第十三讲行程综合之高难行程问题（一）模块一、多次相遇追及例1．如图，大圈是400米跑道，由A到B的跑道长是200米，直线距离是50米，父子
俩同时从A点出发，逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑道B点，便沿直线跑。父亲每跑100米用20秒，儿子每跑100米
用19秒，如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第圈时，第一次再与父亲相遇。解：儿子每到达A点所用时间周期为：(400÷100)×1
9=76秒，父亲为：(200+50)÷100×20=50秒；在从A到B逆时针这段路上，儿子要跑76÷2=38秒，父亲要跑2
00÷100×20=40秒，40?38=2秒．只要在父亲到达A点后的2秒之内，儿子也到达A点，儿子就能从后面追上父亲．通过试
算可知76×2÷50=3……2，即父子第一次相遇时，儿子已跑完第2圈，也就是正在跑第3圈．答：儿子在跑第3圈时，第一次与父亲相遇．
例2．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇后，甲调头返回A地，乙继续前行，甲达到A地后调头往B地行驶，半小时后
和乙相遇，那么乙从A地到B地共需分钟。解：甲乙相遇用了3小时，所以甲返回A地还需要3小时，然后半小时后两车相遇。说明甲又走了他走
过的这段路程的，甲一共走了这段路程的，而乙走了这段路程的，于是两车速度比是=7：5,则甲、乙走这段路程的用时之比就是5
:7，甲走3小时的路程，乙需要用，乙从A到B共需要3+4.2=7.2小时.例3．甲、乙两人同时从A地出发匀速走向B地，与此同时
丙从B地出发匀速走向A地，出发后20分钟甲与丙相遇，相遇后甲立即调头；甲调头后10分钟与乙相遇，然后甲再次调头走向B地。结果甲走到
B地时，乙恰好走过A、B两地中点105米，而丙离A地还有315米。甲的速度是乙的速度的倍，A、B两地间的距离是米。解：先看甲、
乙的速度关系，甲先走了20分钟，调头又走了10分钟，而在这30分钟中，乙走了甲10分钟的路程，所用甲、乙的速度比是3:1，
我们再从甲、乙、丙的路程关系中入手：假设全程为S，从乙开始到最后共走了米，那么甲就共走了米，而丙一共走了S?315米。又知道甲
、丙相遇之时甲所走的路程正好是米，此时丙走了米，说明从甲丙相
遇后到甲走到B地，丙恰好走了这段时间乙共走的路程为：米。所以乙、丙的速度比是，所以甲、乙、丙速度比是6:2:3，从甲丙第
一段的路程比得解得S=1890米。例4．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，
两车分别到达B地和A地后，立即返回。返回时，甲车的速度增加二分之一，乙车的速度不变，已知两车两次相遇处的距离为50千米，则A、B两
地的距离是千米。解：把路程分成5份，甲乙两车的速度比是40:60=2:3，第一次相遇时，甲行了2份，乙走了3份，当甲走到
B地时，走了3份，乙走了4.5份，恰好走到AB的中点，甲速度提高了二分之一，与乙的速度相同，再次相遇在离B地四分之一的全程D处。两
次相遇地点C、D的距离是全程的所以A、B之间的距离为千米。模块二、多人相遇追及例5．10
:00，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，10:12，甲、乙两人相遇，10:13，甲遇上了从B地骑车去A地的
丙，10:15，丙追上了乙，丙追上乙之后立即调头，在10:19追上甲，丙从B地出发的时间是10点分秒。设甲、乙、丙的速
度分别是V甲、V乙、V丙，甲乙两人在C点相遇，则AC=12V甲，BC=12V乙，第13分钟，甲与丙在E点相遇，则CE=V甲，15
分钟时丙追上乙，丙在2分钟内走了2V丙=EC+CD=V甲+3V乙，19分钟时，丙在F点追上甲，则丙在6分钟内走了6V丙=EC+C
