Gothedistance
1
2011—2015高考数学真题汇编
（理科）
在昔书院，俱有学规，所以示学者立心之本，用力之
要。言下便可持循，终身以为轨范。非如法令科条之为用，
止于制裁而已。乃所以弼成其德，使迁善改过而不自知。
乐循而安处，非特免于形著之过，将令身心调熟，性德自
昭，更无走作。
编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在
红尘浪荡无涯。写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头
了断了青春。如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。
目录
2011年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷）.......................2
2012年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷）.......................6
2013年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅰ卷）.................11
2013年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅱ卷）.................15
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅰ卷）.................20
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅱ卷）.................24
2015年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅰ卷）.................28
2015年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅱ卷）.................33
Gothedistance
2
2011年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷）
数学（理科）
（满分：150分，时间：120分钟）
一．选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．复数2+12ii?的共轭复数是（）
.3A.6B.9C.12D
2．下列函数中，既是偶函数又是在(0,)??单调递增的函数是（）
3.Ayx?.||1Byx??2.1Cyx??||.2xDy??
3．执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）
.120A.720B.1440C.5040D
4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各
个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）
1.3A1.2B2.3C3.4D
5．已知角?的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx?
上，则cos2??（）
4.5A?3.5B?3.5C4.5D
6．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可
以为（）
Gothedistance
3
7．直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于,AB
两点，||AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）
.2A.3B.2C.3D
8．51()(2)axxxx??的展开式中各项系数和为2，则展开式中常数项为（）
.40A?.20B?.20C.40D
9．由曲线yx?，直线2yx??及y轴所围成的图形的面积为（）
10.3A.4B16.3C.6D
10．已知a与b均为单位向量，其夹角为?，有下列四个命题（）
12:||1[0,)3pab??????
22:||1(,]3pab???????
3:||1[0,)3pab??????
4:||1(,]3pab???????
其中真命题是（）
14.,App13.,Bpp23.,Cpp24.,Dpp
11．设函数()sin()cos()(0,||)2fxxx?????????????的最小正周期为
?，且()()fxfx??，则（）
.()Afx在(0,)2?单调递减.()Bfx在3(,)44??单调递减
.()Cfx在(0,)2?单调递增.()Dfx在3(,)44??单调递增
12．函数11yx??的图象与函数2sin(2x4)yx?????的图象所有交点的
横坐标之和等于（）
.2A.4B.6C.8D
二．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．若变量,xy满足约束条件329
69xyxy?????????
，则2zxy??的最小值为．
14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,FF在x轴上，
离心率为22，过1F的直线l交C于,AB两点，且2ABF的周长为16，那么
Gothedistance
4
C的方程为．
15．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6AB?，
23BC?，则棱锥OABCD?的体积为．
16．在ABC中，60,3BAC??，则2ABBC?的最大值为．
三．解答题（本题共6小题，共70分）
17．等比数列{}na的各项均为正数，且212326231,9aaaaa???．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）设31323logloglognnbaaa????，求数列1{}
nb
的前n项和．
18．如图，四棱锥PABCD?中，底面ABCD为平行四边形，60DAB??，
2,ABADPD??底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PABD?；
（Ⅱ）若PDAD?，求二面角APBC??的余弦值．
19．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且
质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配
方和B配方）做试验，各生产力100件这种产品，并测量了每件产品的质量指
标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110)
频数82042228
B配方的频数分布表
指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110)
频数412423210
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生产一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的
关系式为2,942,94102
4,102
t
yt
t
????
?????
??
．从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记
Gothedistance
5
为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落
入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,1),AB?点在直线3y??上，M点
满足MBOA∥，,MAABMBBAM?点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C则P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
21．已知函数ln()1axbfxxx???，曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线方程为
230xy???．
（Ⅰ）求,ab的值；
（Ⅱ）如果当0x?，且1x?时，ln()1xkfxxx???，求k的值．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分．
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，,DE分别是ABC的边,ABAC上的点，且不与ABC顶点重合，已
知AE的长为m，AC的长为n，,ADAB的长是关于x的方程214xx??
0mn?的两个根．
（Ⅰ）证明：,,,CBDE四点共圆；
（Ⅱ）若90A??，且4,6mn??，求,,,CBDE所在圆的半径．
23．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos
22sinxy????????
