物理模型方法及微元法专题
1．有一台风力发电机，进风口和风轮旋转时形成的截面积均为S，进风口风的速度为v，出风口的截面积为进口风截面积的4倍，如果风损失的动能完全转化为电能，则这台风力发电机输出的电功率为多少？已知空气的密度为ρ。ρSv3）
解：设气流在出口处的速度为v′，因在△t时间内流进量相等，均为Δm=ρSvΔt
故有ΔV=SvΔt，解得v′=，W=Δmv2—Δmv′2ρSv3Δt，P==ρSv3
2．河水对横停在其中的大船侧弦能激起2高的浪，试估算将要建造的拦河大坝单位面积上所受河水的冲击力为多大？×104N/m2）
解：设水速度为v，则可将水等效为竖直上抛，v==2m/s
以速度v冲击拦河大坝Δt内质量Δm=ρSvΔt
根据牛顿第二定律F=Δm，在较短的时间Δt，Δv=v，则对于面积S的压强（单位面积上的冲击力）P==ρv2=1.0×103×(2)2N/m2=×104N/m2。
3．加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面之间的夹角为θ，则火车加速行驶的加速度为多大？θ）
解：如图所示，取水面上质量为Δm的水元为研究对象，其受力如图所示，若合力F合=Δmgtanθ，根据牛顿第二定律可知
F合=Δma、则a=gtanθ，方向与启动方向相同。
4．一宇宙飞船以速度v进入空间分布密度为ρ的尘埃中，如果飞船垂直于运动方向上的最大截面积为S，且认为尘埃与飞船碰撞后都附着在飞船上，则飞船受到的尘埃的平均制动力为多大？ρSv2）
解：取尘埃质量元Δm，其相对飞船的速度由v在时间Δt内减为零，则根据牛顿第二定律，质量元受到飞船的平均制动力F=Δm，Δm=ρSvΔt，则F=ρSv2；根据牛顿第三定律可知，飞船受到的尘埃的平均制动力F′=—F=—ρSv2，方向与飞船飞行方向相反。
5．一螺旋形管道内径均匀，壁光滑，螺距均为d=0.1，共有五圈．螺旋横截面的半径R=0.2，管道半径比管道内径大得多．一小球自管道A端从静止开始下滑，求它到达管道B端时的速度大小和所用的时间．m/s，3.97s）
解：将螺旋形管道展开构成长为l=5×2πR=6.28m，高h=5d=mv2，则v==m/s
小球沿斜面做匀加速直线运动
t===s≈3.97s。
6．喷水池喷出的竖直向上的水柱高度H5m。空中有水20dm3。空气阻力忽略不计，则喷水机做功的功率约为多少？（取g10m/s2）500W）
解：面积为S的截面上上升的水的质量元Δm=ρSvΔt，Δm的水竖直上抛v==10m/s，上升所用时间t==1s，则水柱的截面S=10－3m2，则：P==ρSv3=×1.0×103×10－3×(10)3W=500W。
7．阴极射线管中，由阴极K产生的热电子（初速为零）经电压加速后，打在阳极A板上。若A板附近单位体积内的电子数为N，电子打到A板上即被吸收。求电子打击A板过程中A板所受的压强。（已知电子的电量为e质量为m）2NUe）
解：由动能定理，电子加速：eU=mv2
在时间Δt内打在A板S面积上的电子数：Ne=N(vΔt)S
根据动量定理：PSΔt=N(vΔt)Smv
得：压强P=Nmv2=2NeU。
8处于运转状态的重量为G直升飞机停在空中不动，则直升机输出功率P为多大？设此时螺旋桨推动空气向下运动的速度为v。）
解：设时间Δt内有质量为Δm的空气撞击机翼，空气的密度为ρΔm=ρ(vΔt)S
根据动量定理：FΔt=Δmv，即FΔt=ρv2SΔt，所以F=ρv2S
飞机停止在空中，平衡，F=G=ρv2S
螺旋桨的推动空气做功：W=Δmv2=ρv3SΔt=GvΔt
功率：P==Gv
9．如图所示为静电喷漆示意图。由喷嘴喷出的油漆，形带负电的雾状液（初速可忽略不计，经a与K间的电场加速后奔向极a（被漆零件）附着在上面。若与K间电压为U。电路中的电流强度为I，在时间t内，由喷嘴喷出的油漆质量为m，那么油漆对零件表面的压力有多大？）
解：根据动量定理有：Ft=mv
根据动能定理有：qU=mv2
又因为q=It
所以F==
10．如图所示，来自质子源的质子初速度为零，经一加速电压为800kV的直线加速器加速，形成电流强度为1.0mA的细柱形质子流．已知质子电荷e=1.60×10－19C，这束质子流每秒打到靶上的质子数为_______．假设分布在质子源到靶子之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距l和4l的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中质子数分别为和，则=。6.25×1015；2：1）
解：设时间ΔΔt=ne，故n==6.25×1015。
质子在直线加速器的运动可以视匀加速运动，设加速度为a，则质子在l和4l的速度分别为v1=、v2==2v1，质子在l和4l处的速度之比v1：v2=1：2，
又为因电流强度I=nves，（n为单位体积内质子数），n=，由题意对于极短长度Δl内质子数n1：n2=v2：v1=2：1。
11．建筑工地上的黄砂，若堆成圆锥形而且不管如何堆其锥角总是不变，试证明之。如果测出其圆锥底的周长为12.1m，高为1.5m，求黄砂之间的动摩擦因数。（设滑动摩擦力与最大静摩擦力相等）证明略）
证明：如图所示，圆锥形黄砂堆倾角为θ，元Δm受力分析，ΔmΔmgsinθ=μΔmgcosθ，
即tanθ=μ，因为μ不变，则倾角θ恒定。
计算μ=tanθ==≈0.75。
12．磁流体推进船的动力来源于电流与磁场间的相互作用，图1是在平静海面上某实验船的示意图，磁流体推进器由磁体、电极和矩形通道（简称通道）组成。如图2所示，通道尺寸a=2.0m、b=0.15m、c=0.10m，工作时，在通道内沿z轴正方向加B=0.8T的匀强磁场；沿x轴负方向加匀强电场，使两极板间的电压U=99.6V；海水沿y轴方向流过通道。已知海水的电阻率ρ=0.20Ω·m。
（1）船静止时，求电源接通瞬间推进器对海水推力的大小和方向；
（2）船以vs=5.0m/s的速度匀速前进。以船为参照物，海水以5.0m/s的速率涌入进水口，由于通道的截面积小于进水口的截面积，在通道内海水的速率增加到vd=8.0m/s。求此时金属板间的感应电动势U感。
（3）船行驶时，通道中海水两侧的电压按U''=U-U感计算，海水受到电磁力的80%可以转换为船的动力。当船以vs=5.0m/s的速度匀速前进时，求海水推力的功率。796.8N沿y轴正方向(向右)9.6V2880WF1=I1Bb，其中I1=、R=ρ
所以F1==796.8N对海水推力的方向沿y轴正方向（向右）
（2）U感=Bvdb=9.6V
（3）根据欧姆定律，I2==600A
安培推力F2=I2Bb=720N
对船的推力F=80%F2=576N
推力的功率P=Fvs=80%F2vs=2880W。
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Δmg
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