中学数学研究2004年第9期
+b+c—Aa)+(口+b+c—Ab)+(n+b+c—Ac)]。‘百万‰+i而镐+
瓦万梳]≥9·②
由柯西不等式，②式显然成立，命题获证．
在定理27当中，令叉一』，A斗尘，得到下面
PP
的推论3和推论4．
推论3若口，b，c都是正实数，且(∥一1)
。口"4-加"4-t．zc>0，肛-I-(P一1)b4-肛>0，膨4-
zb4-(∥一1)c>0，则瓦_‰+
不矗b!而b+而b一习=i≥≠一1．∥(口++c)一’p(n++c)一c／3∥一
‘
推论4若n，b，c都是正实数，且(∥一A)
‘口+产6-I-肛>0，／za+(∥一A)b+肛>0，Ha+
加+(p—A)c>0，贝0有
瓦万-it-』b-4-万IAa+五万-I-者b万五Ab+∥(口c)一。产(口+f)一
‘
C＼j及再百再而；乡虿i’
。参考文献
[1】罗欲晓．一个不等式的加强．数学通报．2003，5，
s习e噜岛e唏岛岛岛％s寻s彳s寻s每岛岛s彳s年‰‰‰‰嘞‰岛e匀e唏e唏e晦‰嘞％‰％％e晦岛‰‰岛％％≮e啤
过焦点轴上定点相交弦的一个有趣性质
河南质量工程职业学院数理室(467000)孙秀亭李永利
文[11、[21相继给出了圆锥曲线的焦点弦
与定点弦的耐人寻味的性质．我们经过探究，得
到圆锥曲线的过焦点轴上一定点两相交弦颇有
趣味的性质，现抄录于下与君共赏．
定理1如图1，给定圆37,2+了2=r2(r>
0)，过定点M(791．，0)(m≠0且Iml
两条相交弦AB、CD，则直线AC与BE)的交点
一2
N的轨迹是直线z=7-．
定理2如图2，给定辑圆享+菩=1(口>
b>O)，过定点M(m，0)(m≠0且Iml<口)任
作两条相交弦AB、CD，则直线AC与BD的交
点N的轨迹是直线z：Z．
A厂融
≮O弩廿N一
图1图2
定理3如图3，给定双曲线气一告=l(a
n0
>O，b>O)，过定点M(TZZ，0)(优≠O且J优I>
口)任作两条相交弦AB、CD，则直线AC与BD
一2
的交点N的轨迹是直线z=生．
7T／,
定理4如图4，给定抛物线Y2=2缸(P
>0)，过定点M(m，0)(m>O)任作两条相交
弦AB、CD，则直线AC与BD的交点N的轨
迹是直线z=一7"1Z．
Ⅵ旎。
／o雨。
B
了。A
N／扩。
为&主
D
图3图4
以上四个定理的证明是类似的，因此只给
出定理2的证明．
证明设过M(优，0)的直线参数方程为
{z2仇+。cOS口’()，则A、B、c、D四点的坐
Ly2tsma．
标可分别设为：
·】3·
万方数据
2004年第9期中学数学研究
A(m+tlOOSOt，tlsina)，B(m+t2cosa，
t2sina)，C(m+Slcos卢，Slsill卢)，D(m+
s2eosfl，szsinfl)．
直线AC．y1sin口=嚣笋器(z
—m—tl∞s口)，
直线BD．y1：si们=嚣笋篆(z
一优一t2(x)sa)，
·．‘直线Ac与肋相交，．·．}≠}，即：s1￡2
厶，5，
一52tl≠0．
联立以上两个方程，解得(注：可约去因子
sill(a一卢))N点的坐标分别为：
s152(t2一t1)∞s卢+tlt2(51一S2)cOs口z—
slt2一￡1s2
+m，
S1S2(t2一t1)sin／?+tlt2(s1一S2)sina
Y—
slt2一tls2
’
所以(slt2一￡1S2)(z一772)=Sls2(t2一‘1)
·∞s卢+tlt2(51一S2)00sa．(1)
(slt2一tlS2)y=SlS2(t2一t1)sin卢+tlt2·
(S1一s2)sina．(2)
将()式代入享+荸21，并整理得：
(62∞孑口十a2sin?口)t2+2b2mCOSat·t+
627722一n2b2=0．
由韦达定理得：
．2bomCosot￡1扎22一磊孑i丽，
t。￡2=瓦bi2mi2-五a≮2b蕊2，
所以等=再2mo孑osa．
所以2tacosa￡1￡2=(￡l+t2)(口2一优2)，(3)
同理2mcos屉1S2=(s1+S2)(口2一优2)，(4)
于是，由(1)、(2)、(3)、(4)知：
2m(z—m)(S1￡2一tls2)=2msls2(t2一
t1)oⅨ泸+2rotlt2(s1一s2)eosa=(t2一t1)(sl+
S2)(口2一m2)+(s1一s2)(￡1+￡2)(口2一m2)=
·14·
[(t2一t1)(s1+s2)+(s1一S2)(t1+t2)](a2一