（?为参数），M
Gothedistance
6
是1C上的动点，P点满足2OPOM?，P点的轨迹为曲线2C．
（Ⅰ）求2C的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的坐标系中，射线3???与1C的异
于极点的交点为A，与2C的异于极点的交点为B，求||AB．
24．选修4-5：不等式选讲
设函数()||3fxxax???，其中0a?．
（Ⅰ）当1a?时，求不等式()32fxx??的解集；
（Ⅱ）若不等式()0fx?的解集为{|1}xx??，求a的值．
2012年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷）
数学（理科）
（满分：150分，时间：120分钟）
一．选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．已知集合{1,2,3,4,5},{(,)|,,}ABxyxAyAxyA??????，则B中所
含元素的个数为（）
.3A.6B.8C.10D
2．将2名教师，4名学生分成2组，分别安排的甲、乙两地参加社会实践活动，
每一个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案有（）
.12A.10B.9C.8D
3．下面是关于复数21zi???的四个命题：
1:||2pz?22:2pzi?3:pz的共轭复数为1i?4:pz的虚部为1?
其中真命题为（）
23.,App12.,Bpp24.,Cpp34.,Dpp
4．设12,FF是椭圆22:1(0)xyEabab????的左右焦点，P是直线32ax?上
Gothedistance
7
一点，21FPF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）
1.2A2.3B3.4C4.5D
5．已知等比数列{}na，47562,8aaaa????，则110aa??（）
.7A.5B.5C?.7D?
6．执行下图的程序框图，输入正整数(2)NN?和实数12,,,Naaa，输出,AB，
则（）
.AAB?为12,,,Naaa的和.2ABB?为12,,,Naaa的算术平均数
.CA和B分别是12,,,Naaa中最大的数和最的小数
.DA和B分别是12,,,Naaa中最小的数和最的大数
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则
此几何体的体积为（）
.6A.9B.12C.18D
8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线216yx?的准线
交于,AB两点，||43AB?，则C的实轴长为（）
.2A.22B.4C.8D
9．已知0??，函数()sin()4fxx???在(,)2??单调递减，则?的取值范围
是（）
Gothedistance
8
15.[,]24A13.[,]24B1.(0,]2C.(0,2]D
10．已知函数1()
ln(1)fxxx???
，则()yfx?的图象大致为（）
.A.B.C.D
11．已知三棱锥SABC?的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的
正三角形，SC为球O的直径，且2SC?，则此棱锥的体积为（）
2.6A3.6B2.3C2.2D
12．设点P在曲线12xye?上，点Q在曲线ln(2)yx?上，则||PQ的最小值
为（）
.1ln2A?.2(1ln2)B?.1ln2C?.2(1ln2)D?
二．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知向量,ab的夹角为45，且||1,|2|10aab???，||b?．
14．设,xy满足约束条件
1
3
0
3
xy
xy
x
y
????
????
??
?
???
，则2zxy??的取值范围是．
15．某个部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，
且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小
时）均服从正态分布2(1000,50)N，且各个部件能否正常相互独立，那么该部
件的使用寿命超过1000小时的概率为．
16．数列{}na满足1(1)21nnnaan?????，则{}na的前60项和为．
三．解答题（本题共6小题，共70分）
17．已知,,abc分别为ABC三个内角,,ABC的对边，cos3sinaCaC??
0bc??．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若2a?，ABC的面积为3，求,bc．
Gothedistance
9
18．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元
的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．
（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需
求量n（单位：枝nN??）的函数解析式；
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n14151617181920
频数10201616151310
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（1）若花店购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布
列、数学期望及方差；
（2）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
说明理由．
19．如图，直三棱柱111ABCABC?中，
11,2ACBCAAD??
是棱1AA的中点，
1DCBD?．
（Ⅰ）证明：1DCBC?；
（Ⅱ）求二面角11ABDC??的大小．
20．设抛物线2:2(0)Cxpyp??的焦点为F，准线,lA为C上一点，已知以
F为圆心，FA为半径的圆F交l于,BD两点．
（Ⅰ）若90,BFDABC??的面积为42，求p的值及圆F的方程；
（Ⅱ）若,,ABF三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个
公共点，求坐标原点到,mn距离的比值．
Gothedistance
10
21．设函数()fx满足''121()(1)(0)2xfxfefxx????．
（Ⅰ）求()fx的解析式及单调区间；
（Ⅱ）若()fx21()2fxxaxb???，求(1)ab?的最大值．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分．
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，,DE分别为ABC边,ABAC的中点，直线DE交ABC的外接圆于
,FG两点，若CFAB∥．证明：
（Ⅰ）CDBC?；
（Ⅱ）BCDGBD．
23．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线1C的参数方程是2cos
3sinxy???????
