上面两个函数的图象知
两个图象有一个交点
故原方程有一个根.
2.
解：设，
画出上面两个函数的图象知
两个图象有两个交点
故原方程有两个根.
3.
解：
设，
画出上面两个函数的图像知
两个图象有两个交点
故原方程有两个根.
4.
解：
设，
画出上面两个函数的图象知
两个图象有两个交点
故原方程有两个根.
5.
解：∵
画出上面函数的图象知
图像与轴有三个交点
故原函数有三个零点.
6.
解：
设，
画出上面两个函数的图象知
两个图象有两个交点
故原函数有两个零点.
思想方法：判断一个函数或方程的零点（根）的个数，一般通法是把已知函数或方程转化为两个函数，运用数形结合思想，画出这两个函数的图象，其交点数即是函数的零点数（或方程的根的个数）。对于特殊问题，可能用特法来解，不在此列。 题型2.判断函数或方程有几个零点（根）的问题
下面方程是否存在实数解（或函数是否存在零点），若存在，请给出零点的个数
1.判断有几个实数解
2.判断方程的零点的个数
3.判断存在几个实数解
4.判断函数的零点的个数
5.判断的零点的个数
6.判断存在几个实数解，
7.判断函数的图象与轴交点的个数
1.解：
设，
画出上面两个函数的图象知
两个图象有一个交点，故原方程有一个根.
2.解：
设，
画出上面两个函数的图象知
两个图象有一个交点，故原方程有一个根.
3.解：
设，
画出上面两个函数的图象知
两个图象有三个交点，故原方程有三个根.
4.解：
画出的图象知
图象与轴有四个交点，故函数有四个零点.
5.解：
设，
画出上面两个函数的图象知
两个图像有三个交点，故函数有三个零点.
6.解：
设
画出上面两个函数的图象知
两个图象有两个交点，故原方程有两个根.
7.解：
的根的个数等价于
及的根的并集的个数
易知的两根为
无根
∴的图象与轴交点的个数为两个. §3.1函数与方程题型3.函数零点（根）的分布及其它问题
题型讲解 同类练习 题型3.函数零点（根）的分布及其它问题
1.关于的方程的根一个根比1大，另一个根比1小，求的取值范围.
解：
由一元二次函数根的分布理论
由图象知，必有
∴
解得.
2.函数有两个零点且
则（）
解：
∵的零点为
是的图象向下平移1个单位
∴的零点应是一个大于5，另一个小于2
故选.
3.若函数在内恰只有一个零点，求的取值范围.
解：
若，与题意矛盾，舍
若，
当时，此时
函数的零点为，与题意矛盾，舍
当时，
∵函数在内恰只有一个零点
由零点理论知必有
∴
∴.
4.若方程有两个解，求的范围.
解：设，
当时，
画出两个函数的图象
知两个图象有两个交点
∴适合题意
当时，
画出两个函数的图象
知两个图象有一个交点
∴舍
综上. 题型3.函数零点（根）的分布及其它问题
1.若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围.
解：函数在某区间内恰只有一个零点
由零点理论知必有
∴
解得.
2.已知函数是偶函数，且恰有5个不等实根，求所有根的和.
解：
∵偶函数的根必关于点对称
而该偶函数有5个根
故必有一个根为0，其余4个根之和为0
∴所有根的和为0.
3.若函数，判断函数
有无零点，说明理由.
解：
∵
令
∴
∴
∵
且在单调增加
∴在无零点
∴在无零点.
4.方程在内有唯一解，求的取值范围.
解：
∵
∴
∴
∴
设
由在内有唯一解 §3.1函数与方程题型3.函数零点（根）的分布及其它问题
题型讲解 同类练习 5.关于的方程的所有解都大于1，求的取值范围.
解;
∵
∴
令
∴
∵的所有解都大于1
∴的所有解都大于0由的图象知
须满足
∴
解得.
6.若在有零点，求的取值范围.
解：
①当时，
在有零点
②当时，
设
若时，两曲线图象如图，解两曲线交点
∴
若即，两曲线在必有交点
若时图象如图，
两曲线在必有交点
综上.
思想方法:分类讨论、数形结合.本题含有参数，将函数化为两个函数，讨论参数，结合题意分情况作图研究.
∴，解得
又∵在内成立
∴，综上：.
5.方程有四个根，求的取值范围.
解：由
∴
设
画出上面两个函数图象得
∴.
6.奇函数与函数的图象至少有一个交点，求的取值范围.
解：∵是奇函数∴必有
∴
∴
令
∴，
∴与至少有一个交点
即至少有一个根
∴至少有一个根
∴
∴或
7.若函数满足，当
时，，若在区间上
有两个零点，求实数的取值范围.
解：设∴
∴
∴
由有两个零点
分别画出和图象得. §2.3幂函数题型4.二分法及方程根的近似值问题
题型讲解 同类练习 题型4.二分法及方程根的近似值问题
1.下列函数图象中，不能用二分法求零点的是
①
②
②
解：
①能用二分法求零点，因为二分法只能求变号零点，即零点的附近左右函数值须异号的.
②不能用二分法求零点，因为零点附近的左右函数值不是异号的.
题型4.二分法及方程根的近似值问题
1.下列函数不能用二分法求零点的是
①
②
解：
①不能用二分法求零点，因为二分法只能求变号零点，即零点的附近左右函数值须异号的.
②能用二分法求零点，因为零点附近的左右函数值是异号的.
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解题套路：化为同底是必须的.本题化为两数之差，若不化也行，自己试试
解题套路：依零点存在定理，将区间的端点值代入函数式验证和的符号情况即可
解题套路：因为端点值0不在定义域内，故代入0.1验证即可
解题套路：如果代入端点值无法验证的正负，故采赋值法
解题套路：将方程转化为函数形式，以便代入端点值验证
解题套路：对数与数比较大小要把数化为同底对数方可比较大小，不可猜测
思想方法：是一元二次吗，未必，故须讨论
思想方法：是一元二次吗，未必，故须讨论
思想方法：是一元二次，但不知几个根，继续讨论
思想方法：不知大于1还是小于1，无法画图，讨论
思想方法：对数无乘、除法，必须变形方可运算
解题套路：对是否有根问题，不论给出的是什么形式，均要构造一个函数，目的是利用定义验证正负
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