第12讲计算综合之不定方程模块一、基础不定方程的解法例1．不定方程x+y=2有组解，有组自然数解，有组正整数解。解：对于不定方程x+
y=2，给定一个x的值，就可以求出一个相应的y的值，所以不定方程x+y=2有无穷组解，对于自然数有0+2=2，1+1=2，2+
0=2，所以自然数解有3组，正整数解有1组。例2．求不定方程的正整数解：2x+3y=8.解：有方程两边的奇偶性判断，y一定是偶数
，当y=2时，解得x=1，经检验，方程只有这样一组正整数解，即例3．求不定方程的正整数解：3x+5y=31.解：由方程两边的奇
偶性判断，x，y应该是一奇一偶，取y=2，解得x=7，得方程的一个解是，由不定方程的解的关系得另一解为
。例4．已知5x?14y=11，x和y都是正整数，x+y的最小值是。解：由方程两边的奇偶性知道x一定是奇
数，且x>3，取x=5，解得y=1，而方程的一般解是(k是正整数)所以x=5，y=1是最小的正整数解，此时x+y=6.模块二、复
杂不定方程的解法例5．小张带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块3角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买块橡皮和支圆珠笔。解：设
买了x块橡皮，y支圆珠笔，所以3x+11y=50，解这个不定方程得或所以买13块橡皮和1支圆珠笔或2
块橡皮和4支圆珠笔。例6．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，则鸡翁、鸡母、鸡雏各只。解：设买到x只鸡
翁，y只鸡母，则有100?x?y只鸡雏，整理得7x+4y=100，由奇偶性知x是偶数，解得x=4，y=18，代入求得z=78，或
解得x=8，y=11，代入求得z=81，或解得x=12，y=4，代入求得z=84，例7．现有一架天平和很多3克和4克的砝码，用这些
砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）解：由于4?3=1，3×3?4×2=1，即如果称出的重量中有1个
3，则将3换成4，则能称出下一个重量；如果称出的重量中有2个4，则可以将2个4换成3个3，也能称出下一个重量，重量为5克的物体
无法称出来，重量为6克的可以用2个3克的砝码称出来，从6以后的所有重量，7=3+4，8=4+4，后面的重量中如果有一个3克砝
码，一定可以称下一个重量，如果没有3克砝码，那么至少有两个4克砝码，也可以称下一个重量。所以不能称出的最大重量是5克。例8．
现有一架天平和很多17克和19克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）解：设不能称出的最大
克质量为M克，即对于不定方程17x+19y=M没有自然数解，解得，或所以a=18，把x=18，y=?1代入得M=17×18?
19=287.解：解方程17x?19y=1，解得，解方程19m?17n=1，解得，所以17×9?19×8=1，又19×17?
19?17=287，287+b=17×(9b?1)+19×(16?8b)，(b≥1)，即大于287的整数都可以写成17与19的
线性组合，因此当b=0时，用这些砝码不能称出的最大克重是287克。287+b=17×(9b?1)+19×(16?8b)，(b≥1)
，即大于287的整数都可以写成17与19的线性组合，因此当b=0时，用这些砝码不能称出的最大克重是287克。物体质量b的值19的个
数17的个数288188289201729039729141162925106293621529471152958314物体质量b
的值19的个数17的个数29691242971041329811133299125123001314230114611302151
5130316710随堂测试1．不定方程2x+3y=9有组正整数解。解：方程2x+3y=9，两边取模2运算得y≡1(m
od2)，解得x=3，所以方程的解是或（舍去），所以原方程只有1组正整数解。2．求不定方程的正整数解：
30x+11y=350，x=，y=。解：方程30x+11y=350，由奇偶性判断y是偶数，解得y=10，x=8，所以方程的解是
。3．求不定方程的正整数解：19x+9y=100，x=，y=。解：方程19x+9y=100，由奇偶性判断，x，y同奇同偶，得
x=1，y=9，所以方程的解是.4．已知12x?13y=25，x、y都是正整数，则x+y的最小值是。解：方程12x?13y=2
5，由奇偶性判断，y是奇数，解得y=11，x=14，所以方程的解为或，……，则x+y的最小值是25.
5．小丽计划用31元买2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支，那么她最多能买支。解：小丽可以买1支3元，1支4元的
圆珠笔，剩余的24元都买2元一支的，这样一共可以买14支圆珠笔。6．有堆成一堆的100个小砝码，总重量为500克，已知只有1克
、10克和50克三种砝码，在这堆砝码中，每一种砝码各有个、个、个。解：设50克的砝码有x个，10克的砝码有y个，1克的砝码
有100?x?y个。则50x+10y+100?x?y=500，即49x+9y=400，解得x=1，y=39，100?x?y
=60.所以有1克砝码60个，10克砝码39个，50克砝码1个。7．现有一架天平和很多个5克和8克的砝码，用这些砝码，不能称出的最
大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）解：5x?8y=1，解得x=5，y=3，8m?5n=1，解得m=2，n=3，所以
5×5?8×3=1，8×2?5×3=1，当质量是5×5+2=27时，该质量无法称出，对于27+b的质量所用5克和8克砝码的
个数：物体质量b的值5的个数8的个数281412921330360314323250433651……………………8．现有一架天平和很多个6克和8克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克质量是克。（砝码只能放在天平的一边）解：答案是无穷大的奇数克重； |
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