一元二次方程整数根问题解法
安徽和县沈巷中学王跃树
有关一元二次方程的整数根间题,经常在数学竞赛试题中出现解它
们一般需要用到求根公式,根与系数的关系及整数的奇偶性等知识下面
介绍三种常用的方法,供同学们参考
一、求根
若所给的一元二次方程的判别式为完全平方式,则应先求根再根据
题目要求求解
例已知方程矿一一乞一十,十一。有两个不等的负
整数根,则的值是第四届《祖冲之杯》数学邀请赛试题
解乙〔一〕一一
〔〕气
丫方程有两个不等的根,。,即笋一
又矿一笋,笋土
由求根公式,得原方程的两根为
士
二一
。
·’石一万二石’八一万百万
显然仅当一一时,,,为两个不等的负整数
。一
二、利用浮民与系数的关系
若所给的一元二次方程的判别式不是完全平方式,则可根据根与系
数的关系列出方程组,再消去参数,应用根为整数的条件求解
例方程尹的两根都是非零整数,且十昭,
则年一海市初中数学竞赛题
解设两根为,,,由根与系数的关系,得
①②”
、砚
十工一户,
②一①,得一
即,一
丫一,了一
一
八一
均为整数,
尹‘、了尸‘,了、、一,
一
一二一,
一一,
一一
一,
一
一一
工
夕
产‘‘、
一
褚、,飞
其中两根都是非零整数的是
,
一一了一一
三、换元
若所给的一元二次方程的判别式不是完全平方式,但根据整数根的
条件知。应设为一个完全平方数的形式,再换元成两数平方差的形式,利
用整数的奇偶性解题
例已知方程扩一二笋的两根都是整数,试
求整数的值年四川初中数学竞赛题
解设两根为,,由二,二是整数根知。一一“一。
且是一个平方数,设
一,一,即一十①
设一一,,
则一一,即、树一
因十和一阴的奇偶性相同,故得
一,一。
气一阴一乙。一。
把一代入①得一一
,,一。舍去,’笋。
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