Gothedistance
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高考数学解题方法
在昔书院，俱有学规，所以示学者立心之本，用力之
要。言下便可持循，终身以为轨范。非如法令科条之为用，
止于制裁而已。乃所以弼成其德，使迁善改过而不自知。
乐循而安处，非特免于形著之过，将令身心调熟，性德自
昭，更无走作。
编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在
红尘浪荡无涯。写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头
了断了青春。如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。
目录
高考数学解题方法......................................................................................................1
解析几何运算优化——双根法...................................................................................2
平面向量解题技巧......................................................................................................3
ALG不等式解高考导数压轴题...............................................................................5
拉格朗日乘数法解高考多元最值问题.......................................................................6
利用斜坐标系求解向量问题......................................................................................7
复合函数问题..............................................................................................................9
抛物线的切线问题....................................................................................................11
洛必达法则解导数压轴题........................................................................................12
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解析几何运算优化——双根法
二次函数2(0)yaxbxca????可表示为两根式12()()yaxxxx???
(0)a?，其中12,xx是方程20axbxc???的两根．
【例题1】
（2012重庆）如图，设椭圆的中心在原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，
左右焦点分别为12,FF，线段12,OFOF的中点分别为12,BB，且12ABB是面
积为4的直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过1B作直线l交椭圆于,PQ两点，使22PBQB?，求直线l的方程．
【变式1】
（2013上海春季）已知椭圆C的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)FF?，短轴的两
个端点分别为12,BB．
（Ⅰ）若112FBB为等边三角形，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C的短轴长为2，过点2F的直线l与C相交于,PQ两点，且
11FPFQ?，求直线l的方程．
【例题2】
（2014辽宁）圆224xy??的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角
形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图）．双曲线22
1:1xyCab??
过点P
且离心率为3．
（Ⅰ）求1C的方程；
（Ⅱ）椭圆2C过点P且与1C有相同的焦点，直线l过2C的右焦点与2C交于
,AB两点．若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
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【变式2】
（2015福建）已知椭圆22:1(0)xyEabab????过点(0,2)，且离心率为
22．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线1()xmymR???交椭圆E于,AB两点，判断点9(,0)4G?与以
线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
平面向量解题技巧
向量是既有大小又有方向的量，其本质揭示了向量具有“数”和“形”的
双重特征．从代数角度看，由于借助数量积公式可以将向量问题实数化，所以
向量问题可利用数的性质加以处理；从几何的角度看，由于向量的模、向量的
线性运算，向量的平行与垂直等都具有明显几何意义，所有向量可以利用数形
结合的思想加以处理．
结论1：若,,ABC三点在直线l上，点P不在直线l上，则存在R??，
使得(1)PCPAPB?????．（这里向量,PAPB前的系数之和为1）
特殊情况1：若点C为线段AB的中点，则1()2PCPAPB??．
特殊情况2：若点C在线段AB上，,ACmCBn??，则
nmPCPAPBmnmn????．
【例题1】
已知等差数列{}na的前n项和为nS．若1200OBaOAaOC??，且,,ABC三
点共线（该直线不过点O），则200S?．
【变式1】
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4
（1）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO???，
则??．
（2）ABC中，点D在AB上，CD平分ACB?，若,CBaCAb??，||1a?，
||2b?，则CD?（）
12.33Aab?21.33Bab?34.55Cab?43.55Dab?
（3）在平行四边形ABCD中，,EF分别是边,CDBC的中点，若ACAE???
AF?(,)R???，则????．
结论2：在ABC中，若D为BC的中点，则21||||4ABACADCB??．
【例题2】
在RtABC中，2,,CACBMN??是斜边AB上两个动点，且2MN?，
则CMCN的最小值为．
【变式2】
（1）在ABC中，M是BC的中点，3,10AMBC??，则ABAC?．
（2）如图，已知ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧
APB上，则PCPD的取值范围是．
（3）已知点P是棱长为1的正方体1111ABCDABCD?的底面1111ABCD上一点
（P仅在正方形1111ABCD内及其边界上运动），则PAPC的取值范围
是．
．．．．．．
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ALG不等式解高考导数压轴题
一．ALG不等式
记1221
1221,,2lnlnxxxxALGxxxx??????
，则,,ALG分别为正数12,xx
的算术平均数、对数平均数、几何平均数．
对数形式的ALG不等式：1221
12212lnlnxxxxxxxx?????