（?为参数），以坐标原点为极点，x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2??．正方形ABCD
的顶点都在2C上，且,,,ABCD以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3?．
（Ⅰ）求点,,,ABCD的直角坐标；
（Ⅱ）设P为1C上任意一点，求2222||||||||PAPBPCPD???的取值范围．
24．选修4-5：不等式选讲
已知函数()|||2|fxxax????．
（Ⅰ）当3a??时，求不等式()3fx?的解集；
（Ⅱ）若()|4|fxx??的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
Gothedistance
11
2013年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅰ卷）
数学（理科）
（满分：150分，时间：120分钟）
一．选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．已知集合2{|20},{|55}AxxxBxx???????，则（）
.AAB??.BABR?.CBA?.DAB?
2．若复数z满足(34)|43|izi???，则z的虚部为（）
.4A?4.5B?.4C4.5D
3．为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分
学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情
况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的
抽样方法是（）
.A简单随机抽样.B按性别分层抽样.C按学段分层抽样.D系统抽样
4．已知双曲线22:1(0,0)xyCabab????的离心率为52，则C的渐进线方
程为（）
1.4Ayx??1.3Byx??1.2Cyx??.Dyx??
5．执行下面的程序框图，如果输入的[1,3]t??，则输出的S属于（）
.[3,4]A?.[5,2]B?.[4,3]C?.[2,5]D?
6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球
放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触到水面时测得水深为6cm，如
果不计容器的厚度，则球的体积为（）
3500.3Acm?3866.3Bcm?31372.3Ccm?32048.3Dcm?
Gothedistance
12
7．设等差数列{}na的前n项和为11,2,0,3nmmmSSSS??????，则m?（）
.3A.4B.5C.6D
8．某几何函数的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
.168A??.88B??.1616C??.816D??
9．设m为正整数，2()mxy?展开式的二项式系数的最大值为a，21()mxy??展
开式的二项式系数的最大值为b，若137ab?，则m?（）
.5A.6B.7C.8D
10．已知椭圆221(0)xyabab????的右焦点为(1,0)F，过点F的直线交椭
圆于,AB两点，若AB的中点的坐标为(1,1)?，则E的方程为（）
22.14536xyA??22.13627xyC??22.12718xyC??22.1189xyD??
11．已知函数22,0()
ln(1),0xxxfxxx?????????
，若|()|fxax?，则a的取值范围是（）
.(,0]A??.(,1]B??.[2,1]C?.[2,0]D?
12．设nnnABC的三边长为分别为,,nnnabc，nnnABC的面积为,1,2,nSn?
11111111,2,,,22nnnnnnnncababcbcaaabc???????????
，则（）
.{}nAS为递减数列.{}nBS为递增数列
21.{}nCS?为递增数列，2{}nS为递减数列
21.{}nDS?为递减数列，2{}nS为递增数列
二．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．设两单位向量,ab的夹角为60，(1)ctatb???，若0bc?，则t?．
Gothedistance
13
14．若数列{}na的前n项和为2133
nnSa??
，则数列{}na的通项公式na?．
15．设当x??时，函数()sin2cosfxxx??取得最大值，则cos??．
16．若函数22()(1)()fxxxaxb????的图象关于直线2x??对称，则()fx
的最大值为．
三．解答题（本题共6小题，共70分）
17．如图，在ABC中，90,3,1,ABCABBCP????为ABC内一点，
90BPC??．
（Ⅰ）若12BP?，求PA；
（Ⅱ）若150APB??，求tanPAB?．
18．如图，三棱柱111ABCABC?中，11,,60CACBABAABAA????．
（Ⅰ）证明：1ABAC?；
（Ⅱ）若平面ABC?平面11,2AABBABCB??，求直线1AC与平面11BBCC
所成角的正弦值．
19．一批产品需进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，
这4件产品中优质品的件数为n，如果3n?，再从这批产品中任取4件作检验，
若都为优质品，则这批产品通过检验；如果4n?，再从这批产品中任取1件作
检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品不能通过检
验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品的概率为12，且各件产
品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费为100元，凡抽取的每件产品都需检验，对这批产
品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
20．已知圆22:(1)1Mxy???，圆22:(1)9Nxy???，动圆P与圆M外
Gothedistance
14
切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于,AB两点，当圆
P的半径最长时，求||AB．
21．已知函数2(),()()xfxxaxbgxecxd?????，若曲线()yfx?和曲线
()ygx?在点P处切线方程为42yx??．
（Ⅰ）求,,,abcd的值；
（Ⅱ）若2x??时，()()fxkgx?，求k的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分．
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC?的角平分线BE
交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．
（Ⅰ）证明：DBDC?；
（Ⅱ）设圆的半径为1，3BC?，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆
的半径．
23．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线1C的参数方程为45cos
55sinxtyt???????
