第三十六章：简并和重整化，都是为了让我们更接近真相！我在头条号发一些科普文章，有一些网友这样评论过：“知道这些有卵用！”“还不如一块钱来的实
在。”大多数评论我只是看看，这样的评论也是。知道这些知识有什么用，好像不好定义。但你不能用人总会死去，来否定一切知识和知道。毕竟你
现在活着。不管是哪一位伟人，他总是能知道一些别人不知道的，他才能成为领头羊。物质生活越发达，网络越普及化，人工智能越高级化的时候，
我们会有更多的时间，这些时间不是让你无聊的，而且需要你去学习你想学习的东西。那么科学探索，无疑就是一项诱人的活动。这一章我们要知
道什么是简并，什么是重整化，因为这两个词也反复出现在科普文章中。首先要指出的是简并有数学上的概念，也有物理上的概念，还有生物上的概
念。我们在这里就只探讨物理的简并概念。在物理学中，简并（英文degeneracy，但英文degeneracy具有多种含义，包括简并
和退化等）是指被当作同一较粗糙物理状态的两个或多个不同的较精细物理状态。例如在量子力学中，原子中的电子，由其能量确定的同一能级状态
，可以有两种不同自旋量子数的状态，该能级状态是两种不同的自旋状态的简并态。具有相同能量的粒子可以处在不同的量子态（即不同的波函数）
，即每一个能级上可能有若干个不同的量子状态存在，反映在光谱上就是代表某一能级的谱线常常由好几条非常接近的精细谱线所组成。量子力学中
把能级可能有的微观状态称为该能级的简并度，用符号g表示。简并度亦被称为退化度或统计权重。在统计物理学中，宏观上由压强、体积、温度确
定的同一宏观热力学状态，在微观上可以对应大量不同的微观状态，该热力学状态是这些微观状态的简并态。这个例子，大家可以反复琢磨一下，是
不难理解的。简并态物质在物理是一种自由的集团、非互动的颗粒，由量子力学的效应决定它的压力和其它物理特征。它类比于古典力学中的理想气
体，但简并态物质是离经叛道的理想气体，它有极高的密度（在致密星），或存在于实验室的极低温度下。它一般发生在诸如电子、中子、质子和费
米子等物质粒子，分别被称为电子简并物质、中子简并物质、等等。在混合的粒子，像是在白矮星或金属内的离子和电子，电子可能成简并态，而离
子不是。以量子力学描述，自由粒子的体积受限于一定的体积内，可以是一组不连续的能量，称为量子态。泡利不相容原理限制了相同的费米子不能
占据相同的量子状态。最低的总能量（当粒子的热能量可以忽略不计）是所有最低能量的量子状态都被填满，这种状态称为完全简并。这种压力（称
为简并压力或费米压力）即使在绝对零度时依然不为零。增加粒子或是压缩体积都会强迫粒子进入能阶的量子状态。这需要一个压缩力，并表现为抗
压力。主要特征是这种简并压力并不取决于温度，而只和费米子的密度有关。它使高密度星的平衡状态与恒星的热结构无关。简并态物质也称为费米
气体或简并气体，而速度接近光速的费米子（其粒子能量大于静止质量能量称为，其简并态称为相对论性简并态物质。所以大家应该知道了，“简并
”的本意是“几个不同态具有一样的能量"。为什么要这样定义？因为一个给定的系统，处于一个态的概率只与能量有关，与其他量无关，所以统计
物理不关心其他量，但我们知道，简并态的数目越多，系统的量子效应越明显，越“简并”越“量子”。再简单地说，处于同一能级的两个不同的量
子态是简并的。举个例子，不考虑电子自旋等精细结构的氢原子可以用三个量子数来描述：主量子数n，角动量量子数l和磁量子数m。但氢原子的
能级仅由主量子数决定。当两个氢原子的两个量子态的n相同时，它们的能级相同，是简并态。来看费米气体。费米子有一个特点，就是必须遵循泡
利不相容原理，这一原理禁止不同的粒子占据同一个态。费米分布告诉我们，在温度T时，处在能量为的一个态上的平均电子数为。当T=0，时，
，粒子从最低能级开始一次填充，每个能级上一个电子，排到为止，之后就没有了。称为费米能级，即题主那张图中的。当T大于0时，费米能级附
近每个能级粒子数按指数规律变化。那么什么时候用费米分布呢？统计物理一般用系综理论研究宏观量级的粒子，但当忽略粒子间的相互作用的时候