．
指数形式的ALG不等式：1221
12
lnlnlnlnlnln
212lnln
xxxxxxeeeeee
xx?????
，也即
是2()2abbabaeeeeeabba???????．
二．典例精析
【例题1】
（1）（2015重庆巴蜀中学）已知函数()xfxeax??有两个零点12xx?，则下
列说法错误的是（）
.Aae?12.2Bxx??12.1Cxx?.D有极小值点0x，且1202xxx??
（2）（2012辽宁）设()ln(1)1fxxxaxb??????（,abR?，,ab是常
数），曲线()yfx?与直线32yx?在(0,0)点相切．
（Ⅰ）求,ab的值；
（Ⅱ）证明：当02x??时，9()6xfxx??．
【变式1】
（1）（2014天津）设函数()(),xfxxaeaRxR????．已知函数()yf?有
两个零点12,xx，且12xx?．求证：12122,01xxxx????．
（2）（2010课标）设函数2()1xfxexax????．若当0x?时，()0fx?，
求a的取值范围．
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（3）（2013大纲）已知函数(1)()ln(1)1xxfxxx??????．若0x?时，()0fx?，
求?的最小值．
拉格朗日乘数法解高考多元最值问题
一．拉格朗日乘数法
求在约束条件(,,)0
(,,)0GxyzHxyz?????
下，目标函数(,,)fxyz的极值，构造拉格
朗日函数：(,,)(,,)(,,)(,,)LxyzfxyzGxyzHxyz?????，可由0
0
0
(,,)0
(,,)0
x
y
z
L
L
L
Gxyz
Hxyz
??
??
??
??
??
?
???
，解得(,,)xyz为可能的极值点．其中,??称为拉格朗日乘数，
,,xyzLLL分别为以,,xyz为主元的导数．
特殊情况：求在约束条件(,,)0Fxyz?下(,,)fxyz的最值，只需构造拉
格朗日函数(,,)(,,)(,,)LxyzfxyzFxyz???即可．
二．典例精析
【例题1】
（2011浙江）已知2241xyxy???，则2xy?的最大值为．
【变式1】
（1）已知,xyR?，且223xxyy???，则22xxyy??的最大值和最小值分
别为．
（2）（2014辽宁）对于0c?，当非零实数,ab满足224240aabbc????且
使|2|ab?最大时，345abc??的最小值为．
【例题2】
（2013湖南）设,,abcR?，且满足236abc???，则22249abc??的最小
值为．
【变式2】
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7
（2014浙江）已知实数,,abc满足2220,1abcabc??????，则a的最大
值是．
利用斜坐标系求解向量问题
如图，以平面内任意两个不共线的向量,OAOB所在的直线为,xy轴，建
立斜坐标系xOy，O为坐标原点，由平面向量基本定理，对于该平面内的任意
一个向量OP，存在唯一的有序实数对(,)xy，使得OPxOAyOB??．我们
把有序实数对(,)xy定义为向量OP在基底,OAOB下的坐标，即(,)Pxy．
性质1：点,,OAB在斜坐标系xOy下的坐标分别为(0,0),(1,0),(0,1)．
性质2（定比分点）：如图，在斜坐标系xOy中，已知1122(,),(,)MxyNxy，
点(,)Pxy在直线MN上，且满足MPPN??，则1212,11xxyyxy??????．
性质3：设直线l与,xy轴分别交于(,0),(0,)MmNn两点，则l的截距式方程
为1xymn??（其中,mn分别为l在,xy轴上的截距，0mn?）．
性质4：与直线:1xylmn??平行的直线方程为xykmn??（k为参数）．
性质5：过原点设O及定点000(,)(0)Qxyx?的直线方程为0
0
yyxx?．
性质6：设直线:1xylmn??，若点(,)Pxy与原点O在直线l同侧，则1xymn??；
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若点(,)Pxy与原点O在直线l异侧，则1xymn??．
性质7：设点,MN关于原点O的对称点分别为'''',MN，则点(,)Pxy在平行
四边形''''MNMN区域内的充要条件是||||1xymn??，点(,)Pxy在平行四边形
''''MNMN区域外的充要条件是||||1xymn??．
【例题1】
（2013安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，,AB满足||||OAOB??
2OAOB?，则点集{|,||||1,,}POPOAOBR???????????所表示的
区域面积是（）
.22A.23B.42C.43D
【变式1】
（1）（2007江西）如图，在ABC中，O是BC中点，过点O的直线分别交
直线,ABAC于,MN两点，若,ABmAMACnAN??，则mn??．
（2）如图，在ABC中，点,DE分别在,ABBC上，满足2,ADDBBE??
