专题：物理解题中的数学方法
物理学中常用的数学方法
数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有力工具．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确要求，要求考生有“应用数学处理物理问题的能力”．
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永恒主题．可以说，任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题再经过求解还原为物理结论的过程．
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法．处理中学物理问题，常用的数学方法有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等．
一、极值法
数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．
1．利用三角函数求极值
2．利用二次函数求极值
3．均值不等式．
二、几何法、
利用几何方法解物理题时，常用到的是“对称点的性质”、“两点间的直线距离最短”、“三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识．如带电粒子在有界磁场中的运动类问题、物体的变力分析时经常要用到的相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，其难点往往在圆心与半径的确定上．判定方法有以下几种．
依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点
作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线长为半径．
依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，并平分弦所对的弧)和相图14—1
交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)来确定半径，如图14—1所示．
此两种求半径的方法，常用于带电粒子在匀强磁场中运动的习题中．
三、图象法
中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化。图象的方法是历年高考的热点，因而在复习中要密切关注图象．(如图象的识别、制作等)
1．物理图象的分类
整个高中教材中有很多种不同类型的图象，按图形形状可分为以下几类．
(1)直线型：如匀速直线运动的位移一时间图象(s—t图)、匀变速直线运动的速度一时间图象(v-t)图)、恒定电路中的电压—电流图象(u—I图)等．
(2)正弦曲线型：如振动的x—t图、波动的y—x图、交变电流的e—t图、振荡电流的i—t图及电量的q—t图等．
(3)其他型：如共振曲线A—f图、分子力与分子间距离的f—r图等．下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾，对物理图象有个较为系统的认识和归纳.
2.物理图象的应用(1)利用图象解题可使解题过程更简化，思路更清晰图象法解题不仅思路清晰，而且在很多情况下可使解题过程得到简化，比解析法更巧妙、更灵活．在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是运用图象法则会使你豁然开朗-如变力分析中的极值类问题等．
(2)利用图象描述物理过程更直观
物理过程可以用文字表述，也可用数学式表达，还可以用物理图象描述，但从物理图象上可以更直观地观察出整个物理过程的动态特征．诚然，不是所有过程都可以用物理图象进行描述的，但如果能够用物理图象描述，一般说来总是会更直观且容易理解．利用图象描述物理过程一般包括两个方面：①将物理过程表述为物理图象，②从物理图象上分析物理过程．
(3)利用物理图象处理物理实验数据
运用图象处理物理实验数据是物理实验中常用的一种方法，这是因为它除了具有简明、直观、便于比较以及可以减少偶然误差的特点之外，还可以求解第三个相关物理量，且运用图象求出的相关物理量也具有误差小的特点．
在讨论实验误差时，通常采用数学分析的方法．但有时运用数学法分析显得很繁琐，且物理意义不太清晰，倒不如一幅图象简单、明了．
3．中学物理中重要的图象
(1)运动学中的。S-t图象、v-t图象、振动图象以及波动图象等．
(2)电学中的电场线分布图、磁感线分布图、等势面分布图、交变电流及电磁振荡图象等．
(3)实验中的图象．如验证牛顿第二定律时要a--F图、a一1/m图，用“伏安法”测电阻时要画I一U图，测电源电动势和内电阻时要画U--I图，用单摆测重力加速度时要画的T2一L图等．
(4)在各类习题中出现的图象．如力学中的F--t图、电磁振荡中的q—t图、电学中的P--R图、电磁感应中的Φ一t图、E—t图等．
4．对图象意义的理解
(1)首先应明确所给的图象是什么图象，即认清图象中横、纵轴所代表的物理量及它们的“函数关系”，特别是对那些图形相似、容易混淆的图象，更要注意区分．例如振动图象与波动图象、运动学中的S一t图象和v—t图象、电磁振荡中的i—t图象和q—t图象等．
(2)要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义．
①点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态．要特别注意“起点”、“终点”、“拐点”，它们往往对应着一个特殊状态．
②线：表示研究对象的变化过程和规律．如v—t图象中的图线若为倾斜直线，则表示物体做的是匀变速直线运动．