（t为参数），以坐标原点为极点，x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin???．
（Ⅰ）把1C的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求1C与2C交点的极坐标（0,02??????）．
Gothedistance
15
24．选修4-5：不等式选讲
已知函数()|21||2|,()3fxxxagxx??????．
（Ⅰ）当2a??时，求不等式()()fxgx?的解集；
（Ⅱ）设1a??，且当1[,]22ax??时，()()fxgx?，求a的取值范围．
2013年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅱ卷）
数学（理科）
（满分：150分，时间：120分钟）
一．选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．设集合2{|(1)4,},{1,0,1,2,3}MxxxRN??????，则MN?（）
.{0,1,2}A.{1,0,1,2}B?.{1,0,2,3}C?.{0,1,2,3}D
2．设复数z满足(1)2izi??，则z?（）
.1Ai??.1Bi??.1Ci?.1Di?
3．设等比数列{}na的前n项和为nS，32110Saa??，59a?，则1a?（）
.1A.2B.3C.5D
4．已知,mn为异面直线，m?平面?，n?平面?，直线l满足
,,,lmlnll??????，则（）
.A??∥且l?∥.B???且l??
.C?与?相交，且交线垂直于l.D?与?相交，且交线平行于l
5．已知5(1)(1)axx??的展开式中2x的系数为5，则a?（）
.4A?.3B?.2C?.1D?
6．执行下面的程序框图，如果输入的10N?，那么输出的S?（）
Gothedistance
16
111.12310A????111.12!3!10!B????
111.12311C????111.12!3!11!D????
7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz?中的坐标分别为(1,0,1)，
(1,1,0)，(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投
影面，则得到正视图可以为（）
.A.B.C.D
8．设357log6,log10,log14abc???，则（）
.Acba??.Bbca??.Cacb??.Dabc??
9．设0,,axy?满足约束条件13
(3)
x
xy
yax
???
????
???
，则2zxy??的最小值为1,则
a?（）
1.4A1.2B.1C.2D
10．已知函数32()fxxaxbxc????，下列结论中错误的是（）
.A00,()0xRfx???.B函数()yfx?的图象是中心对称图形
.C若0x是()fx的极小值点，则()fx在区间0(,)x??单调递减
.D若0x是()fx的极值点，则''0()0fx?
Gothedistance
17
11．设抛物线2:3(0)Cypp??的焦点为F，点M在C上，||5MF?，若
以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为（）
2.4Ayx?或28yx?2.2Byx?或28yx?
2.4Cyx?或216yx?2.2Dyx?或216yx?
12．已知点(1,0),(1,0),(0,1)ABC?，直线(0)yaxba???将ABC分割为
面积相等的两部分，则b的取值范围是（）
.(0,1)A21.(1,)22B?21.(1,)23C?11.[,)32D
二．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEBD?．
14．从n个正整数1,2,,n中任意取出两个不同的数，若取出的两个数之和等
于5的概率为114，则n?．
15．设?是第二象限的角，若1tan()42????，则sincos????．
16．等差数列{}na的前n项和为nS，已知10150,25SS??，则nnS的最小值
为．
三．解答题（本题共6小题，共70分）
17．ABC内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知cossinabCcB??．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若2b?，求ABC面积的最大值．
18．如图，直三棱柱111ABCABC?中，,DE分别为1,ABBB的中点，1AA?
AC?22CBAB?．
（Ⅰ）证明：1BC∥平面1ACD；
（Ⅱ）求二面角1DACE??的正弦值．
Gothedistance
18
19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，没售出1t该产品获利润500
元，未售出的产品，每1t亏损300元，根据历史资料，得到销售季度内市场需
求量的频率分布直方图，如下图，经销商为下一个季度购进了130t该农产品，
以X（单位：,100150tX??）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单
位：元）表示下一个销售季度内该农产品的利润．
（Ⅰ）将T表示为X的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需
求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若
[100,110)x?，则取105x?且105x?的概率等于需求量落入[100,110)的频
率）求T的数学期望．
20．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆22:1(0)xyMabab????的右焦点的
直线30xy???交M于,AB两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12．
（Ⅰ）求M的方程；
（Ⅱ）,CD为M上两点，若四边形ABCD的对角线CDAB?，求四边形
ABCD面积的最大值．
21．已知函数()ln()xfxexm???．
（Ⅰ）设0x?是()fx的极值点，求m，并讨论()fx的单调性；
（Ⅱ）当2m?时，证明()0fx?．
Gothedistance
19
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分．
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点,,DEF分
别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF?，,,,BEFC四点共圆．
（Ⅰ）证明：CA是ABC外接圆的直径；
（Ⅱ）若DBBEEA??，求过,,,BEFC四点的圆的面积与ABC外接圆面
积的比值．
23．选修4-4：坐标系与参数方程
已知动点,PQ都在曲线2cos:
2sinxtCyt?????
