-1-
《四元玉鑒》之“撒星形”細說
上傳書齋：瀟湘館112
何世強
HoSaiKeung
提要：《四元玉鑒》有所謂“撒星形”之說，此乃高階等差級數之一種，
本文詳述其形成法及其求和法。清?羅士琳著《四元玉鑑細草》三
卷，其中一問涉及撒星形，今詳述其問並解之。《四元玉鑑細草》
詳述其義及算法，認為“撒星形”乃“落一形”之上貴而下賤之物
價總數。
關鍵詞：四元玉鑒、四元玉鑑細草、朱世傑、羅士琳、垛積術、撒星形、
落一形
第1節《四元玉鑒》簡介
元?朱世傑著《四元玉鑒》，其中記有類似現代數學之高階等差級數求和法。
朱世傑（1249年－1314年），字漢卿，號松庭，燕山人。
《四元玉鑒》分卷首，上卷，中卷，下卷，共24門，288問，包括天元術
232問，二元術36問，三元術13問，四元術7問。
1837年﹝道光十七年﹞，清?羅士琳著《四元玉鑑細草》﹝簡稱《細草》﹞
為三卷，詳述各題算法。
《四元玉鑒》有所謂“撒星形”之說，此亦高階等差級數之一種，本文詳述
其形成法及其求和法。本文乃筆者另文〈《四元玉鑒》之三角垛﹝落一形﹞細說〉
之補充。
《細草》詳述“撒星形”之意義，認為“撒星形”乃落一形之“上貴而下
-2-
賤”之物價總數，見下節。
第2節落一形或三角垛之形成法及上貴下賤之物價
總和
若要談《四元玉鑒》之“撒星形”，必須先談“落一形”，以下為“落一形”
之形成法。
“落一形”即三角垛，最下一層最大之數﹝或最後加之數﹞稱為“底子”；
三角垛乃指物件之堆積，物件排列成三角形，但其數從下至上層層遞減，為方便
說明，最上層為第一層，物數1，第二層物數3，第三層物數6，…第n層為
最下層，最大之數為n，即其“底子”為n，物數為21n(n+1)；所形成之堆
積物狀稱為“垛”，或稱為“堆垛”。“三角垛”乃指每層皆呈三角形之堆垛，
堆垛物之總數稱為“積”或“垛積”。以下為“落一形”名稱之來源，《細草》
曰：
自下而上以一數遞減，故曰“落一形”。
更清晰而言之，自下至上遞減最大之數，或曰從上至下增一數，所增之數為
自然數數序。
“撒星形”積數即“落一形”之物價總數，但須符合以下條件：
若落一形有n層，第一層﹝最高層﹞物價為n單位，第二層物價為n–1
單位，第三層物價為n–2單位，…第n層﹝底層﹞物價為1單位。
《細草》曰：
以茭草直錢喻之，則上貴而下賤，設三角茭草一所，底子一十三束，只云最
上一束直錢一十三，次下層層每束減一文。
以上引文之“直”，即“值”。清朝貨幣單位相信為“文”。
以下為落一形及物價圖：
第一層﹝袤或闊1，高1﹞
-3-
●
底子：1；物數：?
?
1
1r
r=1。物價：1×n=n。
第二層﹝袤或闊2，高2﹞
●
●●
底子：2；物數：?
?
2
1r
r=1+2=3。物價：3×(n–1)=3(n–1)。
第三層﹝袤或闊3，高3﹞
●
●●
●●●
底子：3；物數：?
?
3
1r
r=1+2+3=6。物價：6×(n–2)=6(n–2)。
第四層﹝袤或闊4，高4﹞
●
●●
●●●
●●●●
底子：4；物數：?
?
4
1r
r=1+2+3+4=10。
物價：10×(n–3)=10(n–3)。
第五層﹝袤或闊5，高5﹞
●
●●
●●●
●●●●
●●●●●
-4-
底子：5；物數：?
?
5
1r
r=1+2+3+4+5=15。
物價：15×(n–4)=10(n–4)。
………
第n層﹝袤或闊n，高n﹞
●
●●
●●●
●●●●
●●●●●
………………
●…●…●…●…●…●…●
底子：n；物數：?
