略论数学方法在中学物理教学中的运用
(2009-12-1609:52:31)
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1987年1月国家教委颁发的《全日制中学物理教学大纲》中把“运用数学解决物理问题的能力”修改为“分析和解决实际问题的能力”笔者参加了教学大纲的审查，体会到这是针对把“运用数学解决物理问题的能力”片面理解为“解题能力”，大搞“题海战术”的倾向而修改的，其目的是为了突出分析和解决实际问题的能力，当然其中也包括运用数学解决物理问题的能力在内。可是教学大纲这一改动，引起了部分中学物理教学工作者对数学方法在中学物理教学中有哪些作用以及运用数学方法解决物理问题时应该注意哪些问题产生了不同的认识，甚至有的教师认为数学方法在中学物理教学中的运用已不重要了，以致影响了中学物理教学质量的进一步提高。本文仅就笔者以往多年教学实践的经验，着重谈谈数学方法在中学物理教学中多方面的运用及其应该注意的一些问题。
一、数学方法在研究和分析、解决物理问题中的重要作用
数学和物理两门学科具有密切的联系。数学知识对于物理学科来说，决不仅仅是一种数量分析和运算工具；更主要的是物理概念的定义工具和物理定律、原理的推导工具；另外，运用数学方法研究物理问题本身就是一种重要的抽象思维，因此，数学也是研究物理问题进行科学抽象和思维推理的工具。数学方法在中学物理教学中的重要作用，主要的有如下几个方面。
l．培养学生运用数学方法研究物理问题的能力
（１）培养学生在实验的基础上，运用数学方法表达物理过程、建立物理公式的能力。在研究物理现象的过程中必须引导学生把实验观测和数学推导这两种手段有机地结合起来。只有这样，才能获得关于某种现象的全面的、内在的、本质的认识。这就是以观察、实验的感性材料为依据，运用数学方法（包括公式和图像）来对其进行计算、分析、概括、推理，得出经验规律，并进一步抽象为物理定律。中学物理中的许多定律，例如电阻定律、欧姆定律、牛顿第二定律、气体实验三定律，光的折射定律等都是从实验出发，经过科学抽象为物理定律，最后运用数学语言把它表示为物理公式的。这是研究物理的基本方法之一。
（2）培养学生应用数学知识来推导物理公式的能力。物理学中常常利用数学知识研究问题，以高中物理“直线运动”这一章为例，就要用极限概念和图像研究速度、加速度和位移；用代数法和三角法研究运动规律和轨迹；用矢量运算法则研究位移与速度的合成和分解等。另外，物理学中常常运用数学知识来推导物理公式或从基本公式推导出其它关系式，这样既可以使学生获得新知识，又可以帮助他们领会物理知识间的内在联系，加深理解。
２.培养学生运用数学表达式或图像来描述、表达物理概念和规律的能力
数学是定义物理概念表达物理规律的最简洁、最精确、最概括、最深刻的语言，许多物理概念和规律都要以数学形式（公式或图像）来表述，也只有利用了数学表述，才便于进一步运用它来分析、推理、论证，才能广泛地定量地说明问题和解决问题。例如，气体的等温变化，通过实验得到下面的结论：温度不变时，一定质量的气体（理想气体）的压强跟它的体积成反比。这就是玻意耳——马略特定律。可以用数学表达式表示出来，即。于是，玻意耳——马略特定律也可以叙述为：温度不变时，一定质量的气体（理想气体）的压强跟它的体积的乘积是不变的，其数学表达式为：PV=C（恒量）。气体的等温变化还可以用函数图像（等温线）来表示。
3．培养学生应用数学知识进行定量分析数量运算、判断、推理、论证和变换来解决物理问题的能力
抽象思维在物理学中很重要，而在物理学中进行抽象思维的时候，数学是不可缺少的非常用力的工具，它可使人们能从已知的物理定律或理论出发，利用数学的逻辑推理方法推导出新的规律或建立新的理论人。例如，牛顿在开普勒行星运动规律的基础上，利用数学方法导出了万有引力定律。中学物理教学应该有计划地进行这方面的训练，培养学生推理、探索的能力和创新精神，从而提高他们的科学“预见”能力。我们认为，物理关系式的推理论证工作不仅在于得出它的数学表达式，而且更重要的是要把它作为发展学生逻辑思维能力和纠正学生形式主义学习偏向的一个重要手段。例如，高中物理讲过闭合电路的欧姆定律后，为了让学生掌握电源的路端电压U和内电压U＇随外电路电阻R的改变而变化的规律，弄清变化的最大值，同时也为了发展学生的逻辑推理的思维能力，应该引导他们运用数学知识来分析、推证：①当R→∞时，U=？②R→0，U＇=?这时不但要把公式进行变换，而且还要用到极限的概念。
运用数学知识解答物理问题是物理概念和规律的具体应用。从理解物理知识到应用知识解答物理问题，这是学生认识过程中的一次“飞跃”。因此，教师应当有计划地逐步培养学生分析、解答物理问题的能力。
二、运用数学方法来分析、解决物理问题时应该注意的问题