D+DC+CF=V甲+6V乙+7V甲，得3V乙=5V甲，所以2V丙=6V甲，即V丙=3V甲，在10点13分钟以前，丙走了BE=B
C?CE=12V乙?V甲=19V甲，所以丙在这之前用了19V甲÷3V甲=6分钟。丙出发的时间是10点6分40秒。例6．甲从A地出发
前往B地，乙、丙两人从B地出发前往A地，甲行了50千米后，乙和丙才同时从B地出发，结果甲和乙相遇于C地，甲和丙相遇于D地，已知甲的
速度是丙的3倍，甲的速度是乙的1.5倍，C、D两地之间的距离是12千米，那么A、B两地之间的距离是千米。解：三人速度比：V甲:
V乙:V丙=3:2:1EC:BC=3:2，所以BC=BE，ED:BD=3:1，所以BD=BE，解得B
E=80千米。所以AB=80+50=130千米。例7．阿呆、阿瓜两人同时从A地出发前往B地，与此同时萱萱从B地出发前往A地，阿呆与
萱萱的速度比是5:3，它们在途中的C点相遇，相遇后萱萱马上调头返回，速度不变，一段时间后被阿瓜追上，此时萱萱再一次调头，速度仍
然不变，当萱萱再次到达C点时，阿呆恰好到达B地，而阿瓜距B地还有6千米，那么A、B两地之间的距离是千米。解：根据“阿呆与萱萱的速
度比是5:3”可得：他们在C点相遇时所走路程也是5:3，不妨把全程设为8份，如图所示：由“相遇后萱萱马上调头返回，速度不变，
一段时间后被阿瓜追上．此时萱萱再一次调头，速度仍然不变．”假设萱萱从C点返回在D点被阿瓜追上，画出路线图：不难发现萱萱从C点
返回到D点和从D点返回到C点所走路程是相同的，即两个CD的长度，那么对应时间一定相等，而萱萱走两个CD时间，阿呆刚好从C点
走到B点，所以萱萱走一个CD的时间，阿呆刚好走到CB的中点，我们可以由此求出CD的长度，因为萱萱与阿呆的速度比是3:
5，所以阿呆从C点走到CB的中点，走了1.5份的路程，解得CD=0.9份，又由于萱萱到达D点时刚好被阿瓜追上即，阿瓜走了5
.9的路程时，阿呆走到了CB中点E，CE=1.5份，AE=6.5份的路程，如下图所示：由此可推出阿呆与阿瓜的速度比是65:
59，那么最后当阿呆到达B点时，阿瓜距B点还有6千米可以看做阿呆走了65份，阿瓜走了59份，推出全程65千米．例8．A在
B地西边60千米处，甲、乙从A地，丙、丁从B地同时出发。甲、乙、丁都向东行驶，丙向西行驶，已知甲、乙、丙、丁的速度依次成一个等差数
列，甲的速度最快，出发后经过n小时乙、丙相遇，再过n小时，甲在C地追上丁，则B、C两地相距千米。解：n小时乙、丙路程和AD+B
D=60千米，由甲、乙、丙、丁的速度依次成为等差数列，可知n小时甲、丁路程和AE+BF=60千米，而2n小时甲比丁多走AB
=60千米，这时甲、丁路程和为60×2=120千米，所以甲走了(120+60)÷2=90千米，B、C相距90?60=
30千米．随堂练习1．王师傅驾车从A地开往B地交货，如果他往返都以每小时60公里的速度行驶，正好可以按时返回甲地。可是当到
达乙地时，他发现他从甲地到乙地的速度只有每小时55公里，如果他想按时返回甲地，他应该以每小时千米的速度往回开。解：从A地到B地时
，速度为55公里/小时，两个速度的比为12:11，所以时间多用了原来的。返回时，要求时间比原来少用，即
返回时间:预定时间=10:11，所以返回的速度:预定速度=11:10，所以返回速度是公
里/小时。2．甲、乙两人从A地步行去B地，乙早上6:00出发，匀速步行前往；甲早上8:00才出发，也是匀速步行前往，甲的
速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时，那么甲出发后经过分钟才能追上乙。解：设乙的速度为v，则甲的速度为2
.5v，甲每行进半小时都需要休息半小时，如果用平均速度算容易出错。我们列表来计算：时间甲乙时间甲乙0小时3小时0.5小时3.5
小时1小时4小时1.5小时4.5小时2小时5小时2.5小时5.5小时3.75v2v05v5v5.5v1.25v2.5v5v6v1.
