二次函数典型例析
安徽李庆社
例1、已知二次函数，当x＝4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．
点拨：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上．图象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点．又根据对称性，图象与x轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：
解：此题可用以下四种方法求出解析式．方法一：因为抛物线的对称轴是x＝，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），由对称性可知另一点为（7，0），同例1，抛物线y=ax2＋bx＋c通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的三元一次方程组，可解出a、b、c来．
方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以
由上面的方程组解出a、b、c．
方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)2+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)2-3，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线通过(1，0)或通过（7，0）求出a来．即得出．所求二次函数解析式为
方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1=1，x2=7．可以采用双根式y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1=1，x2=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a，再把顶点(4，-3)代入上式得：所求二次函数解析式为．
例2、如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么代数式b+c-a与零的关系是A．b+c-a=0B．b+c-a＞0C．b+c-a＜0D．不能确定解：从图上看出抛物线开口向下，所以a＜0．当x=0时，y的值为正，所以c＞0．又因为抛物线以y轴为对称轴，所以b=0．
综上分析知b+c-a＞0，应选B．
点评：这个题考察了二次函数中三个系数a、b、c的含义，二次项系数a决定抛物线开口方向，c为抛物线在y轴上的截距即抛物线与y轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为，要根据图象具体分析才能得出正确结论．
例3、已知：二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求a，b的值．
解：方法一：依题意，设M(x1，0)，N(x2，0)，且x1≠x2，则x1，x2为方程x2+2ax-2b+1=0的两个实数根，所以x1+x2=-2a，x1·x2=-2b+1．
因为x1，x2又是方程-x2+(a-3)x+b2-1=0的两个实数根，所以x1+x2=a-3，x1·x2=1-b2．由此得方程组
当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以a=1，b=0舍去．
当a=1，b=2时，二次函数为y=x2+2x-3和y=-x2-2x+3符合题意，所以a=1，b=2．
方法二：因为二次函数y=x2+2ax-2b+1的图象的对称轴为x=-a，二次函数的图象的对称轴为，又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N．所以两个二次函数图象的对称轴为同一直线，所以，解得a=1．所以两个二次函数分别为y=x2+2x-2b+1和y=-x2-2x+b2-1．
依题意，令y=0得
x2+2x-2b+1=0，(1)
-x2-2x+b2-1=0，(2)
(1)+(2)得b2-2b=0，解得b1=0，b2=2．
以下解法同方法一．
点评：本题给出两种不同的解法．方法一的关键是紧紧抓住问题的本质就是两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N．从而把文字语言转化为代数语言，设M(x1，0)，N(x2，0)，再转化为x1，x2是两个二次方程的等根来解．
方法二是利用两个二次函数的图象都经过x轴上两个不同的点M，N这个现象，挖掘它的内涵(从草图中也可看出)知道，两个二次函数图象的对称轴应为同一直线，从而解得a=1．在求b的过程中把方程(1)和方程(2)相加消去x，因为两个方程设而不解，这种方法同学们可能不习惯，可以这样理解：都是方程(1)和(2)的解，不妨设，同时也应有，所以．从而推出2b=b2得解．
最后提醒学生对于解得的结果还要进行检验是否符合题意．
例4、二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是
解：图象大致是D．
点评：这一类题是考察数学逻辑推理能力．题目中a，b，c均是变量，字母多不知从何下手考虑．考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0，c)，也就是说两个图象的交点中有一个应在y轴上，从而否定了A和B，且c＞0．其次考虑完字母c后，再考虑a的取值．若a＞0，则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C；再检验D，从二次函数图象知a＜0，且c＞0，直线y=ax+c与x轴交点应在原点右边，所以D．是正确的．考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜例6、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．
(1)试求y与x之间的关系式；
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？
解：(1)依题意设y=kx+b，则有
所以
y=-30x+960(16≤x≤32)．
(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)
=30(-x+32)(x-16)
=30(-x2+48x-512)
=-30(x-24)2+1920．
所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．
答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．
点评：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值．
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