第28卷总第370期
2010年第2期(上半月)
物理教学探讨
JournalofPhysicsTeaching
Vol.28No.370
(S)2.2010.29.
平衡电桥法在高中物理竞赛中的应用研究
邱守雄
福建省建阳市第一中学,福建省建阳市354200
电桥是一种用比较法进行测量的仪器,由
于它的精确度和灵敏性都比较高,所以在电磁学
测量技术中得到了极其广泛的应用。电桥法又可
分为平衡电桥法和非平衡电桥法两大类。为了更
有效地指导学生学会灵活应用平衡电桥法解决
实际问题,培养其高层次的实验素养和创新实践
能力,本文拟从平衡电桥法的基本原理、平衡电
桥法的误差来源、平衡电桥法在测量中值、低值、
高值电阻中的实验设计等三个方面来对平衡电
桥法在高中物理竞赛中的应用做一系统研究,阐
述如下:
1平衡电桥法的基本原理
如图1,四个电阻构
成一四边形,每一条边称
为电桥的一个臂,其中
R1、R2为比率臂,RS为
比较臂,Rx为待测臂。接
入检流计的对角线就称
为桥。当通过检流计的电
流为零时,电桥就处于平衡状态。此时有:R1R
x
=
U1
Ux;
R2
RS=
U2
US;而U1=U2;Ux=US;所以有
R1
Rx=
R2
RS,即Rx=
R1
R2RS。实验中,若R1,R2,RS均已
知,则Rx可求。
2平衡电桥法的误差来源
电桥法的误差来源有两方面,桥臂电阻的准
确度和电桥的灵敏度。
(1)桥臂电阻的准确度。由误差传递公式可
得:ΔRxR
x
=ΔR1R
1
+ΔR2R
2
+ΔRSR
S
。因为比率臂R1,R2
常由准确度较低的四盘电阻箱充当,而RS常由
准确度较高的六盘电阻箱或标准电阻充当,所以
ΔRx
Rx主要由
ΔR1
R1和
ΔR2
R2贡献而得。在示例2和示
例3中,我们将阐述如何利用交换法和替代法消
除因桥臂电阻不准确带来的误差。
(2)电桥灵敏度:电桥平衡是由检流计示零来判
定的,但检流计示零并不意味着通过它的电流严
格为零,而只是小到使人眼无法觉察到检流计的
偏转的程度。因此这里就牵涉到一个“灵敏度”
的问题。我们引入如下电桥灵敏度的定义:假定
电桥已达到平衡状态,将其任意一臂的电阻R改
变ΔR,若检流计的指针相应地偏转Δn格,则电
桥灵敏度S=Δn
(ΔRR)
,因此电桥灵敏度就等于桥
臂电阻的单位相对变化所引起的检流计偏转的
格数。显然,相同的ΔRR引起的Δn越大,电桥的灵
敏度就越高,对电桥平衡的判断就愈准确。
由灵敏度的定义,通过解基尔霍夫方程组,
就可以得到电桥灵敏度和桥路参数的关系为
S=SiE
R1+R2+RS+Rx+Rg(2+R1R
x
+RSR
2
)
。其
中,Si为检流计灵敏度,Rg为检流计内阻。
由此可见,电源电压越大,检流计灵敏度越
高,内阻越小,桥臂电阻总和越小,分布越平均,
电桥的灵敏度就越高。因为当Δn≤0.2分格时,
一般人眼就无法觉察到检流计的偏转了,设此时
Rx与用R1R
2
RS计算出的使电桥严格平衡的值之
间相差ΔRx,由电桥灵敏度的定义可得:S=
0.2
ΔRx
Rx
,所以ΔRxR
x
=0.2S。这也正是由电桥灵敏度
引起的最大相对误差。
3平衡电桥法在测量中值、低值、高值电阻中
的实验设计
(1)测量中值电阻(1Ω～106Ω)。
例1(器材)三个电阻箱,一个微安表头
(Rg≈1kΩ),一个滑动变阻器,电源,开关。
实验目的测表头内阻Rg。
实验方案的设计用电桥法。表面上看,似
乎少了一个置于桥路上判断电桥平衡的检流计,
但如果电桥尚未平衡,合上S2时,表头自身的读
数就会变化。只有当电桥平衡时,闭合S2,表头
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(S)2.2010.30.