?
n
r
r
1
=1+2+3+4+…n=21n(n+1)。
物價：21n(n+1)×1=21n(n+1)。
《細草》之所謂高即層數。將以上各圖重疊，即可得一三角垛或落一形。
以下為落一形數表：
層數rr+1r(r+1)21r(r+1)
11221
22363
334126
4452010
5563015
……………
nnn+1n(n+1)21n(n+1)
落一形之總物數﹝垛積﹞等於各層物數之和：
-5-
即?
?
1
1r
r+?
?
2
1r
r+?
?
3
1r
r+…+?
?
n
r
r
1
=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+4+…n)
=1+3+6+…21n(n+1)
=?
?
?
n
r
rr
1
)1(2
=?
?
n
r
r
1
2
2
+21?
?
n
r
r
1
=21×61n(n+1)(2n+1)+41n(n+1)
=21n(n+1)[61(2n+1)+21]
=21n(n+1)31(n+2)
=
!31
n(n+1)(n+2)
=61n(n+1)(n+2)。
上式為n層三角垛之積，亦即《細草》所用之式。
上式用以下兩式之結果：
??nrr1=21n(n+1)，及??nrr12=61n(n+1)(2n+1)。
至於物價總數則依下式算出：
=n+3(n–1)+6(n–2)+…21n(n+1)
=)1()1(
21rnr
rn
r
????
?
[第r層之物價為n+1–r]
=]
2
)1(
22[1
23rnnrrn
r
?????
?
-6-
=
2
3
1
rm
r
?
?
?+n?
?
n
r
r
1
2
2
+21(n+1)?
?
n
r
r
1
=–21×41n2(n+1)2+2n×61n(n+1)(2n+1)+41n(n+1)2
=41n(n+1)[–21(n2+n)+31(2n2+n)+(n+1)]
=241n(n+1)[–3n2–3n+4n2+2n+6n+6]
=241n(n+1)(n2+5n+6)
=241n(n+1)(n+2)(n+3)。
若依以上條件所云，底子為n之落一形物價總和為
241n(n+1)(n+2)(n+3)。
宜留意此結果與下節之撒星形積配合。
第3節撒星形之形成法
設一撒星形之通項為61n(n+1)(n+2)，此通項其實為n層三角垛之積，見
上節。
第一層：n=1，即61×1(1+1)(1+2)=1；
第二層：n=2，即61×2(2+1)(2+2)=4；
第三層：n=3，即61×3(3+1)(3+2)=10；
第四層：n=4，即61×4(4+1)(4+2)=20；
-7-
第五層：n=5，即61×5(5+1)(5+2)=35；
…
第r層數為61r(r+1)(r+2)。
以上各層之和為
1+4+10+20+35+…+61r(r+1)(r+2)
=?
?
n
r1!3
1r(r+1)(r+2)
=
!31??
n
r1
(r3+3r2+2r)
=
!31
[41n2(n+1)2+3×61n(n+1)(2n+1)+n(n+1)]
=
!31
n(n+1)[41n(n+1)+21(2n+1)+1]
=
!31
n(n+1)41(n2+5n+6)
=
!41
n(n+1)(n+2)(n+3)。
或以數學歸納法証明：
設?
?
n
r1!3
1r(r+1)(r+2)=!41n(n+1)(n+2)(n+3)，
則??
?