③斜率：表示横、纵坐标上两物理量的相对变化率．常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算中所对应的物理量的大小以及定性分析变化的快慢．如s--t图线的斜率表示速度的大小，v一t图线的斜率表示加速度的大小，U—t图线的斜率表示电阻的大小等．
图14-2图14-3
④面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应．如u—t图线与横轴包围的“面积”大小表示位移的大小，其中t轴上方的“面积”表示正位移，t轴下方的“面积”表示负位移．如图14—2所示，F一t图象中的“面积”大小表示冲量的大小；如图14—3所示，F—S图象中的“面积”大小表示功的多少．
⑤截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的大小，由此往往能得到一个很有意义的物理量．如图14—4所示为“测电源电动势和内阻”的实验中画出的U—I图象，其纵截距E即等于电源电动势，横截距I0为短路时的电流，图线条率的绝对值则等于电源内阻
图14-4
四、数学归纳法
在解决某些物理过程比较复杂的具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的．此类题要求注意在书写上的规范，以便于找出其中的规律．
五、微元法
利用微分思想的分析方法称为微元法．它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法．
微元法解题的思维过程：
1．隔离选择恰当的微元作为研究对象．微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也可以是一个小体积、小质量或一小段时间……但必须具有整体对象的基本特征．
2．将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动……)，并运用相关的物理规律，求解这个微元与所求物体的关联．
3．将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体量的合理解答．
六、三角函数法
三角函数反映了三角形的边、角之间的关系，在物理解题中有较广泛的应用．例如：讨论三共点平衡力组成的力的三角形时，常用正弦定理(拉密定理)求力的大小；用函数的单调变化的临界状态来求取某个物理量的极值；用三角函数的“和积公式”对结论进行化简等．
七、数列法
凡涉及数列求解的物理问题具有多过程、重复性的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着“前后有联系的变化”．该类问题求解的基本思路为：
1．逐个分析开始的几个物理过程；
2．利用归纳法从中找出物理量的变化通项公式(这是解题的关键)；
3．最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．等差
八、比例法
比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，要清楚公式的物理意义和每个量在公式中的作用，以及所要讨论的比例关系是否成立．同
时要注意以下几点：
1．比例条件是否满足．物理过程中的变量往往有多个，讨论某两个量间的比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．
2．比例是否符合物理意义．不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义．(如不能根据R=u/I认定为电阻与电压成正比)
3．比例是否存在．讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量．如果该条件不成立，比例也不能成立．(如在串联电路中，不能认为P=U2/R中P与R成反比，因为R变化的同时，u随之变化而并非常量)
许多物理量都是用比值法来定义，常称“比值定义”，如：密度ρ=m/V、导体的电阻R=U/I、电容器的电容C=Q/U、接触面间的动摩擦因数μ=Ff/FN、电场强度E=F/q等．它们的共同特征是：被定义的物理量是反映物体或物质属性和特征的，它和定义式中相比的物理量无关．对此，学生很容易把它当做一个数学比例式来处理而忽略了其物理意义，也就是说教学中还要防止数学知识在物理应用中的负迁移．
数学是“物理学家的思想工具”，它使物理学家能“有条理地思考”想象出更多的东西．可以说，正是有了数学与物理学的日益结合，才使物理学日臻完善．物理学的严格定量化，使得数学方法成为物理解题中一个不可或缺的工具．
典型例题
【例l】一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域．为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形区域的最小半径．(重力忽略不计)
【例2】如图14—5所示，长为L、电阻r=0.3Ω、质量m=0.1kg的金属棒CD垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑的金属导轨上，两条导轨的间距也为L，棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计．导轨左端接有R=0.5Ω的电阻，量程为0～3.0A的电流表串接在一条导轨上，量程为0～1.0V的电压表接在电阻R的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平面．现以向右的恒定外力F使金属棒右移，当金属棒以v=2m／s的速度在导轨平面上匀速滑动时，观察到电路中的一个电表正好满偏，而另一个电表未满偏，问：
(1)此满偏的电表是什么表?说明理由．图14—5
(2)拉动金属棒的外力F多大?
