二次函数的三类信息题
山东李昊然
一、表格信息题
例1．（2008年苏州市）初三数学课本上，用描点法画二次函数的图象时，列了如下表格：
0 1 2 … … … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数在时，．时的函数值与x=-1时相等；或者由表格中的三组数，先确定关系式，再代入计算（这样增加了计算量）．
解：根据二次函数的对称性可知，其对称轴为直线x=1,所以时的函数值与x=-1时相等，为-4．
二、图象信息型
例2．(2008年安徽省)如图1为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，
在下列说法中：
①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1=－1,x2=3
③a＋b＋c＞0④当x＞1时，y随x的增大而增大。
正确的说法有_____________。(把正确的答案的序号都填在横线上)
分析：由于二次函数的图像为抛物线，所以由a的取值决定开口方向，
由a和b的值决定对称轴，由c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的
交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的根。本题中抛物线开口向上，所以a＞0，与y轴交于负半轴，所以c＜0，得到ac＜0；根据图像知与x轴的交点的横坐标为-1和3得到方程ax2＋bx＋c=0的根是x1=－1,x2=3；当x=1时，由图像知y＜0，即a＋b＋c＜0；利用抛物线的对称性由图像与x轴的两个交点知对称轴为x=1，在对称轴的右边y随x的增大而增大，从而知①②④正确．
解：根据以上分析可知：①②④是正确的．
点评：本题主要考察二次函数的图像和性质。在解决此类问题时要综合利用抛物线的图像和特殊值来解题．
六、新定义信息题
例3．(2008年湖州市)对于二次函数，如果当取任意整数时，函数值都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线（例如：）．
（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式．（不必证明）
（2）请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
分析：第（1）问只要根据题目中的规定要求写出即可，答案不唯一；
第（2）问是一道探索存在性问题，可以先假设存在，然后再根据条件进行推理，若推出矛盾，就说明不存在，反之就存在，写出结论即可．
解：（1）如：，等，当时，当时，由整点抛物线定义知：为整数，为整数，必为整数．又当时，是整数，必为整数，从而应为的整数倍，，．不存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线．
点评：这道题的新颖之处就在于先给出一个“定义”，让学生理解它的实质，然后回答问题，然后改变数的范围，进行考察同学们的探索分析能力，它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因．
图2
图1
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