第一讲勾股定理模块1、常见勾股数及辅助线例1．（1）如图，下列未知边的长度分别是、、。（2）如图，下列图形的面积分别是、、。
解：（1）应用勾股定理：第1个直角三角形中两条直角边分别是3和4，所以斜边长为5；第2个直角三角形中斜边长为13，一条直角边长为5
，所以另一条直角边的长为12；第3个直角三角形中，斜边长为25，一条直角边长为24，所以另一条直角边的长为7。（2）第1个直角三角
形的斜边长为10，一条直角边长为8，另一条直角边长为6，所以三角形的面积是；第2个直角三角形的斜边长为1.3，一条直角边长为1.2
，另一条直角边长为0.5，所以三角形的面积是；第3的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为2和1.5，它的面积是S1=1.5，斜边
长为2.5，大直角三角形的斜边是6.5，一条直角边长为2.5，所以另一条直角边长为6，面积S2=，于是面积等于S1+S2=9.例2
．（1）如左图，梯形的周长为，面积为；如右图，梯形的周长为，面积为；（2）下图的梯形ABCD的对角线AC和BD相互垂直
，已知AD=3，AC=9，BD=12，则BC的长度为。解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为20，一条直角边长为12，所以另
一条直角边长为16，于是周长=20+10+16+22=68，面积=；第2个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长
分别为0.5，0.9，于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积=。（2）
如图平移AC到DE，连结CE，CE=AD=3，DE=AC=9，在直角三角形BDE中，BD=12，DE=9，所以斜边BE=15，解得
BC=BE?CE=15?3=12。模块2、勾股定理及其重要模型例3．（1）以直角三角形ABC的三边向外做三个正方形，正方形内的数代
表正方形的面积，求未知正方形的面积为。（2）下面的图形是以直角三角形ABC的三边为直径向外做半圆得到，半圆内的数表示所在半圆的面
积，求未知半圆的面积为。解：（1）AB2=3，BC2=14，所以AC2=3+14=17；（2）最小的半圆面积等于r12=7，第二
个半圆面积等于r22=15，所以最大的半圆的面积等于(r12+r22)=7+15=22.例4．（1）下图是由两个直角三角形构成，
求问号处的边长是。（2）下图是由一个两条直角边长都是1的直角三角形向外做直角三角形得到的，形成一共一个美丽的螺旋图案，第8个直角
三角形的斜边长是；如果一直螺旋下去，第个直角三角形的斜边长是10.解：（1）由勾股定理，下面的直角三角形的两条直角边长分别为1
、2，斜边的平方=1+4=5，这样上面的直角三角形的两条直角边的平方分别是5、4，它们的和等于9，所以问号处的边长等于3.（2）最
小的直角三角形的斜边长的平方,等于2，第2个直角三角形的斜边的平方等于3，第3个直角三角形的斜边的平方等于4，……，第8个直角三角
形的斜边的平方等于9，斜边长等于3，第n个直角三角形的斜边的平方等于102=100，所以这是第99个直角三角形。例5．（1）某直角
三角形三条边长都是整数，其中一条直角边长是8，求另外两条边的长度分别为和。（2）某直角三角形的一条直角边长为6，周长是
15，求它的面积为。（3）如图，长方形ABCD的长是5，宽是1，现将长方形的右下角折到左上角，三角形ABM的面积是。解：（1）
设斜边长为a，另一条直角边的长为b，所以a2?b2=64，得64=(a+b)(a?b)，64=26，又a+b、a?b都是整数，且a
+b与a?b同奇同偶，所以可以是，或，解得或。（2）直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，设斜边为a，则另一条直角边是9?a，
得，解得a=6.5，9?a=2.5，所以三角形的面积=；（3）设BM=a，MC=5?a，AM=MC=5?a，在直角三角形ABM中，
有勾股定理得AM2=AB2+BM2，得，解得a=2.4，所以三角形ABM的面积=。模块3有趣的路径问题例6．（1）如图是一个铁丝
围成的长方体铁架，长、宽、高分别为7厘米、2厘米、3厘米，一只蚂蚁在A点，蚂蚁需要爬到B点处，如果只能沿着长方体的棱爬，最短路径是
厘米。（2）如图是一个长方体木块，长、宽、高分别为9厘米、7厘米、5厘米，一只蜘蛛在A点蜘蛛需要爬到B点，如果只能沿着长方体木块
的表面爬，最短路径为厘米。解：（1）7+3+2=12厘米；（2）有三种路线，分别是7+=≈10.6；2+=2+≈9.6；3+=3
+≈10.28；所以最短路径为9.6厘米。随堂测试1．下图是一个长方形点阵，相邻两点距离为1厘米，求图中多边形的周长为
厘米。解：如图，连结两条辅助线，把图形分成一个小正方形和两个直角三角形，小正方形的边长为1，小直角三角形的斜边长是5，大直角三角形
的斜边长是13，所以图形的周长为5+2+1+13+13=34。2．如图是一个直角梯形ABCD，其中AD=4，AB=12，BC=9，
求阴影三角形的周长为。解：过D做DE垂直于BC，交BC于点E，则BE=4，EC=5，DE=AB=12，在直角三角形DEC中，
斜边DC=13，在直角三角形ABC中，AB=12，BC=9，所以斜边AC=15，所以三角形ACD的周长是4+13+15=32。3．
下图是由三个直角三角形组成的，求问号处的边长为。解：最下面的直角三角形的两条直角边长分别为1和6，所以它的斜边长的平方等于1+3
6=37，中间的直角三角形的两条直角边的平方分别为16和37，它的斜边的平方等于53，最上面的直角三角形的斜边的平方是53，一条直
角边的平方等于4，所以另一条直角边的平方等于53?4=49，于是这条直角边的长度是7。4．三角形ABC中，AD是一条高，分别以AB
、BD、DC、CA为边向外做正方形，一些正方形的面积已知，正方形内的数代表正方形的面积，求问号处正方形的面积为。解：由图知AC的
平方等于10，CD的平方等于6，所以AD的平方等于10?6=4，问号处的正方形的面积等于BD2，BD2=AB2?AD2=27?4
=235．如图，一个直角三角形ABC的直角边AB长为5，BC长为12，将直角折到斜边上，即三角形ABD折到三角形AED的位置，求三
角形DEC的面积为。解：直角三角形ABC的直角边AB长为5，BC长为12，所以斜边AC=13，由题意知AE=AB，所以AE=5，CE=13?5=8，设BD=DE=x，则DC=12?x，有勾股定理得DC2=DE2+EC2，所以(12?x)2=x2+82，解得x=，所以三角形DEC的面积等于=。 |
|