（t为参数）上，对应参数分别为t??
与2(02),tM??????点为PQ的中点．
（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；
（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为?的函数，并判断M的轨迹是否过原
点．
24．选修4-5：不等式选讲
设,,abc均为正数，且1abc???，证明：
（Ⅰ）13abbcac???；
（Ⅱ）2221abcbca???．
Gothedistance
20
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅰ卷）
数学（理科）
（满分：150分，时间：120分钟）
一．选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．已知集合2{|230},{|22}AxxxBxx????????，则AB?（）
.[2,1]A??.[1,2)B?.[1,1]C?.[1,2)D
2．3
2(1)(1)ii???
（）
.1Ai?.1Bi?.1Ci??.1Di??
3．设函数(),()fxgx的定义域为R，且()fx是奇函数，()gx是偶函数，则
下列结论中正确的是（）
.()()Afxgx是偶函数.|()|()Bfxgx是奇函数
.()|()|Cfxgx是奇函数.|()()|Dfxgx是奇函数
4．已知F是双曲线22:3(0)Cxmymm???的一个焦点，则点F到C的一
条渐进线的距离为（）
.3A.3B.3Cm.3Dm
5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日
都有同学参加公益活动的概率为（）
1.8A3.8B5.8C7.8D
6．如图，圆O的半径1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为
射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到
直线OP的距离表示为x的函数()fx，则()yfx?在[0,]?上的图象大致为
（）
7．执行下面的程序框图，若输入的,,abk分别为1,2,3，则输出的M?（）
Gothedistance
21
20.3A16.5B7.2C15.8D
8．设(0,),(0,)22??????，且1sintan
cos?????
，则（）
.32A?????.22B?????.32C?????.22D?????
9．不等式组1
24xyxy???????
的解集为D，下列四个命题：
1:(,),22pxyDxy?????2:(,),22pxyDxy????
3:(,),23pxyDxy????4:(,),21pxyDxy?????
其中真命题是（）
13.,App14.,Bpp12.,Cpp13.,Dpp
10．已知抛物线2:8Cyx?的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线
PF与C的一个焦点，若4FPFQ?，则||QF?（）
7.2A5.2B.3C.2D
11．已知函数32()31fxaxx???，若()fx存在唯一的零点0x，且00x?，
则a的取值范围是（）
.(2,)A??.(1,)B??.(,2)C???.(,1)D???
12．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画的是某多面体的三视图，
则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）
.62A.42B.6C.4D
二．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
Gothedistance
22
13．8()()xyxy??的展开式中22xy的系数为．
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过,,ABC三个城市时，甲说：我去过
的城市比乙多，但没有去过B城市；乙说：我去过C城市；丙说：我们三个人
去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为．
15．已知,,ABC是圆O上的三点，若1()2AOABAC??，则AB与AC的
夹角为．
16．已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，2a?，且(2)b?
(sinsin)()sinABcbC???，则ABC的面积的最大值为．
三．解答题（本题共6小题，共70分）
17．已知数列{}na的前n项和为11,1,0,1nnnnnSaaaaS??????，其中?为
常数．
（Ⅰ）证明：2nnaa????的通项公式；
（Ⅱ）是否存在?，使得{}na为等差数列？说明理由．
18．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项指标值，由测量
结果得出如下频数分布直方图：
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差2s（同一组中的
数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布
2(,)N??，其中?近似为样本平均数x，2?近似为样本方差2s．
（1）利用正态分布，求(187.8Z212.2)P??；
（2）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量
指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用（1）的结果，求EX．
附：15012.2?；若2(,)ZN??，则()0.6826PZ?????????，
(22)0.9544PZ?????????．
Gothedistance
23
19．如图，三棱柱111ABCABC?中，侧面11BBCC为菱形，1ABBC?．
（Ⅰ）证明：1ACAB?；
（Ⅱ）若11,60,ACABCBBABBC????，求二面角111AABC??的余弦
值．
20．已知点(0,2)A?，椭圆22:1(0)xyEabab????的离心率为32，F是
椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ面积最大时，求l的
方程．
21．设函数1()lnxxbefxaexx???，曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线方
程为(1)2yex???．
（Ⅰ）求,ab；
（Ⅱ）证明：()1fx?．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分．
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交
于点E，且CBCE?．
（Ⅰ）证明：DE???；
（Ⅱ）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC?，证明：ABC
为等边三角形．
Gothedistance
24
23．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线22:149xyC??，直线2:
22xtlyt???????