1
1
n
r!3
1r(r+1)(r+2)
=
!41
n(n+1)(n+2)(n+3)+
!31
(n+1)(n+2)(n+3)
=
!31
(n+1)(n+2)(n+3)[41n+1]
=
!31
(n+1)(n+2)(n+3)41(n+4)
-8-
=
!41
(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
=
!41
(n+1)[(n+1)+1][(n+1)+2][(n+1)+3]。
故答案正確。以此法証明較簡單。上式即
!41
n(n+1)(n+2)(n+3)之n以
n+1取代，此乃數學歸納法之特色。
上式即為撒星形之積。注意此數與底子為n之落一形物價總和相同﹝略去
單位﹞，可參閱上節。
《四元玉鑑細草?茭草形段七問》有以下一問：
今有茭草一千八百二十束，欲令撒星形埵之，問底子幾何。答曰：一十三束。
題目問若將1820束茭草堆積成撒星形，試問底層最大數有茭草多少束？
“撒星形”又名“三角底子更落一形”。談到撒星形之幾何圖，看來難以尋
求其排列規律，上文乃級數之表示法，依通項公式算出各項之數，而無理會“如
何規律堆疊一撒星形”。
《細草》以另一種形式表達此規律：
1.特定數目之茭草或其他實物堆疊成落一形，例如n層；
2.第一層處於最高之物最貴，值n元﹝此價等於總層數。於清代則值n
文﹞，每降一層每物之價則減1元，即第二層每物之價為n–1元，
第三層每物之價為n–2元，如此類推，最下層每物之價為1元。此
落一形積之總物價配合撒星形之積。
此表達法新穎合理，朱世傑稱之為“撒星形”大概指不易看出其規律，如星
之撒天而亂雜無章也。稱之為“三角底子更落一形”則較易理解，蓋以物價言
之，“撒星形”之數其實乃落一形﹝最大數目之遞減﹞再作落一形﹝物價之遞
減﹞所得之數。
《四元玉鑑細草》有以下撒星形一圖：
-9-
今將上圖改列成下表﹝所用之名詞依上圖﹞：
層數r茭草積21r(r+1)三角積值錢數乘得數
1111313
2231236
3361166
441010100
55159135
66218168
77287196
88366216
99455225
1010554220
1111663198
1212782156
131391191
和455---1820
-10-
從上表可知答案為13束，此即撒星形底子。以下為現代數學解法：
今設底子為x，依以上公式及題意可得以下之一元四次方程式：
!41
x(x+1)(x+2)(x+3)=1820
241(x
4+6x3+11x2+6x)=1820
x4+6x3+11x2+6x=43680
x4+6x3+11x2+6x–43680=0，分解因式得：
(x–13)(x3+19x2+258x+3360)=0
故x–13=0，即x=13，即底子為13，從上表可知答案正確。本題不取複
數根。依本題而言，分解因式非一合理之法，蓋若已知(x–13)為因子，即已
知13為答案。
以下為《細草》之天元術籌算式﹝圖旁之x乃現代算式﹞：
原文：立天元一為撒星底子，OI，O為常數，I表一次冪之x，係數1。
即設x為三角垛底之最大數。
原文：以天元加一，即x+1。乘之得OII，O為常數，即x(x+1)=x2+x，
常數為0。
-11-
原文：又以天元加二，即x+2，乘之得OIIIIII，即
(x2+x)(x+2)=x3+3x2+2x，常數亦為0。
原文：又以天元加三，IIII即x+3。乘之得下式：
即(x+3)(x3+3x2+2x)=x4+x3+11x2+6x。此即為“二十四段撒星形茭草
積”，“二十四段”即24倍。“寄左”即此式置於左方。
-12-
原文：乃置茭草一千八百二十束以分母二十四乘之得四萬三千六百八十，即
1820×24=43680，
x4+x3+11x2+6x=43680。與左相消得：x4+x3+11x2+6x–43680=0，
“與左相消得”即左右兩方減43680，上圖之一小撇表示負數。
最後“為立方開之”即“從法開立方”﹝解一元三次方程式﹞可得13，即
為撒星形底子。
《四元玉鑑細草》尚有以下之還原式：
今有茭草一垛，令撒星形埵之，只云底子一十三束，問積幾何。答曰：一千
八百二十束。
術曰：置撒星底子加一乘之，又以底子加二乘之，又以底子加三乘之，為實，
二十四而一。
底子即上文之n，而n=13，故撒星形積為﹝以下為《細草》之算法﹞：
241n(n+1)(n+2)(n+3)
=241×13(13+1)(13+2)(13+3)
=241×13×14×15×16
=241×2730×16
=241×43680
=1820。
故撒星形茭草積合問。
|
|