m2)=2(51￡2一tls2)(口2—7722)．
所以m(x—m)=(口2一m2)，即批=
a2．故直线AC与BE)的交点N的轨迹是直线
．2
z=生．定理2得证．
由以上几个定理可知，当定点M在圆锥
曲线的内部时，动点N的轨迹是一条垂直于z
轴的直线；当定点M在圆锥曲线的外部时，动
点N的轨迹仍是一条垂直于z轴的直线，但需
去掉含在圆锥曲线内部的部分，即N点的轨迹
是去掉含在圆锥曲线内部的线段后所剩余的两
条垂直于z轴的射线．
推论1[1]设AB、CD是圆锥曲线过焦点
F的两条动弦，弦端点连线AC、BE)相交于点
N，则动点N的轨迹是圆锥曲线的相应准线．
推论2Ⅲ椭圆§+篆=l(a>6>o)的
过定点M(m，0)(优≠0，且Iml
芷a2一荸21(口>o，6>o)的过定点M(m，o)
(ImI>口)的一条动弦AB的两个端点和其焦
点轴上的两端点的连线的交点N的轨迹是直
线z：建．m
推论3圆z2十Y2=r2(r>0)的过定点
M(优，0)(m≠-0，且lmI
端和z轴上圆的直径的两端点的连线的交点
2
N的轨迹是直线z=r．
推论4【2]抛物线y2=2舡(乡>0)的过定
点(m，0)(m>0)的一条动弦的一个端点和抛
物线顶点的连线与过另一端点且平行于抛物线
对称轴的直线的交点的轨迹是直线X=一m．
注：由于z轴正方向无穷远处可视为抛物
线的另一虚拟顶点，因此动弦的另一端点与抛
物线另一(虚拟)顶点连线可视为与z轴平行
的直线．
本文定理揭示了圆锥曲线过定点M(m，
万方数据
中学数学研究2004年第9期
O)的相交弦与垂直于z轴的直线z=生(或z
1f0
．2
=：：：或z=一777,)间的关系．特别地，当直线AB
与CD重合时(点A与点C重合，点B与点D
重合)，直线AC与BD．退化为圆锥曲线的切
线．因此，可得如下推论．
推论5给定圆z2+y2=r2(r>0)，过定
点M(m，0)(m≠0，且l优I
于A、B两点，则过A、B两点的圆的切线交点
2
N的轨迹是直线z=r．
7／／,
推论614]给定椭圆≤+篙=1(n>b>
口一D一
0)，点M(m，0)(m≠O，且ImI<口)是z轴上
的一定点，或给定双曲线≤一y，22=1(口>o，b>口
D
0)，点M(m，0)(ImI>口)是z轴上的一定
点，过M任作直线与椭圆或双曲线相交于A、
B两点，则动弦AB两端点的切线交点的轨迹
是直线z=生．
，，￡
推论7【4]给定抛物线y2=2px(p>0)，
过定点M(m，0)(m>0)任作直线交抛物线于
A、B两点，则过A、B两点的切线交点的轨迹
是直线z=一m．
推论8[3】AB是过圆锥曲线焦点F的一
条动弦，则两端点A、B处的切线交点N在与
该点F对应的准线z上．
参考文献
[1]廖应春．圆锥曲线焦点弦的一个性质．数学通报．
2003。4．
[2]金美琴．二次曲线的定点弦．数学通报，2003，7．
[3]邱昌银．圆锥曲线的准线切线焦点弦的相关性，
数学通报，2003，11．
[4]李永利，孙秀亭．二次曲线定点弦的一个优美性
质，数学通报，2004，9．
s每e哞s刁毒筇s每e咯s辱e每e噜s彳s每s寻s彳s每s每s耳e晦s寻s寻e≮s每e晦s耳s耳e唏s每e晦e唏s每s耳e晦e≮s每e噜s每e哞e喙e峰s每s牟芒晦s每
各地高考客观压轴题面面观
江苏省苏州I市木渎第二中学(215101)吴建良母建军
纵观2004年全国各地高考的数学客观压
轴题，有的题目出得独具匠心，构思非常巧妙，
令人赏心悦目；有的看似很难，但考得较为灵
活，只要你“脑筋急转弯”，就能巧夺天工．
1．(全国)已知口2+b2=1，b2+c2=2，c2
+口2=2，则口6+＆十ca的最小值为()．
(A)朽一百1(mI一拈
(c)一告一拈(D)告+拈
分析：利用对称性考虑，由已知条件得c2
=詈，且岔，b对称，因此要使ab+bc+∞最
小，只要口一6，即口=6=雩，c=一譬或口=6
=一譬，c=譬时有最小值吉一招，故选B．
2．(全国卷必+选)设函数，(z)(z∈R)
为奇函数，f(1)=音，f(x+2)=厂(z)+f(2)，
则厂(5)等于()．
(A)O(B)1(c)昔(D)5
分析：简单的赋值递推，由题意知厂(一1)
=一寺，令z=一1，得f(一1+2)=厂(一1)+
，(2)，所以厂(2)=1，令z=1，得厂(3)=普，令
·15·
万方数据
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