（t为参数）．
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求||PA的
最小值．
24．选修4-5：不等式选讲
若0,0ab??，且11abab??．
（Ⅰ）求33ab?的最小值；
（Ⅱ）是否存在,ab，使得236ab??？并说明理由．
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅱ卷）
数学（理科）
（满分：150分，时间：120分钟）
一．选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．设集合2{0,1,2},{|320}MNxxx?????，则MN?（）
.{1}A.{2}B.{0,1}C.{1,2}D
2．设复数12,zz在复平面内的对应点关于虚轴对称，12zi??，则12zz?（）
.5A?.5B.4Ci??.4Di??
3．设向量,ab满足||10,||6abab????，则ab?（）
.1A.2B.3C.5D
4．钝角三角形ABC的面积是12，1,2ABBC??，则AC?（）
.5A.5B.2C.1D
5．某地区空气质量监测资料表示，一天空气质量为优良的概率是0.75，连续
Gothedistance
25
两天为优良的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质
量为优良的概率是（）
.0.8A.0.75B.0.6C.0.45D
6．如图，网格纸上的正方形小格边长为1cm，图中粗线画得的是某零件的三
视图，该零件有一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则
切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值是（）
17.27A5.9B10.27C1.3D
7．执行下面的程序框图，如果输入,xt的值均为2，则输出的S?（）
.4A.5B.6C.7D
8．设曲线ln(1)yaxx???在(0,0)处的切线方程为2yx?，则a?（）
.0A.1B.2C.3D
9．设,xy满足约束条件70310
350
xy
xy
xy
?????
?????
????
，则2zxy??的最大值为（）
.10A.8B.3C.2D
10．设F为抛物线2:3Cyx?的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于,AB
两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（）
33.4A93.8B63.32C9.4D
Gothedistance
26
11．直三棱柱111ABCABC?中，90,,BACMN??分别是1111,ABAC的中点，
1BCCACC??，则BM与AM角的余弦值为（）
1.10A2.5B30.10C2.2D
12．设函数()3sinxfxm??，若存在()fx的极值点0x满足2200[()]xfx?
2m?，则m的取值范围是（）
.(,6)(6,)A?????.(,4)(4,)B??????
.(,2)(2,)C??????.(,1)(4,)D??????
二．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．10()xa?的展开式中，7x的系数为15，则a?．
14．函数()sin(2)2sincos()fxxx???????的最大值为．
15．已知偶函数()fx在[0,)??单调递减，(2)0f?，若(1)0fx??，则x的
取值范围是．
16．设点0(,1)Mx，若在圆22:1Oxy??上存在点N使得45OMN??，则
0x的取值范围是．
三．解答题（本题共6小题，共70分）
17．已知数列{}na满足111,31nnaaa????．
（Ⅰ）证明1{}2
na?
是等比数列，并求{}na的通项公式；
（Ⅱ）证明：
12
11132
naaa????
．
18．如图，四棱锥PABCD?中，底面ABCD为矩形，PA?平面ABCD，E
是PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角DAEC??为60,1,3APAD??，求三棱锥EACD?的
体积．
Gothedistance
27
19．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如
下表：
年份2007200820092010201120122013
年份代号t1234567
人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007至2013年该地区农村居民家庭人
均纯收入的变化情况，并预测该地区2015农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
1
2
1
()()
,
()
n
ii
i
n
i
i
ttyy
baybt
tt
?
?
??
???
?
?
?
．
20．设12,FF分别是椭圆22:1(0)xyCabab????的左右焦点，M是C上一
点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N．
（Ⅰ）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且1||5||MNFN?，求,ab．
21．已知函数()2xxfxeex????，曲线()yfx?在点(0,2)处的切线与x轴
交点的横坐标为2?．
（Ⅰ）讨论()fx的单调性；
（Ⅱ）设()(2)4()gxfxbfx??，当0x?时，()0gx?，求b的最大值；
（Ⅲ）已知1.414221.4143??，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分．
Gothedistance
28
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于
,,2,BCPCPAD?为PC中点，AD延长线交O于点E．证明：
（Ⅰ）BEEC?；
（Ⅱ）22ADDEPB?．
23．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
半圆C的极坐标方程为2cos,[0,]2??????．
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线:32lyx??垂直，根据（Ⅰ）
中得到的参数方程，确定D的坐标．
24．选修4-5：不等式选讲
设函数1()||||(0)fxxxaaa?????．
（Ⅰ）证明：()2fx?；
（Ⅱ）若(3)5f?，求a的取值范围．
2015年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅰ卷）
数学（理科）
（满分：150分，时间：120分钟）
一．选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
1．设复数z满足11ziz???，则||z?（）
.1A.2B.3C.2D
Gothedistance
29
2．sin20cos10cos160sin10??（）
3.2A?3.2B1.2C?1.2D
3．设命题2:,2npnNn???，则p?为（）
.A2,2nnNn???.B2,2nnNn???
