第四讲同余模块一、化同余为整除若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余。“同余式”表示为a≡b(modm)意味
着（我们假设a≥b）a?b=mk，k是整数，即m|(a?b)。例1．（1）某个大于1的整数除41、11得到的余数相等，那么这个整数
可能是；（2）某个整数除41，余数是5，那么这个整数可能是。解：（1）41?11=30，30=2×3×5，所以30的大于1约数
有2、3、5、6、10、15、30，这些约数除41、11得到的余数都相等。（2）41?5=36，36=22×32，36的大于1的约
数有2、3、4、6、9、12、18、36，因为余数是5，所以除数大于5，于是这个数可能是6、9、12、18、36.例2．（1）某
个大于1的整数除17、53、113得到的余数相同，那么这个整数可能是；（2）某个整数除以67、151得到的余数都是11，那么这个
整数可能是；（3）某个整数除47余5，除65余2，那么这个整数可能是。解：（1）53?17=36，113?53=60，(36，
60)=12，12=22×3，它的大于1的约数有2、3、4、6、12，这些是都可以。（2）67?11=56，151?11=140，
(56，140)=28=22×7，即56与140的大于11的约数有14、28，所以这个整数可能是14或28.（3）47?5=42
，65?2=63，(42，63)=21=3×7，42和63的大于5的约数有7、21，所以这个整数可能是7或21.例3．某个整数除4
7、121、232的余数分别是a、a+2、a+5，这个数可能是。解：121?2=119，232?5=227，余数47、119、2
27被某数除的余数都相等，119?47=72，227?119=106，(72，108)=36，36=22×32，其中大于5的约数有
6、9、12、18、36，经检验6、12不可以，所以这个数可能是9、18、36.例4．有一个整数，用它去除70、110、160所得
到的3个余数之和是50，那么这个数可能是。解：70+110+160?50=290，290的约数有2、5、10、29、58、145
、290，又3个余数之和为50，所以最大的余数不小于，所以2、5、10都不对，又145、290也不可能，经检验，29是正确的，58
不正确，所以这个数是29.模块二、同余性质、同余方程同余符号有诸多性质，很多性质都和等号一样，但也有很多区别。性质1：a≡a(mo
dm)，（返身性）若a≡b(modm)，那么b≡a(modm)，（对称性）若a≡b(modm)，b≡c(mod
m)，那么a≡c(modm)，（传递性）性质2：若a≡b(modm)，那么a≡b+m(modm)，a≡b?m(mod
m)均成立；性质3：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，那么a±c≡b±d(modm)，（可加减性）若a≡b
(modm)，c≡d(modm)，那么ac≡bd(modm)，（可乘性）若a≡b(modm)，那么an≡bn(mo
dm)，(其中n为自然数)（可乘方性）性质4：（1）若ac≡bc(modm)，那么a≡b(modm)（可除性）（2）若
ac≡bc(modm)，(c，m)=1，那么a≡b(modm)（可约性）一元一次同余方程一元一次同余方程可以通过“去括号
”、“移项”、“合并同类项”变成ax≡b(modm)，此方程有解的条件是(a，m)|b，特殊的，当(a，m)=1时，方程的解为
x≡x0，其中x0是一个特解。例5．已知348675≡3+4+8+6+7+5≡3+3≡6(mod9)，702+20≡2+6≡8
≡1(mod7)，仿照此种形式，利用同余记号书写过程，计算下面各题最终的余数：（1）121+34≡(mod9)；（2）
234?117≡(mod11)；（3）432×86≡(mod7)。解：（1）121+34≡4+7≡11≡2(mod
9)；（2）234?117≡11+3?7≡7(mod11)；（3）432×86≡5×2≡3(mod7)。例6．（1）用枚举检
验的方法，找出有哪些整数x满足：3x≡5(mod7)，用一个同余式来表示结果。（2）求解同余方程：8x+34≡3(x+1)
(mod13).解：（1）3x≡5(mod7)，3×4≡12≡5(mod7)，枚举得x=4，所以x=4+7k，(k是整数)
.（2）8x+34≡3(x+1)(mod13).得8x+8≡3x+3(mod13)，即5x≡13+3?8≡8(mod
13)，枚举得x=12，所以用一个同余式表示是x=12+13k，(k是整数).随堂测试1．一个自然数除31，余数是7，
那么这个自然数有种可能值。解：31?7=24，24=23×3，它的大于2的约数为8、12、24，所以有3种可能。2．一个大于1的
自然数除17、45、97的余数相同，这个自然数最大的可能是。解：45?17=28，97?45=52，(28，52)=4，所以这个
自然数最大是4.3．一个自然数除13的余数是a，除21的余数是a+2，那么这个自然数是。解：21?2=19，19?13=6，6的
约数有1、2、3、6，其中1、2均不可能，经检验3也不可能，所以这个数是6.4．有一个班上有10多名同学，第一天老师将80张积分卡
平均分给同学们，余下一些积分卡（少于人数）；第二天，老师将71张积分卡平均分给同学们，再次余下一些积分卡（少于人数）。下课的时候，
老师把两次剩余的积分卡收集在一起，再一次平均分给同学们，刚好剩下一张积分卡。那么这个班上有名同学。解：80+71?1=150，1
50=2×3×52，它的大于10且小于20约数是15。所以这个班有15名同学。5．解同余方程：7x≡2x+9(mod13).解：7x≡2x+9(mod13).得5x≡9(mod13)，枚举得x=7，所以原方程的解是x=7+13k（k是整数）。 |
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