2005年第44卷第4期数学通报37
二次曲线定点弦性质的拓广
姜鞠糠
(山东省邹平县教育局教研室256200)
文[1]给出了二次曲线定点弦的如下两个性质：
．22
性质1椭圆、双曲线与±％=1(口>0，b>
口。D一
0)的过定点(m，0)(m≠0，且m≠±o)的一条弦的
两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨
．2
迹是直线算=竺．
Hb
性质2抛物线Y2=2px(P>0)的过定点(m，
0)(m≠0)的一条弦的一端点和抛物线顶点的连线
与过另一端点且平行于抛物线对称轴的直线的交
点的轨迹是直线z=一m．
这是两个优美的性质．现在我们提出新的问
题：若将性质1中的两顶点变更为焦点轴上关于曲
线中心对称的任意两定点，将性质2中抛物线的顶
点变更为对称轴上的任意一定点，其余条件不变，
则结论又如何呢?经过探讨，我们得到两个性质的
如下拓广．
．2．2
定理1给定椭圆乞+毛=1(o>b>0)，
nD—
M(m，0)(m≠0，且m≠±n)，N】(一n，0)(11,>0，
且n≠±m)，N2(n，0)是戈轴上的三个定点，P是椭
圆上一动点，直线PM与椭圆的另一交点为Q，则直
线PNl与QN2交点尺的轨迹：
一2
(1)当n=o时为直线石：旦；
¨L
(2)当(n2一m2)(02一n2)>0时为椭圆或圆；
(3)当(口2一m2)(82—17,2)<0时为双曲线；
证明如图1，设R(戈，Y)，P(菇1，Y1)，Q(戈2，
Y2)，则直线PQ的方程为
y=ibm(戈一m)，V=——～戈一m，，。茗l一
代人椭圆方程整理得
b2(02+m2—2mxl)x2—
2a2彬}戈+02[m2Y}一b2(省1一
m)2]：0．
，
‘帮8
≮“汐j
。
图1
由戈；，戈：为以上关于菇的二次方程的两根知
2a2my2札¨22而m：一面丽’
学题进行开放性地创造引伸，推广也是开创性的工
作，无数教师的辛勤劳动将把此类数学题不断完善，
并创造数学教学美，所谓和谐美是数学题中条件与
结论的和谐；又是数和形的和谐；更是解题方法与思
维策略的和谐；还是数学思想与思维途径的和谐．从
全文中还看出奇异美和简洁美，奇异美既是数学美
的基本内容，又是所用解法和结果的新颖、奇特、出
人意料，还是发现数学美的一条基本原则．徐利治教
授说：“奇异是一种美，奇异到极度更是一种美．”对
于内行来说，奇异性是使人感到所得结论“既在意料
之外，又在情理之中”的感觉，前者是奇特，后者是
和谐，简洁性是数学结构美的极重要的标志，也是数
学发现与创造的美学因素之一．最后要指出的是，思
维美、对称美、方法美、思维美、奇异美与简洁美都是
通过教学美来体现的．而只有在数学教学中，思维
美、对称美、方法美、和谐美、语言美、奇异美和简洁
美都应该是结构美的不同的体现形式．
总之，数学美就是数学的优美感．“数学的优美
感，不过就是问题的解答适合我们心灵需要而产生
的满足感…．”高考题的开放性教学充分说明数学
美的特征是对称美、和谐美、奇异美、简洁美．而数学
美的优美感是通过思维美、方法美、语言美、板书美
并通过数学美来体现的．
参考文献
1G．波利业．怎样解题．(M)．北京．科学出版社．1982年．P67
2吴宪芳．郭熙汉主编．数学教育学．(M)．武汉．华中师大出版
社．1999年．P41．
万方数据
38数学通报2005年第44卷第4期所以戈：=iii：ij；‰一戈。
一=鲨±竺尘!±兰竺：竺一
02+m2—2taxl
’
Yz2而Lz2一m，2而‘
!竺!二堡：!!兰!二竺!一!竺：二堡：211
02+m2—2mxl—02+m2—2mxl
直线PⅣ1，QⅣ2的方程(用戈l，y1表示)分别为
)，=煮(石+n)①
(02一存)yl，、
y2面■孑了磊瓦了i7石孬丽L—n，
②(i)若n：n，则①式变为)，：粤(戈+
。)，②式变为)，=瓦l三嘉景乞1b(髫一口)，由此。Lo一，n，～戈+o，
两式消去—上L得点R的轨迹为直线戈：旦=．
(¨)若／7,≠o，则由①，②式解得一嗜杀案等老等
③礼2‘ii■瓦了i孑=：万吲
y。=而若磬高等葡④yt5示i■瓦了i≯■罚④
因为点P在椭圆上，bZx：+aZy}一a2b2=0，所驸【等≥警高熘]2+
。2[；五j：_二号?；笔!；二。‰]2一。262：。．
将以上方程整理，得
b2m2(口2一，n2)(02一tl,2)戈2+。2，n2(n2一n2)2Y2
=n262n2(口2一m2)(口2一n2)。即番+瓦南=，．
()
m2m2(口2一n2)
于是，当(口2一m2)(02一rl,2)>0时，方程()
表示的曲线(即点R的轨迹)为椭圆或圆；
当(口2一m2)(CI,2—11,2)<0时，方程()表示的
曲线为双曲线．
综上，定理1得证．
定理2给定双曲线{一等：1(o>0，6>
0，)M(m，0)(m≠0，且m≠±o)，N1(一n，0)(n>
0，且n≠士m)，Ⅳ2(n，0)是菇轴上的三个定点，P是
双曲线上一动点，直线PAl与双曲线的另一交点为
Q，则直线PⅣl与QⅣ2交点R的轨迹；
．2
(1)当n=o时为直线戈=旦；
in
(2)当(血2一m2)(02一n2)>0时为双曲线；
(3)当(02一m2)(口2一凡2)<0时为椭圆或圆．
证明可仿照定理1的证明进行，从略．
定理3给定抛物线Y2=2px(P>0)，M(m，
O)(m≠0)，N(n，0)(n≠m)是菇轴上的两个定点，
P是抛物线上的一动点，直线PM与抛物线交于另
一点Q，则直线PN与过Q且平行于石轴的直线交点
R的轨迹：
(1)当n=0时为直线戈=一m；
(2)当凡≠0时为抛物线，，2：2p,n(茗+m一
，￡
n)．
证明如图2，设R(髫，y)，P(菇l，，，1)，Q(戈2，
y2)，则由P，M，Q三点共线可得Y1Y2=一2pro，故直
线PⅣ，qR的方程分别为
y：JL(戈一n)V=——L戈一nJ
。Xl—nv：尘
。
y1
由⑤，⑥解得
⑤
⑥
”宇∽札n，”宁．
因为Y；=2pxl，
行
0弋i
图2
所以玺笋：2p[二笋(茹一n)+n】，整理得
ny2—2pro(戈一n)一2pr02=0．()
(1)当n=0时，方程()变为菇=一m，即
点R的轨迹为直线；
(ii)当n≠0时，方程()可化为：y2=
竽(茹+m—n)，故点R的轨迹为抛物线．
综上，定理3得证．
参考文献
金美琴．二次曲线的定点弦．数学通报，2003．7
万方数据
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