.C2,2nnNn???.D2,2nnNn???
4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投
篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概
率为（）
.0.648A.0.432B.0.36C.0.312D
5．已知00(,)Mxy是双曲线22:12xCy??上的一点，12,FF是C的两个焦点，
若120MFMF?，则0y的取值范围是（）
33.(,)33A?33.(,)66B?2222.(,)33C?2323.(,)33D?
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今
有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思是：“在
屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8
尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积
约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米有（）
.14A斛.22B斛.36C斛.66D斛
7．设D为ABC所在平面内一点，3BCCD?，则（）
14.33AADABAC???14.33BADABAC??
41.33CADABAC??41.33DADABAC??
8．函数()cos()fxx????的部分图象如图所示，则()fx的单调递减区间为
（）
Gothedistance
30
13.(,),44AkkkZ?????13.(2,2),44BkkkZ?????
13.(,),44CkkkZ???13.(2,2),44DkkkZ???
9．执行下面的程序框图，如果输入0.01t?，则输出的n?（）
.5A.6B.7C.8D
10．25()xxy??的展开式中，52xy的系数为（）
.10A.20B.30C.60D
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几
何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620??，
则r?（）
.1A.2B.4C.8D
12．设函数()(21)xfxexaxa????，其中1a?，若存在唯一的整数0x使得
0()0fx?，则a的取值范围是（）
3.[,1)2Ae?33.[,)24Be?33.[,)24Ce3.[,1)2De
二．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．若函数2()ln()fxxxax???为偶函数，则a?．
14．一个圆经过椭圆221164xy??的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该
Gothedistance
31
圆的标准方程为．
15．若,xy满足约束条件100
40
x
xy
xy
????
????
????
，则yx的最大值为．
16．在平面四边形ABCD中，75,2ABCBC???????，则AB的取值
范围是．
三．解答题（本题共6小题，共70分）
17．nS为数列{}na的前n项和，已知20,243nnnnaaaS????．
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅱ）设
1
1n
nnbaa??
，求数列{}nb的前n项和．
18．如图，四边形ABCD为菱形，120ABC??，,EF是平面ABCD同一
侧的两点，BE?平面ABCD，DF?平面ABCD，2,BEDFAEEC??．
（Ⅰ）证明：平面AEC?平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与CF所成角的余弦值．
19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的
宣传费ix和年销售量(1,2,,8)iyi?的数据作了初步处理，得到下面的散点
图及一些统计量的值．
xyw
46.65636.8
Gothedistance
32
8
1()iixx???
8
1()iiww???
8
1()()iiixxyy????
8
1()()iiiwwyy????
289.81.61469108.8
表中8
1
1,8iii
iwxww????
．对于一组数据1122(,),(,),,(,)nnuvuvuv，
其回归直线vu????的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：
1
2
1
()()
()
n
ii
i
n
i
i
uuvv
uu
??
?
??
?
?
?
?
，vu????．
（Ⅰ）根据散点图判断yabx??与ycdx??，哪一个宜作为年销售量y关
于年宣传费x的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与,xy的关系为0.2zyx??，根据（Ⅱ）的
结果回答下列问题：
①当年宣传费49x?时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
20．在直角坐标系xOy中，曲线2:4xCy?与直线(0)ykxaa???交于,MN
两点．
（Ⅰ）当0k?时，分别求C在点,MN处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN???？说明
理由．
21．设函数31(),()ln4fxxaxgxx?????．
（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线()yfx?的切线；
（Ⅱ）用min{,}mn表示,mn中的最小值，设函数()min{(),()}hxfxgx?
(0)x?，讨论()hx的零点个数．
Gothedistance
33
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分．
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，BC交圆O于点E．
（Ⅰ）若D为AC中点，求证：DE为圆O的切线；
（Ⅱ）若3OACE?，求ACB?的大小．
23．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx??，圆222:(1)(2)1Cxy????，以坐
标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求12,CC的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线3C的极坐标方程为()4R?????，设23,CC的交点为,MN，
求2CMN的面积．
24．选修4-5：不等式选讲
已知函数()|1|2||,0fxxxaa?????．
（Ⅰ）当1a?时，求不等式()1fx?的解集；
（Ⅱ）若()fx的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
2015年普通高等学校招生全国统一考试（课标Ⅱ卷）
数学（理科）
（满分：150分，时间：120分钟）
一．选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）
Gothedistance
34
1．已知集合{2,1,0,1,2}{|(1)(2)}ABxxx??????，则AB?（）
.{1,0}A?.{0,1}B.{1,0,1}C?{0,1,2}D
2．若a为实数，且(2)(2)4aiaii????，则a?（）
.1A?.0B.1C.2D
3．根据下面给出的2004至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱
形图，以下结论中不正确的是（）
.A逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
.B2007年我国治理二氧化硫排放量显现成效
.C2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
.D2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．已知等比数列{}na满足11353,21aaaa????，则357aaa???（）
.21A.42B.63C.84D
5．设函数2
1
1log(2),1()2,1
x
xxfxx
?