2EC．设,PAECDAPABAC?????，则(,)??（）
24.(,)77A12.(,)77B11.(,)42C48.(,)1515D
【例题2】
（2009安徽）给定两个长度为1的平面向量,OAOB，它们的夹角为120，点C
在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OCxOAyOB??，其中,xyR?，则
xy?的最大值是．
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【变式2】
如图，四边形OABC是边长为1的正方形，3OD?，点P为BCD内（含边
界）的动点，设(,)OPOCODR???????，则z????的最大值
为．
复合函数问题
复合函数的定义：如果y是u的函数，u是x的函数，即()yfu?，
()ugx?，那么y关于x的函数(())yfgx?叫做()yfu?和()ugx?的复
合函数．其中()yfu?叫做外函数，()ugx?叫做内函数，u是中间变量．
注意：①复合函数的定义域为(())yfgx?中的x的取值范围；②x为自
变量，y为函数值，中间变量u的取值范围是()gx的值域；③(())yfgx?与
(())ygfx?表示不同的复合函数．
1．求复合函数的定义域
①已知函数()fx的定义域为[,]ab，则函数(())fgx的定义域为不等式
()agxb??中x的取值范围．
②已知函数(())fgx的定义域为[,]ab，则()fx的定义域为()gx在[,]ab
上的值域．
2．求复合函数的解析式
①已知()fx求复合函数(())fgx的解析式，直接把()fx中的x换成
()gx即可．
②已知(())fgx求()fx的解析式常用方法：换元法、配凑法．
换元法：先设()gxt?，从中解出x（用t表示x），再把关于t的式子代
入(())fgx中消去x得到()ft，最后将()ft改成()fx．
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配凑法：将(())fgx中关于变量x的表达式凑成()gx整体的表达式，再
把()gx改成x而得到()fx．
【例题1】
（1）若函数()fx的定义域为[0,1]，则(12)fx?的定义域为．
（2）若(21)fx?的定义域为[1,1]?，则()fx的定义域为．
（3）已知(3)fx?的定义域为[4,5)?，则(23)fx?的定义为．
【例题2】
（1）设函数()23,()35fxxgxx????，则
(())fgx?．(())gfx?．
（2）已知2(21)2fxxx???，则(221)f??．
（3）已知2()1fxx??，则(1)fx??．已知2(1)22fxxx????，
则()fx?．
（4）已知1(1)fxxx???，则()fx?．2
211()fxxxx???
，则
(1)fx??．
3．复合函数的单调性
“同增异减”．
【例题3】
（1）已知函数2251()3xxy???，则其单调区间为；其值域为．
（2）函数2()54fxxx???的单调区间为；值域为．
【变式3】
（1）函数2121()()2xxfx???的单调区间为；值域为．
4．复合函数的奇偶性
“一偶则偶，同奇则奇”．
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抛物线的切线问题
已知抛物线22(0)ypxp??及点00(,)Pxy，00:()lyypxx??．①若P
在抛物线上，则l表示过点P的抛物线的切线方程；②若P在抛物线外，则l表
示过点P向抛物线所引两切线所得的切点弦方程；③若P在抛物线内，则l表
示以过点P的弦的两端点为切点的两切线所成交点的轨迹方程．
一．焦点弦与切线
1．过抛物线焦点弦的两个端点作抛物线的切线，两切线的交点在准线上；
反之，过抛物线准线上任意一点作抛物线的两条切线，则切点弦必过焦点．
2．过抛物线准线上任意一点向抛物线所引的两条切线互相垂直；反之，
抛物线互相垂直的两条切线的交点在准线上．
3．抛物线焦点弦两端点的切线的交点与弦中点的连线平行于对称轴．
4．AB是抛物线22(0)ypxp??的焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物
线的准线，11,AAlBBl??，过,AB的切线交于点P，PQ与抛物线交于点M，
则：①PAPB?；②PFAB?；③点M平分PQ；④PA平分1AAB?，PB
平分1BBA?；⑤2||||FAFBPF?；⑥2minPABSp?．
【例题1】
（2006全国）已知抛物线yx42?的焦点为,,FAB是抛物线上的两动点，且
FBAF??(0)??．过,AB两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明：FMAB为定值；
（Ⅱ）设ABM?的面积为S，写出()Sf??的表达式，并求S的最小值．
【变式1】
（2006重庆）如图，对每个正整数??,,nnnnAxy是抛物线yx42?上的点，过
焦点F的直线nFA交抛物线于另一点??nnntsB,．
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（Ⅰ）试证：4(1)nnxsn???；
（Ⅱ）取nnx2?，并nC为抛物线上分别以nA与nB为切点的两条切线的交点，
求证：112||||||221(1)nnnFCFCFCn?????????．
二．非焦点弦与切线
1．当弦AB不过焦点，切线交于点P时：①1212,
22PPyyyyxyp???