，可以用麦克斯韦-玻尔兹曼分布、费米-狄拉克分布或玻色-爱因斯坦分布三种分布描述。第一种是经典分布，后两种是量子分布。什么时候用经
典分布，什么时候用量子分布呢？有一个非简并性条件（经典极限条件）：若任意能级上的粒子数均远小于该能级的量子态数，费米分布和玻色分布
就退化为玻尔兹曼分布。满足非简并性条件的称为非简并气体，不满足的称为简并气体。回到费米气体，我们知道了每个能级上的粒子数，便可以求
出每个粒子的动量，可以通过积分求得费米气体的压强，称简并压：。当体积V很小的时候，简并压就很大了（当然此时粒子的动量已经大到必须用
相对论来修正了）。这时的物质叫简并态物质(Degeneratematter)，也叫费米气体，简并气体。白矮星就是这样的状态。上面
已经提到了。然后我们再来了解一下重整化的概念。重整化（Renormalization）是量子场论、场的统计力学和自相似几何结构中解
决计算过程中出现无穷大的一系列方法。在量子场论发展的早期，人们发现许多圈图（即微扰展开的高阶项）的计算结果含有发散（即无穷大）项。
重整化是解决这个困难的一个方案。一个理论如果只有有限种发散项，则可以在拉氏量中引进有限数目的项来抵消这些无穷大项，这种情形被称为可
重整。反之，如果理论中有无限种发散项，则称为不可重整。可重整化曾被认为一个场论所必需满足的自洽性要求。它在量子电动力学和量子规范场
论的发展过程中起过重要的作用。粒子物理的标准模型也是可重整的。现代场论的观点认为所有理论都只是有效理论，它们都有它们的适用范围。除
了所谓的终极理论，所有理论在原则上都是不可重整的。在这种观点下，重整化只是联系不同能标下理论的一种方法。再具体一点是这样的：量子场
论认为，物质世界的基本运动规律由基本粒子的拉格朗日量决定。在忽略相互作用的时候，拉格朗日量中会包含一些对应可观测量的参数，比如描述
自旋为1/2的自由粒子的拉氏重整化其中参数m就对应粒子的质量。当相互作用很小时，往往可以用微扰的方法求解量子场论。比如两个电子在电
磁相互作用参与下的散射。量子场论的微扰处理对应着一套图形化的方法--对费曼图进行积分，拉氏量不仅对决定费曼图的形状还决定了图形各部
分的权重。但是即使是微扰可以处理的问题，当记及带圈的图形，也就是要对内动量进行积分的时候，往往会得到无穷大的结果。于是，人们普遍采
取一种回避无穷大的态度，采用减除的方法，将无穷大从理论中减除掉。这个减除的过程就称为重整化过程。重整化方法，通常包含两种：相加性重
整化和相乘性重整化。相加性重整化认为，对费曼图进行积分时出现的无穷大可以通过在拉氏量里加减一些新的项予以消除。比如电子自能图出现的
无穷大可以通过在拉氏量中减去一项予以消除。后者是说，积分的无穷大可以通过将拉氏量的一些项乘以一些重整化常数予以消除。两种方法实质上
是等价的。由于积分的无穷大可能在微扰计算的每一阶都可能出现，因此在每一阶都需要进行重正化。由于量子场论必须得做重整化以避开无穷大，
量子场论曾被人称作一个丑陋的理论。而重整化方法被人比喻成为将垃圾扫到地毯下藏起来不被人看见。虽然人们一度这么看待量子场论，但是随着
时间的推移直到现在，人们见到的是越来越多的实验对量子场论的支持。重整化体现了量子场论的这样一个特点，任何可观测量和基本理论本身的参
数并不是一致的，理论参数隐藏在了一系列的无穷大后面。虽然基本理论参数和可观测量是否应该是同一个东西本身并不是科学需要验证的事情。科
学只能验证可观测量与可观测量之间的关系与理论描述的是否一致。但是，人们也从来也没有放弃过追寻导致这些无穷大出现的更为根本的原因。直
接从无穷大的出现来看，无穷大出现于内动量积分的积分限。量子场论将理论中出现的基本粒子看作点粒子，没有大小，于是任何内动量积分应到积
到无穷大。于是人们猜想，量子场论这些奇怪的无穷大，不过是因为我们还没有看见基本粒子的大小而作了不正确的近似。认为基本粒子有一定的大
小，那么势必得考虑它有什么结构。认为基本粒子还由更基本的粒子组成似乎是其中一个途径。但是纯粹的理论家们，更愿意在实验还没能观测到的
地方就开始他们的大胆猜测。一些人的猜测是，基本粒子可能有一定的大小，但是不会再像夸克组成核子那样简单地由更小的粒子组成，而是本身就