???????
?
，则2(2)(log12)ff???（）
.3A.6B.9C.12D
6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余的部分的三视图如下图，则截
去部分体积与剩余部分体积之比为（）
1.8A1.7B1.6C1.5D
7．已知三点(1,3),(4,2),(1,7)ABC?的圆交y轴于,MN两点，则||MN?
（）
.26A.8B.46C.10D
8．下图程序框图的算法思路来源于古代数学名著《九章算术》中的“更相减
损术”，执行该程序框图，若输入的,ab分别为14,18，则输出的a为（）
Gothedistance
35
.0A.2B.4C.14D
9．已知,AB是球O的球面上两点，90,AOBC??为该球面上的动点，若三
棱锥OABC?的体积最大值为36，则球O的表面积为（）
.36A?.64B?.144C?.256D?
10．如图，长方形的边2,1,ABBCO??是AB的中点，点P沿着边,BCCD
与DA运动，记BOPx??，将动点P到,AB两点距离之和表示为x的函数
()fx，则()fx的图象大致为（）
11．已知,AB为双曲线E的左右焦点，点M在E上，ABM为等腰三角形，
且倾斜角为120，则E的离心率为（）
.5A.2B.3C.2D
12．设函数''()fx是奇函数()()fxxR?的导函数，(1)0f??，当0x?时，
''()()0xfxfx??，则使函数()0fx?成立的x的取值范围是（）
.(,1)(0,1)A???.(1,0)(1,)B???
.(,1)(1,0)C????.(0,1)(1,)D??
二．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．设向量,ab不平行，向量ab??与2ab?平行，则实数??．
14．若,xy满足约束条件1020
220
xy
xy
xy
?????
????
????
，则zxy??的最大值为．
15．4()(1)axx??的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a?．
16．设nS是数列{}na的前n项和，且1111,nnnaaSS????，则nS?．
三．解答题（本题共6小题，共70分）
17．ABC中，D是BC上的点，AD平分,BACABD?面积是ADC面积
Gothedistance
36
的2倍．
（Ⅰ）求sinsinBC；
（Ⅱ）若21,2ADDC??，求BD和AC．
18．某公司为了了解用户对其产品的满意度，从,AB两个地区分别随机调查了
20个用户，得到用户满意度的评分如下：
A地区：62738192958574645376
78869566977888827689
B地区：83736251914653736482
93486581745654766579
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较
两地区满意度评分的平均值及分散度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
A地区B地区
4
5
6
7
8
9
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区的用户满意度等级”，假设两
地区的评价相互独立，根据数据，以事件发生的频率作为概率，求C的概率．
19．如图，长方体1111ABCDABCD?中116,10,8ABBCAA???，点,EF分
别在1111,ABDC上，114AEDF??，过点,EF的平面?与此长方体的面相交，
交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
Gothedistance
37
（Ⅱ）求直线AF与平面?所成角的正弦值．
20．已知椭圆222:9(0)Cxymm???，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，
l与C相交于点,AB，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若l过点(,)3mm，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为
平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．
21．已知函数2()mxfxexmx???．
（Ⅰ）证明：()fx在(,0)??单调递减，在(0,)??单调递增；
（Ⅱ）若对任意12,[1,1]xx??都有12|()()|1fxfxe???，求m的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分．
22．选修4-1：几何证明选讲
如图，O是ABC内一点，圆O与ABC的底边BC相交于,MN两点，与
底边上的高交于点G，且与,ABAC分别相切于,EF两点．
（Ⅰ）证明：EFBC∥；
（Ⅱ）若AG等于圆O半径，且23AEMN??，求四边形EBCF的面积．
23．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线
1cos:sinxtCyt???????
（t为参数，且0t?），其中
0????，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
Gothedistance
38
2:2sinC???，3:23cosC???．
（Ⅰ）求2C与3C交点的直角坐标；
（Ⅱ）若1C与2C相交于点A，1C与3C相交于点B，求||AB的最大值．
24．选修4-5：不等式选讲
设,,,abcd均为正数，且abcd???，证明：
（Ⅰ）若abcd?，则abcd???；
（Ⅱ）abcd???是||||abcd???的充要条件．
|
|