①运用物理定律或公式分析解决实际问题时，一定要使学生在明确物理定律或公式是怎样建立或导出的基础上，弄清物理定律或公式的来龙去脉，而不能只是机械地记住物理公式或图像。例如浮力公式（阿基米稳定律）F浮＝ρｇＶ，不但要使学生明确式中的ρ是指流体（液体或气体）的密度，而不是物体的密度；式中的V是指物体排开流体的体积，而不是物体的体积。更重要的还要让他们弄清物体在流体中所受的浮力是怎样产生的（物体在流体中受到向上的压力比向下的压力大，这两个压力的差就是流体对物体的浮力），浮力的方向总是坚直向上的。应该使学生弄明白：F浮＝ρｇＶ是浮力大小的量度公式，而不是决定公式，决定浮力大小的是浸在流体里的物体所受流体的向上和向下的压力差。譬如下面一道练习题：“河旁有一木桩，露出地面的体积为5（分米）3，当涨潮时，河水把木桩全部淹没，求此时水对木桩的浮力是多大？”学生在解题时如果没有弄清浮力是怎样产生的，而目是机械地死套浮力，将会得出错误的结论F浮＝ρｇＶ＝1千克／（分米）3×9.8牛顿／千克×５（分米）3=49牛顿。实际上，由于在题给的情况下，木桩并没有受到水对它向上的压力，所以水对木桩的浮力为零。这时浮力公式F浮＝ρｇＶ不能应用。
②在物理公式中运用数学知识时，一定要使学生弄清物理公式或图像所表示的物理意义，不能单纯地从抽象的数学意义去理解物理问题，要防止单纯从数学的观点出发将物理公式“纯数学化”的倾向。这就是说，要注意不能把物理意义淹没在数学表述式中。物理与数学毕竟各有特点，二者有各自不同的研究对象和方法，一个数学函数式可以表示事物间的多种相互关系，而一个物理公式总是具有特定内容的，一定要在明确物理内容的基础上运用数学工具。在有关图像的教学中，应该把“形”与它所反映的物理内容联系起来，用图形来直观地表示其物理内容，还应该引导学生弄清楚用数学来解决物理问题时，必须受到物理概念和规律的制约，有时从数学知识上来看是合理的，而从它的物理意义上来看出不合理，也就是说，受限于物理现象的本质，数学知识的应用有其局限性和特殊性。例如，一定质量的理想气体在多温变化时PV=C（恒量）从数学上看，双曲线有两三支，但从物理本质上看，气体压强和体积不能取负值，因此，它的图像就只能限于第一象限。
③表达物理概念或规律的公式都是在一定条件下成立的，在运用数学解决物理问题时，一定要使学生弄清物理公式的适用条件和应用范围。例如，真空中库仑定律的公式只适用于两个相对静止的点电荷。值得注意的是，如果从“纯数学化”观念来看，上式中当r→0时，F→∞，但这样的讨论在物理上是毫无意义的，这时Q1，Q2的相互作用是很复杂的，库仑定律描述不了它们之间的相互作用。
有些学生由于对物理规律和公式缺乏本质的理解，忽视条件，用单纯数学的观念来看待物理公式，以致产生一些自相矛盾的模糊认识。例如，对于匀速圆周运动向心力的公式和。有些学生提出“为什么匀速圆周运动的向心力跟半径既成反比，又成正比呢？”产生这些模糊认识和错误的原因，就在于他们忽视公式的物理意义和条件，对于具体事物不作具体分析。
④运用数学知识来推导物理公式或从基本公式导出其它关系式时，应该注意：有些物理定律虽然可以从别的物理定律推导出来，但要引导学生弄清所讨论的物理定律是怎样建立的以及它跟相关联的物理定律有什么关系。例如，动量定理虽然可以由牛顿第二定律推导出来，但不能简单地把它看作是牛顿运动定律的一个推论。事实上，二者是互要独立的定律，要具体分析它们各自的特点。牛顿第二定律只表明外力对物体的即时作用（力的瞬时效果），因此，公式中F是即用力是即时加速度。动量定理却表明外力在一段时间△t里对物体的持续作用所获得的效果：促使物体的动量发生变化。因此，动量定理反映了外力在这段时间里的积累效果（累积效应〕。
⑤最后，我们认为做练习是物理教学中经常使用的理论联系实际的方法之一，由于实际问题是各种各样的，物理练习也相应地要有多种形式。如选择题、问答题（或说理题）、实验题、作图题（包括图像）、推导论证题、讨论判断题、设计题、计算题等。做好这些练习的都是为了加深对所学知识的理解；同时也是训练和培养思维能力、分析能力、逻辑推理能力以及运用数学解决物理问题能力的重要途径。值得指出的是，当前中学物理教学重视搞清物理概念和提高解题能力，对提高物理教学质量起了良好的作用；但在物理练习的训练上，也存在着片面性和倾向性的问题，主要表现在：过分偏重于计算题的解题训练，而忽视实验、忽视多样化的各种练习。在解题训练方面又偏高、偏难、偏多，偏重于搞所谓“综合题”（有的是缺乏实际意义和理论意义，为综合而综合从主观想象中杜撰或拼凑出来的人为“综合题”），而忽略了题设的物理过程是否能实现。这样搞下去，不但无助于学生加深对物理概念和规律的理解。反而使学生感到物理枯燥难学，束缚他们的思给，挫伤学习积极性，既加重学生的课业负担，又不利于提高他们运用数学解答物理问题的能力，根本达不到培养、提高分析、解决实际问题的能力的目的。
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