初识“二次函数”
江苏杨大为
[师]对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗?
[生]学过正比例函数，一次函数，反比例函数．
[师]那函数的定义是什么，大家还记得吗?
[生]记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定
了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．
[师]能把学过的函数回忆一下吗?
[生]可以！
一次函数y=kx+b．(其中k、b是常数，且k≠0)
正比例函数y＝kx(k是不为0的常数)．
反比例函数y=(A是不为0的常数)．
[师]很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?现在让我们一起来看一个例子：
例1某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
[师]请大家互相交流后回答．
[生](1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中
树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(x+100)棵树，平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600-5x)个橙子．
(3)如果果园橙子的总产量为y个，则y=(x+100)(600-5x)＝-5x2+100x+60000．
[师]大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗?
[生]因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数．
但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数，自变量的最高次数是2，所以我猜测可能是二次函数．
[师]在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多?
请大家发表自己的看法．
[生甲]在函数y=-5x2+100+60000中，因为一次项系数100大于二次项系数-5，因此当x越大时，y的值越大．
[生乙]我不同意他的观点．因为x2的增长速度比x的增长速度要快，因此-5x2的绝对值要大于100x的绝对值，因此x应取比较小的数才能使y的值大．
[师]大家说的都有道理，究竟是如何呢?我们不妨取一些特殊的数字验证一下．
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试．
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y/个 请大家先填表，再猜测．
[生]从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．
可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大值．x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．
[师]大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将要在后面的学习中专门进行研究．现在再来看一个生活中的例子：
我们知道，银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)，
首先我们要回顾一下有关名词，本金．利息，本息时，如何计算利息，在以前的学习中我们已接触过，大家还记得吧?
[生]记得.
本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和，利息＝本金×利率×期数(时间)．
[师]根据利息的公式，大家可以计算出一年后的本息和．
[生]一年后的本息和为(100+100x·1)=100(1+x)．
[师]再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金．
[生]y＝100(1+x)+100(1+x)x×l
=100(1+x)+100(1+x)x
＝100(1+x)(1+x)
=100(1+x)2=100x2+200x+100．
[师]在这个关系式中，y是x的函数吗?是x的什么函数?请猜想．
[生]因为年利率x是一个变量，两年后的本息和y是随着x的变化而变化的，因此x是自变量，y是x的函数．再从函数的形式来看,y是x的二次函数．
[师]从我们刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢?
[生]一般地，形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadraticfunction)．
[师]很好，上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此，有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A与边长a的关系A＝a2，圆面积S和半径r的关系S＝πr2也都是二次函数的例子．有关二次函数的更多内容我们将在今后继续学习.
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