；②
点M平分PQ；③PA平分1AAB?，PB平分1BBA?；④PFAPFB???；
⑤2||||FAFBPF?．
2．若抛物线上任意一点处的切线与对称轴所在直线交于一点，则此点与
切点到焦点的距离相等．
【例题2】
（2015重庆巴蜀中学．16）过点??1,22M作直线交抛物线??220xpyp??
于A、B且M为AB中点，过A、B分别作抛物线切线，两切线交于点N，
若N在直线2yp??上，则p?．
【变式2】
已知抛物线C的方程为yx42?，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两
点,AB．
（Ⅰ）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：DFAF?；
（Ⅱ）若直线m过焦点F，分别过点,AB的两条切线相交于点M，求证：
AMBM?，且点M在直线l上．
洛必达法则解导数压轴题
一．洛必达法则
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1．洛必达法则：
（1）若函数()fx和()gx满足下列条件：①lim()0,lim()0
xaxafxgx????
；
②在点a的去心邻域内，()fx和()gx可导且''()0gx?；③''
''()lim()xafxlgx??
，则
()lim()
xa
fxgx
??
''
''()lim()xafxlgx??
．
（2）若函数()fx和()gx满足下列条件：①lim(),lim()
xaxafxgx??????
；
②在点a的去心邻域内，()fx和()gx可导且''()0gx?；③''
''()lim()xafxlgx??
，则
()lim()
xa
fxgx
??
''
''()lim()xafxlgx??
．
2．使用条件：
（1）洛必达法则可以处理0,0??等未定型的极限；
（2）洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
二．典例精析
【例题】
（2011全国）已知函数ln()1axbfxxx???，曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切
线方程为230xy???．
（Ⅰ）求,ab的值；
（Ⅱ）如果当0x?，且1x?时，ln()1xkfxxx???，求k的取值范围．
【变式】
（1）（2010全国）设函数2()1xfxexax????．
（Ⅰ）若0a?，求()fx的单调区间；
（Ⅱ）若当0x?时()0fx?，求a的取值范围．
（2）（2010湖北）已知??(0)bfxaxcax????的图象在点(1,(1))f处的切
线方程为1yx??．
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（Ⅰ）用a表示,bc；
（Ⅱ）若()lnfxx?在[1,)??上恒成立，求a的范围．
（3）（2015重庆巴蜀中学．22）已知????2212xxfxetet????．
（Ⅰ）若????1gtf?，讨论关于t的函数??ygt?在????0,0tmm??上的
最小值；
（Ⅱ）若对任意的??,0,tRx????都有??2cosfxaxx???，求a的范围．
导数法证明函数不等式
一．
min()()[()()]0fxgxfxgx????
二．
若minmax()()()()fxgxfxgx???
【例题2】
（2015万州二中．21）函数ln()=axfxx?，若曲线()yfx?在点(,())efe处
的切线与直线20exye???垂直（其中e为自然对数的底数）．
（1）求()fx的单调区间和极值。
（2）求证：当1x?时，1()2
1(1)(1)
x
xfxeexxe
??
???
．
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新定义问题
（2015万州二中．16）定义函数(){{}}fxxx?，其中{}x表示不小于x的最
小整数，如{1.5}2,{2.5}2????，当(0,],xnnN???时，函数()fx的值域
为nA，记集合nA中元素的个数为na，则
12
111
naaa????
．
．．．．．
向量与三角形的四心问题
向量与三角形的四心（内心、外心、重心、垂心）有关的问题是高考常考
题型，此类问题有足够的难度和区分度．
1．内心
（1）内心是三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点；
（2）设,,abc分别是ABC的三条边长，I是ABC的内心，则I的向
量表示：0aIAbIBcIC???．
【例题1】
（2003江苏）O是平面上一定点，,,ABC是平面上不共线三点，动点P满足
(),[0,)||||ABACOPOAABAC????????，则P点的轨迹一定通过ABC的
（）
.A外心.B内心.C重心.D垂心
【变式1】
（1）若不共线的三个向量，,,OAOBOC满足()
||||ABCAOAABCA??