25v3v6.5v3.5v6.25v2.5v7v4v2.5v6.25v4.5v3.75v7.5v7.5v所以经过5.5小时=330
分钟，甲追上了乙。3．甲以每分钟60米的速度从A地出发去B地，甲出发5分钟之后，乙以每分钟80米的速度从B地出发去A地，结果他们在
距离两地中点100米的某处相遇，A、B两地相距米。解：设乙走了x分钟，有两种情况，（1）若相遇时，乙超过中点100米，则80x
?60×(x+5)=100×2，解得x=25（分钟），所以60×(25+5)+80×25=3800(米)；（2）如果相遇时，乙还距
中点有100米，则60(x+5)?80x=200，解得x=5（分钟）。所以60×(5+5)+80×5=1000(米)；故答案为：3
800米或1000米．4．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向匀速而行，当甲行驶过A、B中点12千米时，两车相遇。若甲比乙晚出
发10分钟，则两车恰好A、B中点相遇，且甲到达B地时，乙距离A地还有20千米，那么A、B两地间的距离是千米。解：先看下一张图，当
甲、乙在中点相遇后，甲到达B地时，乙距离A地还有20千米，把这20千米画到第一张图中，即甲走到中点时，乙距离中点还有20千米，
然后他们在距离中点12千米处相遇，即甲走了12千米，乙走了20?12=8千米，所以他们的速度比是12:8=3:2，设
AB两地的距离为S，则解得S=120千米，答：A、B两地的距离是120千米。5．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，且在
A、B两地之间往返来回匀速行驶，若两车第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B地，而乙车只行驶了1小时就到达A地，两车第15次（在A
、B两地相遇的次数不算）相遇时，它们行驶了小时。设甲的速度是V甲，乙的速度是V乙，同时出发到相遇，甲和乙都走的时间为m，则由题可
知：mV甲÷V乙=1，mV乙÷V甲=4，两式相乘得，m2=4，m=2。代入第一式得V乙=2V甲，甲每走完一次全程得用6小时，乙走完
一个全程需要3小时，第一次相遇时，两人共走了1个全程，用时2小时，第二次相遇时，两人又合走了2个全程，用时4小时，而此时甲、乙恰好
都在B地，第三次相遇，两人又合走了2个全程，用时4小时，即第一次相遇之后，再每过4小时，他们再次相遇，即相遇的时间依次为2、6、1
0、14、18、22、26、30、…，其中6、18、30、…次是在A地或B地相遇。所以除第一次外，再每过12小时有两次在中途
相遇，总用时为2+12×(14÷2)=86（小时）。6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B间往返行走，甲出发的同时，丙
也从A地匀速出发去B地，当甲、乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C；当丙走到C时，甲又往前走了108米，当丙到达B时
，甲、乙正好第二次迎面相遇，那么A、B两地之间的路程是米。解：设A、B间的距离是S，则V甲:V丙=108:100=27
:25，当丙到B时，甲走了，此时甲、乙第二次相遇，两人共合走了3S，所以乙走了，所以V甲:V乙=27:48，在甲、
乙第一次相遇时，甲走了，而丙走了，所以,解得S=3750米。7．甲、乙、丙三人同时从A出发去B，甲、乙到B后调头回A，并且
调头后的速度减少到各自原来速度的一半，甲最先调头，调头后与乙在C迎面相遇，此时丙已行2010米；甲又行一段后与丙在AB的中点D迎面
相遇；乙调头后也在C与丙迎面相遇，那么A、B间的路程是米。解：设AB间的距离为S，丙的速度为V丙，甲的速度为V甲，丙与甲在中点相
遇，甲以原速走完全程，又以半速走完半程，解得V甲=4V丙，所以，又∵甲与乙在C点相遇，乙与丙也在C点相遇，∴V甲:V乙=V
乙:V丙，解得V甲=2V乙，V乙=2V丙，所以当甲走到B点时，乙走到AB的中点，此时甲的速度降低到一半，与乙的速度相同，所以甲
与乙在距离B点四分之一AB处相遇，即乙走了四分之三的AB，此时丙走了八分之三的AB，所以
，解得AB=5360米。8．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向匀速而行，当甲、乙在途中C地相遇时，丙从B地出发，匀速去A地
；当甲与丙在D地相遇时，甲立即调头且速度降为原来的80%；当甲、丙同时到达A地时，乙离A地还有720米。如果C、D之间的路程为900米，那么AB之间的路程是米。解：设全程为S，甲调头且速度降为原来的80%，与丙同时到达A地，说明V甲:V丙=5:4，因为CD=900米，甲从C走到D时，丙从B走到D，所以BD=900÷5×4=720米，所以BC=720+900=1620，甲从A回到A走了两个(全程?720)，此时乙走了一个(全程?720)，而甲走的第二个是用80%的速度走的，即如果甲后面也用原速将走了个(全程?720)，所以V甲:V乙=(1+):1)=9:4，而开始乙走了BC=900+720=1620米，此时甲走了AC=1620÷4×9=3645米。所以全程AB=1620+3645=5265米。下课了！ |
|