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的读数才不发生变化。所以由表头自身就可判断
电桥是否平衡,无需检流计。又因为表头允许通
过的电流只有几十微安,所以其两端允许加的最
大电压也只有几十毫伏,所以变阻器必须分压连
接,电路如图2所示。平衡时有:Rg=R1R
2
R3。
例2器材:一个电阻箱,一个变阻器,一个
检流计,一个待测电阻Rx。
实验目的测Rx。
实验方案的设计考虑用电桥法,但似乎
少两个比率电阻,于是将变阻器一分为二,充当
两个比率臂,设计出的实验电路如图3所示,首
先调R0使电桥平衡,再交换R0和Rx位置,并保
持滑动变阻器的滑动触头不动,调R0为R′0,让
电桥再次平衡,则有R1R
2
=R0R
x
和R2R
1
=R′0R
x
。两式
相乘,消去R1,R2得Rx=R0R′0。
实验中应将滑动变阻器的触头置于接近中
心的地方,使R0和R′0较接近,测量误差较小。
我们不妨把上述方法称为电桥法+交换法。
我们知道,在用天平测质量时,可以用交换法来
消除因天平不等臂带来的误差。而在此例中,我
们又用交换法来消除电桥中因桥臂电阻不确定
所带来的误差,两者有着异曲同工之妙。
例3器材:三个不准的电阻箱,一个准的
电阻箱R0,检流计,电源,待测电阻Rx,开关。
实验目的测Rx。
实验方案的设计一用电桥法+交换法
(模仿示例2)。
实验方案的设计二用电桥法+替代法。
设计出的实验电路如图4所示,用三个不准电阻
箱和Rx构成一个电桥,使电桥平衡。再将Rx换
成R0,且只调R0,使电桥再次平衡。则Rx=R0。
例4器材:R1、R2、R3首尾相接构成如图5
所示的电阻三角形,2个电阻箱,毫安表,电源,
开关。
实验目的在不解开三角形的条件下,测
出R1。
实验方案的设计用电桥法。设计出的实
验电路如图6所示,电阻三角形构成电桥的两臂
和桥路,毫安表和一电阻箱R4做另两臂,毫安表
兼起判断电桥平衡与否的作用。即若闭合S1时
毫安表的示数不发生变化,则电桥就达到平衡
了。先不并入R5,使电桥平衡,则:R2Rg=R1R4,
再并入R5,调R4为R′4,使电桥再次平衡。则有:
R2Rg=R1R5R
1+R5
R′4,
从中解得:R1=R5(R′4R
4
-1)。
例5器材:四个六盘电阻箱,电源,检流
计,开关。
实验目的制作一个倒数计算器。
实验方案的设计利用电桥的平衡条件:
对边电阻乘积相等。设计出的实验电路如图7所
示,只须使R1=R2=100Ω,输入数字,调R4使
电桥平衡时,R4就输出104/R3的数值。(只要把
该数值再除以104就可以得到R3的倒数。)
(2)测低值电阻(≤1Ω)
测量低值电阻时,接线电阻和接触电阻与待
测电阻数量级相近,不可忽略不计。为了消除接
线电阻和接触电阻的影响,待测低值电阻和标准
低值电阻都必须做成四接头(如图8所示)的形
式,其等效电路如图9所示。2、3之间常接大电
阻,因此r2、r3可忽略,而r1、r4又排除在R之外,
这样就可以消除接线(触)电阻的影响,电桥就
转化为如图10所示的形式。
S是个单刀双掷开关,Rx是待测电阻,RS是
标准电阻。r是我们假设出的Rx和RS之间的接
线电阻和接触电阻,因为r同Rx和RS往往较为
接近,所以不可忽略,先将S打到1,调R1,R2使
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(S)2.2010.31.
电桥平衡时可得RxR
S+r
=R1R
2
。
将S再打到2,调R1,R2为R′1,R′2,使电桥
再次平衡,则有:Rx+rR
S
=R′1R′
2
。
从上述两式可消去未知的r,解出:
Rx=R1(R′1+R′2)RSR′
2(R1+R2)
。
以上电路可进一步改进成如图11所示的形
式,加入R3,R4,使R3/R4始终等于R1/R2。当电
桥平衡时,可将r分成r1、r2,使r1/r2=R3/R4,
则虚线框内就是一个小的平衡电桥,所以如果将
1和2短接起来,从而将整个电路转化成了普通
的“单桥”,如图12所示,从而有:
R1
R2=
Rx+RR3r1并联
RS+RR4r2并联,
而RR3r1并联R
R4r2并联
=R3R
4
=R1R
2
,
又由和比性质得RxR
S
=R1R
2
,
∴Rx=R1R
2
RS。
这样就可直接测出Rx。这种电桥就叫作双
桥,又称之为开尔文电桥。
(3)测高值电阻(≥106Ω)
设Rx为高值电阻,若采用如图13a所示的
电路,则为使RS/Rx较接近于1,为使电桥有较
高的灵敏度,就必须有一个高值的比较臂电阻
RS。若采用图13b所示的电路,则为使电桥有较
高的灵敏度,就必须有一个高值的比较臂电阻
R2。总之,用电桥法来测高值电阻就必须有一个
相应的标准高值电阻。但通常电阻箱只能提供
105Ω的电阻,因此,我们考虑用“Y-△变换”来
“构造”一个高值电阻。
理论证明,图14a中的星形电路完全等效于
图14b中的角形电路。“等效”的含义是在对应端
点加相同电压时,在对应端点会产生相同的电
流。其中R4=R2R3R
1
+R2+R3,
R5=R1R3R
2
+R1+R3,
R6=R1R2R
3
+R1+R2。
如果R2,R3较大,而R1又较小,那么R4就
可以到达高阻的数量级。于是构造如图15所示
电路,其等效电路如图16所示。若取R2=R3=
104Ω,R1=10Ω,那么等效电阻
R4=10
4×104
10+10
4×2≈107Ω,
R5≈104Ω,
再调节r1、r2使电桥平衡,则有:
Rx=r2R
r1R5并联1
R4。
(栏目编辑邓磊)
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