是一条弦。这就是现在的弦论。当然，弦论受人们期待，不仅在于它没有无穷大问题，还因为它有希望能将引力量子化。量子场论中，并不是任何理
论都可以重整化。比如曾经用于描述弱相互作用的四费米子相互作用理论就是如此。量纲分析指出，当相互作用常数的量纲为质量量纲的零次幂的时
候，费曼图阶数增长不改变发散级次；正次幂的时候，高阶图具有更低的发散级次；负次幂的时候，高阶图具有更高的发散级次。在最后一种情况下
，高阶图将产生出越来越多种类的无穷大，使得理论应当添加的抵消项越来越多。由于具有无穷多参数的理论是没有意义的，这时候，理论被称为不
可重整化的理论。相互作用常数具有质量量纲的正次幂和零次幂时，理论分别被称为超可重整化的和可重整化的。后两者都可以通过重整化的办法，
利用有限个参数，解释复杂的物理过程。不可重整化的理论，往往可以在一定的标度下描述物理过程。而这个标度本身又预示着存新的物理。例如四
费米子相互作用具有一个适用标度，而其标度正是W,Z粒子出现的能标。还有一个重整化群的概念，也简单介绍一下。重整化群的基本思想是把关
联长度发散的临界点与非线性变换的不动点联系起来，这是统计物理学的一种新的方法，即不直接计算配分函数Z，而是研究配分函数z保持不变的
变换性质，重整化群之所以能描述连续相变就是因为该相变具有不动点，并对应着关联长度趋于无穷，这样一来，连续相变的研究可以化为研究非线
性化变换在不动点和不动点附近线性化后的群方程的本征值问题。因此说：重整化群方法开创了临界现象的微观理论，而且这种方法在物理学其他领
域中的无限自由度问题的研究提供了重要的思想方法。KennethG.Wilson（19366.8—20136.8）美国物
理学家。因建立相变的临界现象理论，即重正化群变换理论，获得了1982年度诺贝尔物理学奖。Wilson认为：相变的临界现象与物理学
其他现象不同的地方在于，人们必须在相当宽广的尺度上与系统中的涨落打交道。所有尺度上的涨落在临界点都是重要的，因此，在进行理论描述时
，要考虑到整个涨落谱。威尔逊的临界现象理论是在重正化群变换理论的基础上作了实质性的修改后建立的。威尔逊的临界现象理论，全面阐述了物
质接近于临界点的变化情况，还提供了这些临界量的数值计算方法。重整化群是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。标度上的变化
称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理
论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是
以系统组成之间的相互作用来描述。可以看一下下面的图片。所谓粗粒化，就是在干和下图类似这种事情，从上到下像素在降低，也就是标尺在增大
。对于具有自相似性的系统，我们在不同的标度（即不同的标尺刻度）下对其进行观察时，会发现这种系统具有所谓的“标度不变性"。从上图
可以看到，图片从a到d的过程标尺在扩大，d与a相比一些细节被平均掉了，但d与a有着相似的结构，图像的基本特征是完全相同的。"这
意味着在不同的标度下，系统表现出的物理行为本质上相同"这一性质就叫做标度不变性"。标度不变性对应着一种对称性，描述对称性的工具是群论。粗粒化过程丢失了一部分信息，因此这种操作是不可逆的，所以重整化群是一种半群。在我看来，需要重整化的理论，一定有我们没有看到的地方。就是我们找到为什么该理论要重整化才合理的根本原因。但重整化和重整化群的概念非常好，因为我们在探索宇宙的规律的过程中，必然不能把握所有。所以尤其是重整化群在处理系统边界问题的时候，给我们了一个有力的工具。也便于我们理解非线性波动。这个理论在将来必须广泛用到，而且对于找爱氏场方程解，杨——米尔斯理论解都非常重要。这就是我的观点。最后的这一点内容，内容不多，但意义非凡，大家一定多去领会。摘自独立学者，诗人，作家，国学起名师灵遁者量子力学书籍《见微知著》 |
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