(3)此时撤去外力F，金属棒将逐渐慢下来，最终停止在导轨上，则从撤去外力到金属棒停止运动的过程中，通过电阻R的电量为多大?
【例3】一弹性小球自h0=5m高处自由下落，当它与水平地面每碰撞一次后，速度减小到碰前的7/9，不计每次的碰撞时间，求小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间．(g=10m／s2)
【例4】在xoy平面内，从坐标原点0沿不同方向向第一象限内射入速度大小均为v0的电子，如图14—6所示．现加上一个垂直于xoy平面的磁感应强度为B的匀强磁场，要求射入第一象限的电子穿过磁场后都能平行于x轴方向运动，试求出符合条件的磁场的最小面积．(已知电子质量为m，电量为e，重力不计)
图14-6
【例5】如图14—7甲所示是“测定电源电动势和内阻，的实验原理图，图中R为电阻箱，为安培表，E、r为待测电源的电动势和内阻．
如图14—7甲
(1)实验中测出多组I、R值，以R为纵坐标、1/I为横坐标作出R—I-1图象，如图14--7乙所示．根据图乙可求得该电源电动势E=______，内阻r=________
(2)图14—7丙为一标注有“5.0V，2.2W”字样的
小灯泡的伏安特性曲线，若用上述电源对该灯泡直接供电，则小灯泡的实际电压为_____V，电源的总功率为______W．
【例6】如图14—8甲所示，宽为L的金属导轨置于磁感应强度为B的匀强磁场中，且B的方向竖直向下．电源电动势为E，内阻为r．不计其他电阻和一切摩擦，求当开关S闭合后，金属棒PQ速度多大时，机械功率最大?最大值是多少?
图14—8甲
点评当自变量、因变量及所求量均是状态量且因变量与自变量成线性关系时，可考虑用上述数学方法求解．
【例7】如图14—9所示，以易为一金属杆，它处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，可绕a点在纸面内转动；S为以a为圆心位于纸面内的金属圆环；在杆转动过程中，杆的b端与金属环保持良好接触；为电流表，其一端与金属环相连，一端与a点良好接触．当杆沿顺时针方向转动时，某时刻ab杆的位置如图所示，则此时刻()
A．有电流通过电流表，方向由c-d；作用于ab的安培力向右
B．有电流通过电流表，方向由c-d；作用于ab的安培力向左
C．有电流通过电流表，方向由d-c；作用于ab的安培力向右
D．无电流通过电流表，作用于ab的安培力为零
如图14—9
点评本题考查导体棒转动切割磁感线时右手定则和左手定则的使用．
拓展若考题中的金属环的半径和金属杆的长度均为L；环的ef段为1/4圆弧，其单位长度的电阻和金属杆相同，均为λ；杆的b端是一套在圆环上的金属小珠，可沿圆环滑动并保持良好接触．电流表接在a、e间，电压表一端接在小珠上，另一端接在e点，如图14—10甲所示．现杆从图示位置(b和e在同一条直径上)开始(取t=0时刻)以恒定的角速度ω逆时针转动，试在图14—10乙中画出电压表的示数U随时间t变化的关系图线(一个周期内)．要求用题中的已知量标出纵坐标和横坐标的刻度．
图14—10乙
图14—10甲
【例8】如图14--11所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r0．在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的匀强磁场，磁感应强度的大小为B．在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场．一质量为m、带电荷量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速度为零．如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少?(不计重力，整个装置在真空中)
图14--11
点评本题考查带电粒子在电场和匀强磁场中的运动，解题的关键是画出粒子的轨迹和运用几何知识得出圆半径．
【例9】如图14—12所示，在半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度是B，P、M、N三点均匀地分布在圆周上．有三对电压为U、距为d的平行金属板，它们分别在这三点与圆相切而且在相切处极板留有缝隙．一个质量为m、带正电量q的粒子，从Q点由静止开始运动，经过一段时间恰能回到Q点．不计重力，则：
(1)粒子的路径如何?在图上标出极板带电的正负．
(2)电压U和磁感应强度B间应满足什么关系?
(3)粒子从Q出发又回到Q，需要多长时间?
如图14—12
y
o
x
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