()||||BACBOBBACB??()0||||BCCAOCBCCA??，则O点是ABC的（）
.A外心.B内心.C重心.D垂心
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（2）C为线段AB上一点，P为AB外一点，若||||2PAPB??，
||25PAPB??，||||PAPCPBPCPAPB?，I为PC上一点，且BIBA??
()||||ACAPACAP??，(0,)????，则||BIBABA?（）
.51A?.2B.5C.0D
2．外心
（1）外心是三角形外接圆的圆心，是三条边的垂直平分线的交点；
（2）ABC的外心N，则外心到三角形三个顶点的距离相等，即：
||||||NANBNC??．
【例题2】
O是平面上一定点，,,ABC是平面上不共线三点，动点P满足
(),[0,)2||cos||cosOBOCABACOPABBACC?????????，则P点的轨迹
一定通过ABC的（）
.A外心.B内心.C重心.D垂心
【变式2】
（1）（2009海南）已知,,ONP在ABC所在平面内，且||||||OAOBOC??，
0NANBNC???，PAPBPBPCPCPA??，则,,ONP依次是ABC
的（）
.A重心，外心，垂心.B重心，外心，内心
.C外心，重心，垂心.D外心，重心，内心
（2）O是ABC所在平面上一点，若()()OAOBABOBOCBC????
()OCOACA?，则O是ABC的（）
.A外心.B内心.C重心.D垂心
（3）M是ABC所在平面上一点，N是BC的中点，若
222||||AMBCACAB??，则直线MN一定通过ABC的（）
.A外心.B内心.C重心.D垂心
3．重心
（1）重心是三角形的三条中线的交点，并且是中线的三等分点，即重心
到顶点的距离与到对边中点的距离之比是2:1；
（2）重心坐标公式：123123(,)33xxxyyy????；
（3）ABC的重心G的向量表示：0GAGBGC???．
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【例题3】
（1）（2010湖北）已知ABC和点M满足0MAMBMC???．若存在实数
m使得ABACmAM??成立，则m?（）
.2A.3B.4C.5D
（2）O是平面上一定点，,,ABC是平面上不共线三点，动点P满足
(),[0,)OPABAC???????，则P点的轨迹一定通过ABC的（）
.A外心.B内心.C重心.D垂心
【变式3】
（1）（2015重庆万州二中）若G是ABC的重心，,,abc分别是,,ABC的对
边，若aGAbGB??303cGC?，则A?（）
.30A.60B.45C.90D
（2）（2005全国）ABC的外接圆圆心为O，两条边上的高的交点为
,()HOHmOAOBOC???，则m?．
（3）在ABC中，||||||0BCGAACGBABGC???，其中是ABC的
重心，则ABC的形状是（）
.A直角三角形.B等腰三角形.C等腰直角三角形.D等边三角形
（4）O是平面上一定点，,,ABC是平面上不共线三点，动点P满足
(),[0,)||sin||sinABACOPOAABBACC????????，则P点的轨迹一定通
过ABC的（）
.A外心.B内心.C重心.D垂心
4．垂心
（1）垂心是三角形三条高的交点；
（2）ABC的垂心H的向量表示：HAHBHAHCHCHB??；
（3）三角形的外心N，重心G和垂心H三点共线，且:1:2NGGH?．
【例题4】
已知O是平面上一定点，,,ABC是平面上不共线三点，动点P满足
(),[0,)||cos||cosABACOPOAABBACC????????，则P点的轨迹一定通
过ABC的（）
.A外心.B内心.C重心.D垂心
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【变式4】
（1）（2005全国）点O是ABC所在平面内一点，满足OAOB?OBOC?
OCOA，则点O是ABC的（）
.A三条内角平分线的交点.B三条边的垂直平分线的交点
.C三条中线的交点.D三条高的交点
（2）点P是AOB所在平面内一点，向量,OAaOBb??，且MP为线段AB
的垂直平分线，且M为垂足，向量OCc?，若||3,||2ab??，则()cab?的
值是（）
.5A.3B5.2C3.2D
（3）点O是ABC所在平面内一点，满足2222||||||||OABCOBCA????
22||||OCAB?，则点O是ABC的（）
.A外心.B内心.C重心.D垂心
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